Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы мағлұмат. Алгебра, 11 сынып, презентация.

Дифференциалдық

теңдеулер

Дифференциалдық теңдеу ұғымын енгізу,

анықтамасын беру,

дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы мағлұмат беру,

дифференциал теңдеулерге келтірілетін есептерді қарастыру.

Сабақ мақсаты:

Оқу мақсаттары

Сабаққа қажетті білімдерін жинақтау

Интегралдар кестесі

Дербес жағдайда:

Дербес жағдайда :

Дербес жағдайда :

Дербес жағдайда :

1.Келесі функциялардың берілген аралықтардағы

алғашқы функциясын табыңыз:

Қайталаймыз.

Табиғаттағы көптеген құбылыстар дифференциалдық теңдеулер деп аталатын арнайы теңдеулермен сипатталады.

Анықтама

Дифференциалдық теңдеу деп, тәуелсіз айнымалы х –ты берілген

функциясымен және оның туындысымен байланыстыратын теңдеуді айтамыз, яғни

түрдегі теңдеу

Дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептер

Дифференциалдық теңдеулер мысалын қарастырайық.

2. Радиактивті ыдырау

Эксперимент арқылы заттың радиоактивті ыдырау жылдамдығы оның бастапқы мөлшеріне пропорционал болатындығы анықталған. Осы заңдылыққа сүйене отырып, радиоактивті ыдырау жөніндегі көптеген есептерді шешуге болады. Айталық, m(t) өрнегімен t уақытындағы радиоактивті заттың мөлшерін (грамм) белгілейік. Онда

m’(t)=-λ m(t)

теңдігі орындалады. Мұнда λ>0 пропорционалдық коэффициент, «минус» таңбасы уақыт өтісімен радиоактивті зат мөлшерінің кемитіндігін білдіреді.

Дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын жағдайлар мысалдары:

Дифференциалдық теңдеулер мысалдары:

Анықтама

Дифференциалдық теңдеудің реті деп, құрамына кіретін ізделінді функцияның ең жоғарғы туындысының ретін айтады.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі:

Анықтама

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп, теңдеуге қойғанда оны дұрыс теңдікке айналдыратын қандай да бір функцияны айтамыз.

Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі осы теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады.

.

Геометриялық түрде жалпы шешім интегралдық қисықтар жиынтығын құрайды.

Тапсырма

Теңдеудің ретін анықтаңдар:

функциясы

теңдеуінің шешімі болатындығын тексеріңдер

Төмендегі теңдеулердің қайсысы дифференциалдық теңдеулер және олардың ретін анықтаңыз.

Анықтама

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп, келесі функцияны айтамыз

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп, кездейсоқ С тұрақтысының қандай да бір нақты мәнінде жалпы шешімнен алынатын шешімді айтады.

Айнымалылары бөліктенетін теңдеулер

M (x) dx + Q(y) dy = 0 теңдеуі

мұнда dx –тің алдындағы тек қана x –тен тәуелді, ал dy – тек қана y – тен тәуелді. Мұндай түрдегі теңдеулер айнымалылары бөліктенетін теңдеулер деп аталады.

Айнымалылары бөліктенетін теңдеулердің жалпы түрі келесі түрде сипатталады:

M (x) N(y) dx + P (x) Q(y) dy = 0

немесе

y’ = f(x) p(y)

.

.

Мысал. ДТ шешіңіз:

y’х-у = 0.

немесе

у = Сх, (х  0, С  0).

Мысал 2.