Айнымалысын бөліктеу арқылы шешілетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. 1 сабақ.

12.3В. Интегралдау мен дифференциалдау арқылы қолданбалы есептерді шешу.

Тақырып: Экспоненциалдық өсім мен ыдырау

• • Физикалық есептер шығару схемасы.

Физикалық есептерді дифференциалдық теңдеу құрып шығару үш этаптан тұрады:

• Теңдеу құрастыру.
• Теңдеудің шешімін табу.
• Қойылған сұраққа жауап іздеу(шешімді зерттеу).

Теңдеудің шешімін табуды төмендегідей тізбекпен орындау ұсынылады:

• Берілген құбылыстың өзгермелі шамасын орнату.
• Ізделінді функцияны және тәуелсіз айнымалыны таңдау.
• Осы айнымалыларды байланыстыратын заңдылықты орнату.
• Есептің шарты бойынша бастапқы шартты анықтау және қосымша берілгендерді көрсету.
• Есептегі барлық негізгі шамаларды тәуелсіз айнымалы, тәуелсіз айнымалыдан тәуелді функция және оның туындылары арқылы бейнелеп алу.
• Физикалық заңдылықпен есептің берілгені бойынша теңдеу құру.
• Теңдеудің жалпы шешімін табу.
• Есептің бастапқы шартын пайдаланып, теңдеудің дербес шешімін және қойылған есептің жауабын табу.

• • Дененің сууы туралы есеп.

1 – тапсырма. Ауаның температурасы 20⁰С тең, 20 минут ішінде дене 100⁰С –тан 60⁰С – қа дейін температураға суитыны белгілі. t уақытына байланысты дененің температураның өзгеру заңын және қанша t уақытта 25⁰C болады?

Шешуі: Есептің шарты бойынша айнымалы уақыт пен дене температурасы болып табылады.

Оның ішінде, уақыт t – тәуелсіз айнымалы (сағат), ал температура T(t)⁰C – функция (Цельсия градус) берілген.

Физикалық заңдылықты пайдаланамыз: Дененің ауадағы суу жылдамдығы, дененің температурасы мен ауаның температурасының айырмасына пропорционал.Бастапқы шартты көрсетеміз: t₀=0 минутта дене температурасы T₀=100⁰C тең.

Пропорционалдық коэффициентті табу үшін қосымша шарттар берілген: t₁=20, T₁=60⁰C.

Есептің сұрағы: егер T₂=25⁰C болғанда, t₂ уақытты анықтау керек.

Туындының физикалық мағынасынан температураның өзгеру жылдамдығы дене температурасының уақыт бойынша туындысы болатынын аламыз.

Физикалық заңдылық бойынша теңдеуді жазамыз:

.

Жалпы шешімін табамыз:

,

– жалпы шешім.

Бастапқы шартты қоямыз: , бұдан .

 Дербес шешімді жазамыз. коэффициентті табу үшін қосымша шартты пайдаланамыз:

, .

Енді ізделінді теңдеудің шешімін төмендегдей жазамыз:

.

T₂=25⁰C болғанда, t₂ уақытты іздейміз:

, ,

мин.

Жауабы: , минут.

• • Қоспа туралы есеп.

2 – тапсырма. 30л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,2л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 90% азот болады?

Шешуі: t – уақыт (секунд), белгісіз айнымалы болсын.

– t уақыттағы ыдыстағы азот мөлшері.

Қолданылатын заңдылық: қандайда бір уақыттағы азоттың санының өзгеруі, осы уақыттағы қосылатын және ағып кететін азоттардың айырмасына тең.

уақытта л азот қосылады, ал сондай мөлшерде қоспа ағызып алынды, бірақ қоспадағы азот , яғни - уақыттағы бір литр азоттың мөлшері.

Сонда:

теңдеудің жалпы шешімі.

болғанда . Демек, дербес шешім. Есептің негізгі сұрағына көшсек: болғанда,

, ,

• • Топтық жұмысқа арналған тапсырмалар.

Дененің сууы туралы есептер.

1. Бөлме ауасының температурасы 10⁰С тең, 20 минут ішінде дене 25⁰С –тан 20⁰С – қа дейін температураға суитыны белгілі. Қанша t уақытта дененің температурасы 15⁰C болады?

2. Бөлме ауасының температурасы 0⁰С тең, 20 минут ішінде дене 25⁰С –тан 20⁰С – қа дейін температураға суитыны белгілі. Қанша t уақытта дененің температурасы 10⁰C болады?

3. Бөлме ауасының температурасы 15⁰С тең, 40 минут ішінде дене 120⁰С –тан 80⁰С – қа дейін температураға суитыны белгілі. 60 минуттан кейін Т дененің температурасы қандай болады?

Қоспа туралы есептер.

4. 20л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,1л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 90% азот болады?

5. 30л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,4л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 95% азот болады?

6. 60л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,3л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 92% азот болады?

Жоғары деңгейдегі есептер

•  30 күннен кейін радиоактивті зат өзінің бастапқы мөлшерінің –ін құрайды. Неше күннен кейін бастапқы массасының жартысы қалады?

•   уақыттағы бөлмеде тұрған заттың температурасының өзгеру заңдылығы:

 мұндағы k – тұрақты коэффициент.

 а) болатындығын көрсетіңіз, мұндағы А – тұрақты коэффициент.

 б) t=0,Т=100 болғанда және t=15, Т=70 болғанда.

 в) Т=40 болғанда t –ның мәнін табыңыз.

•  Көрсетілген үлгідегі радиоактивті заттың ыдырау жылдамдығы оның санына пропорционал. Егер 50 граммның 48 грамы 10 жылда ыдырайтын болса, заттың жартылай ыдырау периодын анықтаңыз.

Үй жұмысы.

1. Бөлме ауасының температурасы 0⁰С тең, 30 минут ішінде дене 30⁰С –тан 25,5⁰С – қа дейін температураға суитыны белгілі. 3 сағаттан кейін Т дененің температурасы қандай болады?

2. 90л көлемді жабық ыдысқа ауа толтырылған (80% азот, 20% оттегі). Ыдысқа секундына 0,4л азот қосылып тұр, қосылған азот ыдыстағы ауамен араласады. Ыдыстан осындай көлемді қоспа ағызып алынып отырады. Қанша уақыттан кейін ыдыстағы қоспаның құрамында 85% азот болады?

Қолданылған әдебиеттер:

• Е.М.Аксененко, Г.М.Чуванова. Применение дифференциальных уравнений к решению задач. Практикум 2013г.
• Виленкин Н.Я. Алгебра және математикалық анализ математиканы тереңдетіп оқытылатын сыныптар үшін 11 сыныпқа арналған.