Айнымалысын бөліктеу арқылы шешілетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. 2 сабақ.

12.3В. Интегралдау мен дифференциалдау арқылы қолданбалы есептерді шешу.

Тақырып: Экспоненциалдық өсім мен ыдырау

• • Физикалық есептер шығару схемасы.

Физикалық есептерді дифференциалдық теңдеу құрып шығару үш этаптан тұрады:

• Теңдеу құрастыру.
• Теңдеудің шешімін табу.
• Қойылған сұраққа жауап іздеу(шешімді зерттеу).

Теңдеудің шешімін табуды төмендегідей тізбекпен орындау ұсынылады:

• Берілген құбылыстың өзгермелі шамасын орнату.
• Ізделінді функцияны және тәуелсіз айнымалыны таңдау.
• Осы айнымалыларды байланыстыратын заңдылықты орнату.
• Есептің шарты бойынша бастапқы шартты анықтау және қосымша берілгендерді көрсету.
• Есептегі барлық негізгі шамаларды тәуелсіз айнымалы, тәуелсіз айнымалыдан тәуелді функция және оның туындылары арқылы бейнелеп алу.
• Физикалық заңдылықпен есептің берілгені бойынша теңдеу құру.
• Теңдеудің жалпы шешімін табу.
• Есептің бастапқы шартын пайдаланып, теңдеудің дербес шешімін және қойылған есептің жауабын табу.

• • Радиоактивті заттың ыдырау туралы есеп.

1 – тапсырма. Егер радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 1600 жылға тең болса, онда 100 жылдан соң радиоактивті заттың мөлшері қанша болады?

Шешуі: t – уақыт (жыл), белгісіз айнымалы болсын.

– t уақыттағы радиоактивтік заттың мөлшері.

Қолданылатын заңдылық: радиоактивтік заттың ыдырау жылдамдығы, радиоактивтік заттың бастапқы мөлшеріне пропорционал.

Теңдеуді құрастырамыз:

Теңдеудің шешімін табамыз:

, ,

– теңдеудің жалпы шешімі болады.

t₀=0, болғанда,

–теңдеудің дербес шешімін аламыз.

t₁=1600, , .

Сонда .

t₂=100 болғанда

Жауабы: 0,96m радиоактивтік зат бар.

• • Қозғалыс заңы туралы есеп.

2 – тапсырма. Егер бастапқы тежелуден кейін қозғалыс кедергісі поездің салмағының 0,2 – не тең болса, онда поезд қандай уақытта және қандай қашықтықта тоқтайды.

Шешуі. Тәуелсіз айнымалы – уақыт (секунд), тәуелді айнымалылар – қашықтық (метр) және жылдамдық (м/с).

Ньютон заңын қолданып, теңдеуді құрастырамыз:

жалпы шешім.

Бастапқы шартты қоямыз t₀=0, :

дербес шешім.

болғанда c.

Шарт бойынша іздейміз:

,

Бастапқы шарт бойынша .

болғанда м.

Жауабы: c, м.

3 – тапсырма. – жылдамдық, s – жол, t – уақыт болғанда түзу сызықты қозғалыс теңдеуімен берілген. Егер t=0, s=2 болғандағы қозғалыс заңын анықта.

Шешуі. екені белгілі, осыны теңдеуге қойып, қозғалыстың дифференциалдық теңдеуін аламыз.

– ға бөліп 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуге келтіреміз:

Бұл теңдеудің жалпы шешімін табайық:

жалпы шешімге t=0, s=2 бастапқы шартын қойып С – ның мәнін табамыз. Яғни , С=2.

Бастапқы шартты қанағаттандыратын теңдеудің дербес шешімі және ізделінді қозғалыс заңы .

Жауабы:

• • Топтық жұмысқа арналған тапсырмалар.

Радиоактивті заттың ыдырауы туралы есептер.

4. Егер радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 600 жылға тең болса, онда 200 жылдан соң радиоактивті заттың мөлшері қанша болады?

5. Егер радиоактивті заттың 0,2 бөлігі 3 сағатта ыдырайтын болса, онда радиоактивті заттың жартылай ыдырау мөлшері қанша уақытта болады?

6. Радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 1 сағатқа тең болса, онда қанша уақыттан кейін радиоактивті заттың мөлшері 10 есе азаяды?

Қозғалыс заңы туралы есептер.

7. Моторлы қайық тұнық суда 18 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келеді. Моторды сөндіргенен кейін 5 минуттан соң қайықтың жылдамдығы 6 м/с-қа дейін азаяды. Судың кедергісі қайық жылдамдығына пропорционал деп алып, моторды сөндіргеннен кейінгі 15 минутта қайықтың жолының ұзындығы қандай болады?

8. Қалыңдығы 20 см болатын жарға 400 м/с жылдамдықпен оқ кіреді, ал жардан 100 м/с жылдамдықпен шығады. Кедергі қозғалыс жылдамдығының квадратына пропорционал болады деп алып, жардың болуындағы қозғалыс уақытын табу керек.

Жоғары деңгейдегі есептер

•  Аралдағы адамдар саны қазір 154. Олардың өсуі келесі заңдылықпен жоспарлануда

  мұндағы Табыңыз:

 і) P(t)

 ii) 20 жылдан кейінгі халық санын.

 Ііі) Арал халқының өсуі максималды мән бола ала ма, егер болса онда қандай?

•  Су қабатымен жұтылатын жарық саны оған түсетін жарық санына пропорционал. Қалыңдығы 3 метр су бастапқы жарықтың жартысын жұтады. Бастапқы жарықтың қандай бөлігі 60 м тереңдікке жетеді?
•  Сұйық ортадағы бактериялар саны көбею басталғаннан кейінгі т уақытпен заңдылығымен өрнектеледі.Әрбір 20 минут сайын бактериялар екі еселенеді. Табыңыз:

 і) k коэффициентінің дәл мәнін,

 іі) көбею басталғаннан кейінгі 90 минуттағы бактериялар санын,

ііі) 90 минуттағы бактериялардың көбею жылдамдығын.

Үй жұмысы.

9. Радиоактивті заттың жартылай ыдырауы 10 жылға тең болса, онда қанша уақыттан кейін радиоактивті заттың мөлшері бастапқы 120 грамнан 20 грамға дейін азаяды?

10. Моторлы қайық тұнық суда 5 м/с жылдамдықпен қозғалып келеді. Моторды сөндіргенен кейін 40с-та қайықтың жылдамдығы 2 м/с-қа дейін азаяды. Судың кедергісі қайық жылдамдығына пропорционал деп алып, моторды сөндіргеннен кейінгі 2 минутта қайықтың жылдамдығы қандай болады?

Қолданылған әдебиеттер:

• Е.М.Аксененко, Г.М.Чуванова. Применение дифференциальных уравнений к решению задач. Практикум 2013г.
• Виленкин Н.Я. Алгебра және математикалық анализ математиканы тереңдетіп оқытылатын сыныптар үшін 11 сыныпқа арналған.