Теңдеулер көмегімен мәтінді есептерді шығару. Математика, 6 сынып, дидактикалық материал.

Ресурс 1

Теориялық бөлім

Мысал қарастыру: «Бірінші сөредегі кітаптар саны екінші сөредегі кітаптар санынынан 4 есе көп, егер бірінші сөреден 15 кітапты алып, екінші сөреге ауыстырса, онда сөредегі кітаптар тең болады. Екінші сөреде қанша кітап бар?

Шешу жолы:

Екінші сөредегі кітаптарды х деп белгілейік. Онда бірінші сөредегі кітаптар саны 4х болады. Егер бірінші сөредегі 15 кітапты екінші сөреге ауыстырғанда, бірінші сөреде 4х-15 кітап, ал екінші сөреде х+15 кітап болады. Есеп шарты бойынша мұндай ауыстырудан кейін екі сөреде кітаптар саны тең болады.

Олай болса, 4х-15=х+15

Біз белгісіз кітаптар санын табу үшін құрамында айнымалысы бар теңдік құрдық. Мұндай теңдіктерді бір айнымалысы бар теңдеулер немесе бір белгісізі бар теңдеулер деп атайды.

Бізге 4х-15=х+15 теңдеуіндегі х айнымалысының орнына қойғанда тура теңдік шығатын санды табу керек. Мұндай санды теңдеудің шешімі немесе теңдеудің түбірі деп атайды.

Анықтама. Теңдеуді тура теңдікке айналдыратын айнымалының мәні теңдеудің түбірі деп аталады.

Теңдеуді шешу дегеніміз – оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеу.

Анықтама: Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес теңдеулер деп атайды.

Мысал: 5х=25, 3х=15 және 4х-2х=10 теңдеулері – мәндес теңдеулер. Түбірлері бірдей: х=5

Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып саналады.

Теңдеулерді шешу үшін келесі қасиеттер қолданылады

Теңдеулердің 1- қасиеті.

Теңдеудің екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда (азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

Мысал. х+24=40,

х+24-24=40-24,

х=40-24

х=16 – теңдеудің түбірі.

Теңдеулердің 2- қасиеті.Теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбеткенде немесе бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

Мысал. 7х=56

7х:7=56:7,

х=8

Қысқаша: 7х=56

х=56:7,

х=8

Теңдеулердің бұл қасиеттері тура санды теңдіктердің қасиеттерімен дәлелденеді.Тура санды теңдіктердің қасиеттерін есімізге түсірейік.

Тура сандық теңдіктің қасиеттері

Ең алғаш қарастырған мысалымызға оралайық. Есеп шарты бойынша құрылған теңдеуімізді шешейік.

4х-15=х+15 1 – қасиет бойынша: 4х-х=15+15

3х=30 2 – қасиет бойынша: х=30:3

x=10 10 саны – теңдеудің түбірі.

Енді біз сұраққа жауап бере аламыз. Екінші сөреде 10 кітап болды.

Көптеген теңдеулерді теңдеулердің қасиеттерін қолдана отырып aх=b түріне келтіруге болады.

aх=b түріндегі теңдеуді бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды. Мұндағы a және b – қандай да бір сандар. х – айнымалы.

Мысал. 5х=-3, -0,2х=0

aх=b теңдеуін шешіп, түбірін табуда келесі үш жағдай орындалады:

• болса, теңдеудің екі жағын да а –ға бөліп, теңдігін жазамыз. Бұл жағдайда теңдеудің бір ғана түбірі бар.
• а=0; болса, теңдеу түрінде жазылады. теңдігі х – тің ешбір мәнінде тура болмайды.
• a=0 және b=0 болса, теңдеу 0x=0 түрінде жазылады. 0х=0 теңдеуінің түбірі кез – келген сан болады.Теңдеудің сансыз көп түбірі бар.

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеуді шешу үшін алгоритмі:

Қарастырылған мысалдарға талдау жасасақ, сызықтық теңдеулерді шешу кезінде келесі алгоритм орындалатынын байқауға болады.

Алгоритм:

1. Теңдеудің оң жақ немесе сол жақ бөлігіндегі өрнектерде жақшалар болса, онда оларды ереже бойынша ашу керек.

2. Айнымалысы бар мүшелерді теңдеудің сол жағына, бос мүшелерді теңдеудің оң жағына жинақтау керек.

3. Теңдеудегі ұқсас мүшелерді біріктіріп, теңдеуді ax = b түріне келтіру керек.

4. Берілген теңдеуге мәндес соңғы теңдеуді a және b коэффициенттерінің мәніне байланысты шешу керек.