Жиындар теориясының элементтері. Алгебра, 9 сынып, сабақ жоспары.

Пән: Математика

Тоқсан: ІІ тоқсан

Ұзақ мерзімді жоспар тарауы 9.1B Комбинаторика және жиындар теориясының элементтері.

Мектеп: Атырау қаласы ХББ НЗМ

Күні:

Мұғалімнің аты- жөні: Изтелеуова Г.Д.

Сынып: 9

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақтың тақырыбы:

Жиындар теориясының элементтері

Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме)

9.5.3.1 жиындар теориясындағы белгілеулерді (A’ толықтауышы, бірігуі, қиылысуы, A\B айырмасы және жиын элементтерінің саны) түсінеді және қолданады.

9.4.1.1 жиындарға амалдар қолдану арқылы, сонымен қатар =|A|+|B|-|| формуласын қолданып есептер шығарады

 Сабақтың мақсаты

Жиындар теориясының белгілеулерін (A^/, AB және AB және жиынның элементтер саны) түсінеді және қолданады,

 Бағалау критерийлері

• Жиыннығ түрлерін біледі:
• «Бірігу», «қиылысу» ұғымдарын біледі;
• Есеп мәтініне сәйкес математикалық модель құра алады;
• Жиындардың қиылысуы мен бірігуін таба алады;
• Бірігу мен қиылысудың графикалық кесінін таба алады (Мысалы Эйлер дөңгелегі арқылы

 Тілдік мақсат

Оқушылар:

• шығарылатын есептер мәнмәтініндегі «орналастыру», «алмастыру»,«теру» ұғымдарының өзара айырмашылығын пәндік лексика мен терминологияны пайдаланып талқылайды;
• есеп шығаруда және диалогта дәлелдер келтіреді;

Пәнге қатысты лексика мен терминология

• ішкі жиын;
• толықтауыш жиын;
• жиындарға амалдар қолдану;
• жиындардың қиылысуы мен бірігуі;
• жиын элементтерінің саны;
• енгізу және шығару формулалары;
• комбинаторика;
• комбинация;
• теру;
• алмастыру;
• орналастыру;
• санның факториалы;
• мүмкіндіктер ағашы (нұсқаулар ағашы);
• n-нен r элементті таңдау;
• рет, реттестіру, алмастыру;
• Паскаль үшбұрышы;
• Биномдық коэффициент;

Ньютон биномы.

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

• Жиындардың қиылысуы … болып табылады;
• Егер … , онда жиындар қиылыспайды;
• … неше түрлі тәсілмен табуға болады;
• Сіз оларды … түрлі тәсілмен орналастыра аласыз, себебі … ;
• Егер сізде х ... бар болса, онда сіз оларды ... түрлі тәсілмен реттестіре аласыз, себебі ... ;
• Егер мен ... элементті белгілі бір ретпен орналастыратын болсам, онда ... мүмкін алмастыру пайда болады;

... мүмкін оқиғадан ... элементті таңдаудың ... тәсілі бар.

 Құндылықтарды дарыту

Белсенді қарым- қатынас, өзіндік шешім қабылдауды үйрену және оны дамыту.бір – бірінің пікірлері мен ерекшеліктерін құрметтеу, қабылдау

Тәрбиелік мағына

«Мәңгілік ел»

Дұрыс шешім қабылдау үшін, қоғамдық өмірге қатысу үшін шығармашылық және сын тұрғысынан ойлау қабілетін қалыптастыру.

 Пәнаралық байланыс

Орналастырулар бұдан кейінгі математикада қолданылады, сонымен қатар географияда тұрғындардың орналасуы, биологияда аурудың таралуы мен бактерия санының өсуі, экономикада құрастырудың нәтижесі сияқты басқа да бөлімдерге қатысты оқытылады..

 АКТ-ны қолдану дағдылары

Power Point презентациялары арқылы сыни тұрғыдан ойлау мен зерттеу дағдыларының дамыту

Бастапқы білім

Есептерде заттардың өзара орналасуы мен іс-әрекеттің барлық мүмкін комбинациялары қарастырылатын есептерді шығара алу тәжірибесі мен ықтималдық ұғымын түсіну.

 Сабақ түрі

Сабақтың жоспарланған кезеңдері

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

I.Ұйымдастыру кезеңі.

Оқушылармен сәлемдесу. Оқушылардың сабаққа әзірлігін тексеру.

Сергіту сәті «Жиындар»

І. Жаңа тақырыпты ашу:

 Жиын ұғымы

 Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (18451918) болды.

 Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын құрайды. 

 Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т.с.с.

 Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген.

 Мысалы, "планета" сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, Р={а,п,н,л,е,т} немесе Р={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін 

әр-түрлі жазуға болады.

 Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. 

 Мысалы, цифрлар жиыны A - шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын.

 Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: 

 a B.

  Оқылуы: "a  B жиынының элементі" немесе "a-  B жиынына 

 тиісті".

 Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7  N.

 Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: 

 c  A. Оқылуы:"с элементі A жиынына тиісті емес".

 Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ₡ N.

 Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды.

  Бос жиынның белгіленуі: . Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын.

 Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, 

 A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұпсандар жиыны - B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті.

  Белгіленуі: B  A.

  Оқылуы: B жиыны - A жиынының ішкі жиыны. 

 Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделеді.

Суретте - B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген.

  Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: 0 С A. Мұндағы A - қандай да бір жиын.

 Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.

 Жиындарға қолданылатын амалдар 

Анықтама .

А мен В жиындарының айырмасы деп А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінен құралған жиынды айтады.

 Бұл екі жиынның айырмасын былай белгілейді: Белгіленуі С=А/В.

Егер, А={2,5,7,9}, В={2,4,7}болса, А\В={5,9}.

  Қиылысу амалы. А мен В жиындарының қиылысуы деп осы жиындардың ортақ элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны АВ арқылы белгілейді. АВ={x А және хВ}.

 Егер А–кез келген жиын болса, онда АØ=Ø; АА=А және АВ болғанда АВ=А.

 б) Бірігу амалы. А мен В жиындарының бірігуі деп, осы жиындардың барлық элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны АВ арқылы белгілейді. АВ={x А немесе хВ}.

 Егер А,В–кез келген жиындар болса, онда АØ=А; АА=А және егер АВ болса, АВ=В.

Қосынды ережесі:

Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін n(A теңдігі орындалады.

Бұл формулада жиындардың тақ рет қиылысулары кездесетін қосылғыштар «+» таңбасымен, ал жұп рет кездесетін қосылғыштар «-« таңбасымен алынған,

Егер m=3 болса, онда n(A

Салдар: Егер болса, онда n(A теңдігі орындалады.

Көбейту:Кез келген санаулы элементтері бар А және В жиындары үшін барлық , қос элементтер саны  осы жиындар элементтері сандарының көбейтіндісіне тең.

Жиындарға қолданатын амалдардың қасиеттері:

ІІ. Жаңа тақырыпты бекіту:

1-есеп. Сыныпта 16 ұл бала бар. Олардың 14-і бос уақытында футбол ойнағанды ұнатады, 9-ы шахмат ойнағанды ұнатады. Бұл ойындарға сыныптағы барлық ұл балалар қатысады. Сыныптағы неше оқушы бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнатады?

 Шешуі: Бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны - A, n(A)=14. Бос уақытында шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдардың жиыны - B, n(B)=9.

 1)14 + 9 = 23 - бос уақытында футбол ойнағанды ұнататын және шахмат ойнағанды ұнататын сыныптағы ұлдар саны.

 2)23 - 16 = 7 - бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын сыныптағы ұлдар саны.

 Сыныптағы футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнататын ұлдар жиыны C болсын, онда 

n(C)=7. Демек, C жиыны  A және B жиындарының қиылысу жиыны, себебі мұндағы әрбір ұл бала A жиынына да, B жиынына да тиісті (ортақ).

 Есептің шешуі Эйлер-Венн дөңгелектерімен былай кескіндейміз.

   Суретте - Эйлер-Венн дөңгелектері

Әрбір элементі A немесе B жиындарының кем дегенде 

біреуіне тиісті болатын жиын A және B жиындарының бірігуі деп аталады.

 2-есеп. Бір топтағы туристердің 10-ы қазақ тілін біледі, 8-і орыс тілін біледі, олардың 3-еуі қазақ тілін де, орыс тілін де біледі. Топта барлығы неше турист бар?

 Шешуі: Бір топ туристердің қазақ тілін білетіндердің жиыны - A; n(A)=10. Орыс тілін білетіндерінің жиыны - B; n(B)=8.

 1)10 + 8 = 18 - топ ішіндегі туристердің қазақ тілін білетіндердің және орыс тілін білетіндердің саны.

 2)18 - 3 = 15 - топ ішіндегі туристер саны. Топтағы туристер D жиынын құрайды n(D)=15. Демек, D жиыны өзара қиылысып тұрған A және B жиындарының бірігуіболып табылады.

 Есептің шешуі Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы былай кескіндейміз. А U B = D

 Суретте - A және B жиындарының бірігуі

3-есеп

 Бір аптада дүкеннен 19 адам телевизор сатып алды, 18 адам мұздатқыш сатып алды. Олардың 9-ы мұздатқыш та, телевизор да сатып алды. Неше адам телевизор ғана атып алды? Неше адам мұздатқыш ғана сатып алды?

А) 13 және 7

В) 13 және 6

С) 10 және 9

D) 8 және 15

E) 11 және 5

4-есеп

Кері байланыс.

ІІІ. Жұптық жұмыс

№1

А = {3, 4, 5},

В = {5, 6, 7, 8},

С = {2, 4, 8},

K = {1, 3, 5, 7}.

Табыңыз:

1) А K; 5) А K;

2) А С; 6) А С;

3) А В; 7) А В;

4) А KВ; 8) А KВ.

№2

27 студенттердің 18 – і французтілін,, 15 – і ағылшын тілін оқиды. Қанша студент екі тілді де оқиды?

Шешуі:

Ф – француз тілін оқитын студенттер жиыны, А – ағылшын тілін оқитын студенттер жиыны, онда ФА – екі тілді де оқитын студенттер жиыны. Есеп шарты бойынша п(ФА) = 27, п(Ф) = 18, п(А) = 15. Табу керек п(ФА). Формула бойынша

п(ФА) = п(Ф) + п(А) – п(ФА) орнына қойсақ:

п(ФА) = 18 + 15 – 27 = 6 Жауабы: 6 студент.

№3

Сыныпта 18 оқушы химиямен айналысады, ал 13 – географиямен. а)екі пәнмен де; б) ең болмағанда бір пәнмен; в) тек бір пәнмен? Осы пәндермен айналысатын қанша оқушы болуы мүмкін?

Шешуі:

Х – химия пәнімен айналысатын студенттер жиыны, G – географиямен, онда Х G – екі пәнмен де айналысатын оқушылар жиыны. Шарт бойынша п(Х) = 18, n(G) = 13 және

п(ХG) + n(ХG) 31. Егер Х және G жиындары қиылыспаса, онда п(ХG) = 0, егер барлық географиямен айналысатын оқушылар химиямен де айналысатын болса, онда n(ХG) = 13. Онда екі пәнмен де айналысатын оқушылар саны өзгереді 0 ден 13 – ке, 0 n(ХG) 13. Ең болмағанда бір пәнмен айналысатын оқушылар саны 18 ден 31 – ге өзгереді, тек бір пәнмен айналысатын оқушылар 18 - 13 = 5 – тен 31.

Кері байланыс. Бірін- бірі бағалау.

Жеке жұмыс:

№1

50 студенттің 42 – сі ағылшын тілін оқиды, 31 – неміс тілін, ал

25 –і ғылшынды да неміс тілін де оқиды. Курстағы қанша студент ағылшын тілі де, неміс тілін де оқымайды?

Шешімі:

А – курстағы ағылшын тілін оқитын студенттер жиыны, Н – неміс тілін оқитын студенттер жиыны, С – курстағы барлық студенттер жиыны. Есептің шарты бойынша п(А) = 42, п(Н) = 31,

п(А Н) = 25, п(С) = 50. Табу керек ағылшын тілін де неміс тілін де оқымайтын стуленттердің санын

1 әдіс . 1) п (А Н )= п(А) + п(Н) - п(А Н) = 42 + 31 - 25 = 48.

2) 50 - 48 = 2.

2 әдіс: Эйлер диаграммасын сызып қарастыралық Сонда

А және Н – та 25 студент, онда тек ағылшын оқитын студенттер саны (42 - 25 = 17), тек неміс тілін оқитын студенттер саны

(31 - 25 = 6). П (АН) = 17 + 25 + 6 = 48, 50 - 48 = 2.

№2. Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол турниріне, 10-ы баскетбол турниріне және 8-і волйбол ойынынан жарысқа қатысқан. Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі футбол, әрі волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волйбол турниріне, ал 3 оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып оқушыларының нешеуі осы турнирлердің бірде біреуіне қатыспаған?

Кері байланыс.Өзін –өзі бағалау. (интерактивті тақтадағы жауаппен тексереді)

Үй жұмысы: №516,517

Сабақ соңында рефлексия жүргіземіз. (3 минут)

«Сөйлемді жалғастыр» (дәптерге жазады).

• Бүгінгі сабақта... білдім
• … үйрендім
• … қиындықт туындады
• … әлі де жұмыстануым керек
• … маған қызық болды?

Саралау – оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау – оқушылардың материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Денсаулық және қауіпсіздік техникасының сақталуы

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақта саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық кезеңдері сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?