Физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану. Алгебра, 11 сынып, дидактикалық материал.

Қосымша 1

Топтар үшін карточкалар

1 топ

«Салқындауға» берілген есептер

Тапсырма (орындау уақыты 10 минут)

1. Презентацияның 5-6-7 слайдтарын тағы да мұқият оқып шығыңыз;

2. №1 есептің шығарылуын топта талқылаңыз;

3. №2 есепті шешіңіз;

4. №2 есептің шешімін сынып алдында түсіндіру үшін дайындалыңыз.

Есеп №1

«Дене 10 минутта температурасы 20^о су ішінде 100^о-тан 60^о-қа дейін салқындады. Егер Ньютон заңы бойынша салқындау жылдамдығы дене температурасы мен қоршаған орта температурасының айырмасына тура пропорционал болса, қанша уақытта дене 30^о-қа дейін салқындайды?»

Берілгені: Шешуі:

x(t) – дене температурасы – суу жылдамдығы;

t – салқындау уақыты Ньютон заңы бойынша

x(0) = 100⁰;

x(10) = 60⁰; ;

x_{қоршаған орта} = 20⁰; , где ;

x(t₀)= 30⁰; .

Табу керек: t₀. Берілгені бойынша:

Демек, .

Олай болса, .

Жауабы: 30 мин.

Есеп №2

Қоршаған орта температурасы 20^оС ортада дене 100^оС -қа дейін қыздырылды. Егер алғашқы 20 минутта ол 60^оС -қа дейін суыса, қанша уақытта 30^оС дейін салқындайды?

(Жауабы: x(t) = 80∙2^–t/20 x(t_x) = 30 үшін t_x= 60 мин).

2 топ

«Бактериялардың көбеюіне» берілген есептер

Тапсырма (орындау уақыты 10 минут)

1. Презентацияның 5-6,8 слайдтарын тағы да мұқият оқып шығыңыз;

2. №1 есептің шығарылуын топта талқылаңыз;

3. №2 есепті шешіңіз;

4. №2 есептің шешімін сынып алдында түсіндіру үшін дайындалыңыз.

Есеп №1

Егер 3 сағатта бактериялар саны 100-ден 200-ге дейін көбейген болса, 9 сағатта олардың саны неше есе артатынын табыңыз.

Берілгені:

x(t) – бактериялар саны

t – уақыт

x(0) = 100

x(3) =200

Табу керек:

Шешуі:

бактериялардың көбейю жылдамдығы және бұл шама оң болады, себебі t артқан сайын х артады.

Онда,

lnx=kt+lnC →x=Cе^kt

С және k табамыз.

100=Ce^k∙0 →C=100→ x=100е^kt

x(3) =200 қолданамыз: 200=100e^3k→k=(ln2)/3

Сонда, х(t)=100

Енді x(9) табамыз:

x(9)=100∙2³=800

Жауабы: 8 есе артады.

Есеп №2

Зерттеу басталғаннан 12 сағат өткеннен кейін бактериялар саны 3 есе артты. Зерттеу басталғаннан үш тәулік өткеннен кейін бактериялар саны қанша есе артады? Бактериялардың көбеюі олардың санына пропорционал болады.

(Жауабы: e^12k = 3, x(72) = Ne^72k = N(e^12k)⁶ = 3⁶N = 729N 729 есе).

3 топ

«Жарық өткізгіштікке» берілген есептер

Тапсырма (орындау уақыты 10 минут)

1. Презентацияның 5-6,9 слайдтарын тағы да мұқият оқып шығыңыз;

2. №1 есептің шығарылуын топта талқылаңыз;

3. №2 есепті шешіңіз;

4. №2 есептің шешімін сынып алдында түсіндіру үшін дайындалыңыз.

Есеп №1

Су қабатында жұтылатын жарық мөлшері суға түсетін жарық санына пропорционал. Қалыңдығы 3 м суда алғашқы түскен жарықтың жартысы жұтылады. 60 м тереңдікке алғашқы түскен жарықтың қанша бөлігі жетеді?

Берілгені: І жарық мөлшері, һ судың тереңдігі

І(0) =І

І(3) =0,5∙І

Табу керек:

Шешуі:

жарық мөлшерінің өзгеруі және бұл шама теріс болады, себебі h артқан сайын I кемиді.

Онда,

lnI=-kh+lnC →I=Ce^-kh

С және k табамыз:

I=Ce^-k∙0 →C=I→ I(h)=Ie^-kh

І(3) =0,5∙І қолданамыз: 0,5I=Ie^-3k→k=(ln2)/3

Сонда, I(h)=I∙болады

Енді I(60) табамыз:

I(60)=I∙

Одан,

Жауабы: I(60)/I(0) = 2^–20.

Есеп №2

Жұқа су қабатында жұтылатын жарық мөлшері суға түсетін жарық саны мен қабаттың қалыңдығына пропорционал. 35 см су қабаты алғашқы түскен жарықтың жартысын жұтады. 2 м су қабаты алғашқы түскен жарықтың қанша бөлігін жұтады?

(Жауабы: I(z) = I(0)∙2^{– z/35},1 – I(200)/I(0) 98,1%).

4 топ

«Радиоактивті ыдырауға» берілген есептер

Тапсырма (орындау уақыты 10 минут)

1. Презентацияның 5-6,9 слайдтарын тағы да мұқият оқып шығыңыз;

2. №1 есептің шығарылуын топта талқылаңыз;

3. №2 есепті шешіңіз;

4. №2 есептің шешімін сынып алдында түсіндіру үшін дайындалыңыз.

Есеп №1

Радиоактивті заттың алғашқы санының екі есе азаю уақытын жартылай ыдырау периоды деп атайды. Жартылай ыдырау периоды 1 жыл болатын 10 г заттың 1 г-ы қалу үшін қанша уақыт өтеді?

Берілгені:

x(t) – заттың алғашқы саны (немесе массасы)

t – уақыты

x(0) = 10гр

x(1) =5гр

x(t) = 1гр

Табу керек: t

Шешуі:

жылдамдығы және бұл шама теріс болады, себебі t артқан сайын х кемиді.

Онда,

lnx=-kt+lnC →x=Ce^-kt

С және k табамыз:

10=Ce^-k∙0 →C=10→ x=10e^-kt

x(1) =5гр қолданамыз: 5=10e^-k→k=ln2

Сонда, х(t)=10e^-ln2t=10∙2^-t болады

Енді x(t) = 1гр болғандағы t табамыз:

1=10∙2^-t → t = 1/lg2 3,3

Жауабы: x(t) = 1 болғанда, t 3,3г.

Есеп №2

Радийдің ыдырау жылдамддығы оның бастапқы мөлшеріне пропорционал және оның жартылай ыдырау уақыты 1600 жыл. 100 жылда радийдің алғашқы мөлшерінің қанша пайызы ыдырайтынын анықтаңыз.

(Жауабы: x(t) = Ce^kt; x(0) = a, x(1600) = a/2; k = -ln2/1600 t = 100 ∙(x/a) = 2^–1/16 0,958).

Қосымша 2

Қалыптастырушы бағалау (орындау уақыты 10 минут)

Бағалау критерийлері:

• айнымалысы ажыратылатын бірінші ретті дифференциялдық теңдеуді дұрыс шеше біледі;
• физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді дұрыс құра алады және оны шеше алады.

Әр деңгейден бір тапсырмадан таңдаңыз және орындаңыз.

А деңгейі

Теңдеудің жалпы шешімін табыңыз.

1. (1-у)dx+(x+1)dy=0 Жауабы: y=1+C(x+1)

2. e^xdx+e^y(1-e^x)dy=0 Жауабы: e^y=C+ln1-e^x

3. 2xyy’=y²-1 Жауабы: y²-1=Cx

4. y’=e^2x-4y Жауабы: e^4y=2e^2x+C

В деңгейі

Бастапқы шартын қанағаттандыратын теңдеудің шешімін табыңыз.

1. (1+x³)y’=3x²y; y(0)=2. Жауабы: y=2(1+x³)

2. Жауабы:

3. y’e^x=x; y(0)=1. Жауабы: y=e^x(x+1)

4. y’+ysin2x=0; Жауабы:

С деңгейі

Есептерді шығарыңыз.

1.Турист кафеге келіп, бір кесе кофеге тапсырыс берді. Бөлме температурасы 18⁰С. Турист кофенің жағымды температурасы 50^оС деп есептейді. Егер 2 минутта кофе 5^оС -қа суыйтын болса, жаңа дайындалған кофенің турист үшін жағымды температураға дейін салқындауына қанша уақыт қажет екенін анықтаңыз.

(Жауабы: x(t) = 10∙(77/82)^t/2 x(t_x) = 50 үшін t_x 30 мин).

2.100 бактериялар тобына қолайлы жағдайда көбею мүмкіндігі жасалды. 12 сағат өткеннен кейін олардың саны 500-ге жеткені анықталды. Зерттеу басталғаннан 2 тәулік өткеннен кейін қанша бактерия болады?

(Жауабы: e^12k = 5, x(48) = Ne^48k = N(e^12k)⁴ = 5⁴N = 625N 625 есе).

3.Қалыңдығы 1 метр әйнектің қандай да бір түрі өзіне түскен жарықтың 0,25 бөлігін жұтады. Түскен жарықтың тек 1%-н жұту үшін осы әйнектің қалыңдығы қандай болу керек? (Жауабы: I(z) = I(0)∙0,75^z, I(z_х) = 0,99I(0), z_х0.03494 м).

4.Тәжірибе бойынша 1 жылда радийдің әр грамынан 0,44мг ыдырайды. Неше жылдан кейін алғашқы радий мөлшерінің жартысы ыдырайды?

(Жауабы: x(t) = x(0)∙(1 – 0,00044)^t x(t) = ½ x(0) үшін t = ln0,5/ln(1-0,00044) 1600 жыл).