Физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Қосымша №1

1. «Салқындауға» берілген есептер

2. «Бактериялардың көбеюіне» берілген есептер

3. «Жарық өткізгіштікке» берілген есептер

4. «Радиоактивті ыдырауға» берілген есептер

«Салқындауға» берілген есептер

• Дене 10 минутта 100^оС -тан 60^оС -қа дейін салқындады. Қоршаған орта температурасы 20^оС күйінде сақталды. Дене қанша уақытта 25^оС дейін салқындайды?

(Жауабы: x(t) = 20 + 80∙2^–t/10 x(t) = 25 үшін t = 40 мин).

• Қоршаған орта температурасы 20^оС ортада дене 100^оС -қа дейін қыздырылды. Егер алғашқы 20 минутта ол 60^оС -қа дейін суыса, қанша уақытта 30^оС дейін салқындайды?

(Жауабы: x(t) = 80∙2^–t/20 x(t_x) = 30 үшін t_x= 60 мин).

• Турист кафеге келіп, бір кесе кофеге тапсырыс берді. Бөлме температурасы 18⁰С. Турист кофенің жағымды температурасы 50^оС деп есептейді. Егер 2 минутта кофе 5^оС -қа суыйтын болса, жаңа дайындалған кофенің турист үшін жағымды температураға дейін салқындауына қанша уақыт қажет екенін анықтаңыз.

(Жауабы: x(t) = 10∙(77/82)^t/2 x(t_x) = 50 үшін t_x 30 мин).

«Бактериялардың көбеюіне» берілген есептер

• Егер 3 сағатта бактериялар саны 100-ден 200-ге дейін көбейген болса, 9 сағатта олардың саны неше есе артатынын табыңыз.

(Жауабы: x(t) = 100∙2^t/3 x(9) = 800 8 есе артады).

• Зерттеу басталғаннан 12 сағат өткеннен кейін бактериялар саны 3 есе артты. Зерттеу басталғаннан үш тәулік өткеннен кейін бактериялар саны қанша есе артады? Бактериялардың көбеюі олардың санына пропорционал болады.

(Жауабы: e^12k = 3, x(72) = Ne^72k = N(e^12k)⁶ = 3⁶N = 729N 729 есе).

• 100 бактериялар тобына қолайлы жағдайда көбею мүмкіндігі жасалды. 12 сағат өткеннен кейін олардың саны 500-ге жеткені анықталды. Зерттеу басталғаннан 2 тәулік өткеннен кейін қанша бактерия болады?

(Жауабы: e^12k = 5, x(48) = Ne^48k = N(e^12k)⁴ = 5⁴N = 625N 625 есе).

«Жарық өткізгіштікке» берілген есептер

• Су қабатында жұтылатын жарық мөлшері суға түсетін жарық санына пропорционал. Қалыңдығы 3 м суда алғашқы түскен жарықтың жартысы жұтылады. 60 м тереңдікке алғашқы түскен жарықтың қанша бөлігі жетеді?

Жауабы: I(z) = I(0)2^–z/3, I(60)/I(0) = 2^–20).

• Жұқа су қабатында жұтылатын жарық мөлшері суға түсетін жарық саны мен қабаттың қалыңдығына пропорционал. 35 см су қабаты алғашқы түскен жарықтың жартысын жұтады. 2 м су қабаты алғашқы түскен жарықтың қанша бөлігін жұтады?

(Жауабы: I(z) = I(0)∙2^{– z/35},1 – I(200)/I(0) 98,1%).

• Қалыңдығы 1 метр әйнектің қандай да бір түрі өзіне түскен жарықтың 0,25 бөлігін жұтады. Түскен жарықтың тек 1%-н жұту үшін осы әйнектің қалыңдығы қандай болу керек? (Жауабы: I(z) = I(0)∙0,75^z, I(z_х) = 0,99I(0), z_х0.03494 м).

«Радиоактивті ыдырауға» берілген есептер

• Радиоактивті заттың алғашқы санының екі есе азаю уақытын жартылай ыдырау периоды деп атайды. Жартылай ыдырау периоды 1 жыл болатын 10 г заттың 1 г-ы қалу үшін қанша уақыт өтеді?

(Жауабы: x(t) = 10∙2^–t x(t_x) = 1 үшін t_x = 1/lg2 3,3 жыл).

• Радийдің ыдырау жылдамддығы оның бастапқы мөлшеріне пропорционал және оның жартылай ыдырау уақыты 1600 жыл. 100 жылда радийдің алғашқы мөлшерінің қанша пайызы ыдырайтынын анықтаңыз.

(Жауабы: x(t) = Ce^kt; x(0) = a, x(1600) = a/2; k = -ln2/1600 t = 100 ∙(x/a) = 2^–1/16 0,958).

• Тәжірибе бойынша 1 жылда радийдің әр грамынан 0,44мг ыдырайды. Неше жылдан кейін алғашқы радий мөлшерінің жартысы ыдырайды?

(Жауабы: x(t) = x(0)∙(1 – 0,00044)^t x(t) = ½ x(0) үшін t = ln0,5/ln(1-0,00044) 1600 жыл).