Үшбұрыштың тамаша нүктелері. Геометрия, 8 сынып, қосымша материал, 2 сабақ.

 Сабақтың тақырыбы: Үшбұрыштың тамаша нүктелері

 Оқу мақсаты:

 8.1.3.1 Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген медиана, биссектриса, биіктік пен орта перпендикулярдың қасиеттерін білу.

 Бұл сабақта оқушылар медиана, биссектриса, биіктік пен орта перпендикулярдың анықтамасымен танысады, олардың қасиеттерін қолданып есептер шығарады.

1. Үшбұрыштың биссектрисасы.

Анықтама. Үшбұрыш бұрышының биссектрисасының қарсы қабырғаға дейінгі кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады.

Үшбұрыштың үш биссектрисасы бар

1-теорема. Биссектрисасының кез келген нүктесі бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады.

Берілгені: биссектриса

Дәлелдеу керек:

Дәлелдеу:, түсіреміз

тік бұрышты үшбұрыштар. өйткені -ортақ . Сондықтан , теорема дәлелденді.

2–теорема. Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

Берілгені:

биссектрисалар

Дәлелдеу керек: бір нүктеде қиылысатынын.

Дәлелдеу: -да және биссектрисаларын жүргізейік

О нүктесінен перпендикулярларын жүргізейік.

1 теорема бойынша . Сондықтан , яғни О нүктесі үшбұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатыр, демек ол биссектриса бойында жатыр. Олай болса, биссектрисалары бір О нүктесінде қиылысады. Үшбұрыш биссектрисаларының қиылысу нүктесі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болады.

2. Үшбұрыш қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар.

 Анықтама. Кесіндінің ортасы арқылы оған перпендикуляр өтетін түзуді кесіндіге орта перпендикуляр түзу дейміз.

 3-теорема. Кесіндіге орта перпендикулярдың кез келген нүктесі осы кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.

Берілгені: кесіндісі

, түзуі

Дәлелдеу керек:

Дәлелдеу: Егер мен О беттессе, онда бұл теңдік дұрыс. қарастырамыз. Бұл тік бұрышты үшбұрыштар. ортақ болғандықтан , бұдан .

 4-теорема. Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.

Берілгені:

- ге түсірілген орта перпендикулярлар

Дәлелдеу керек: Орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады

Дәлелдеу: АВ қабырғасына орта перпендикулярлар , ға түсіреміз . нүктесінде қиылысып, 3 теоремаға сәйкес болғандықтан , бұдан . Ендеше үш перпендикулярлар О нүктесінде қиылысады. Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі болады.

3. Үшбұрыштың биіктіктері.

 5-теорема. Кез келген үшбұрыштың биіктіктері бір нүктеде қиылысады.

Берілгені:

биіктіктер

Дәлелдеу керек: Осы биіктіктер бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеу: төбелері арқылы жүргіземіз, шығады. Салу бойынша , сондықтан , (ішкі айқыш бұрыштар), бұдан . Осы сияқты ендеше -ның биіктігі кесіндісінің орта перпендикулярында жатады. Сол сияқты биіктіктері де қабырғаларының орта перпендикулярында жатады. 4теорема бойынша биіктіктері О нүктесінде қиылысады. Үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі ортоцентр деп аталады.

4. Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі

Дәлелдеу . A₁, B₁ и C₁ — ABC үшбұрышының BC, CA және AB қабырғаларыныңорталары болсын. (4 сур).

G—AA₁ и BB₁медианаларының қиылысу нүктесі болсын. Алдымен, AG:GA₁ = BG:GB₁ = 2 екендігін дәледейік.

Ол үшін AG және BG кесінділерінің ортасы ретінде P және Q деп аламыз. Үшбұрыштың орта сызығы туралы теорема бойынша B₁A₁ және PQ кесінділері AB абырғасына параллель және оның жартысына тең. Сондықтан A₁B₁PQ төртбұрышы —параллелограмм. Онда PA₁ және QB₁диагональдарының қиылысу нүктесі болатын G нүктесі әр диагональды қаққа бөледі. Демек, P және G нүктелері AA₁ медианасын тең үш бөлікке, ал Q және G нүктелері BB₁ медианасын тең үш бөліккке бөледі. Яғги, үшбұрыштың екі медиананың қиылысу нүктесі болатын G нүктесі әрбір медиананы төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөледі.

Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесін центроид немесе ауырлық центрі деп атайды.

 Сабақты ұйымдастыруға арналған әдістемелік нұсқаулық. Қалыптастырушы бағалауға нұсқаулық

 Алдымен оқушылардың қызығушылықтарын ояту үшін практикалық тапсырма ұсынылады. Бұл тапсырма оқытуда бағыттаушылық ақпаратты ашу (guided discovery learning) әдісі арқылы ұйымдастыруға және үшбұрыштың тамаша нүктелерін зерттеуге мүмкіндік береді. Берілген тапсырмада оқушылар ойын-сауық саябағының орналасуы орнын анықтау керек болады. Бұл жерді табу кезінде оқушылар қиындыққа тап болады. Мұғалім берілген тапсырманы орындау үшін

a) үшбұрыштың үш медианаларын жүргізу;

b) үшбұрыштың үш биіктіктерін жүргізу;

с) үшбұрыштың үш биссектрисаларын жүргізу;

d) үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген үш орта перпендикулярларын жүргізу керектігін айтады және олардың анықтамаларын еске түсіреді.

Кейін оқушылар жұпта тапсырма орындайды және сұрақтың жауабын алады.

Оқушылардың жауаптары әр түрлі болуы мүмкін. Бірақ бұл жерде маңыздысы оқушылардың өз шешімдері үшін негіздемесінің бар болуы. Мысалы, олар орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесін (сырттай сызылған шеңбердің центрін) алулары мүмкін, себебі, ол үш қаладан бірдей қашықтықта жатыр. Немесе олар биссектрисалардың қиылысу нүктесін(іштей сызылған шеңбер центрін) алуы мүмкін, себебі, ол әр автомагистральдан бірдей қашықтықта жатыр. Олар медианалардың қиылысу нүктесін (ауырлық центрі) алуы мүмкін, себебі ол екі қалаға жақынырақ, бірақ Лейзитауннан алысырақ жатады.

Жаңа материал презентация арқылы және Bilimland.kz сайтынан видеороликтер көрсетілу арқылы түсіндіріледі.

 Оқушылардың үшбұрыштың медианалары, биссектрисалары, биіктіктері және үшбұрыш қабырғаларына жүргізілген орта перпедикулярлардың қасиеттерін қолданып, есеп шығару дағдыларын жетілдіру мақсатында бекіту тапсырмалары орындалады. Тапсырма есептері сыныпта талданады.

 Сабақтың соңында оқу мақсатына жету үшін қалыптастырушы бағалау тапсырмасын орындап мұғалімге тапсырады.

Қажетті сілтемелер мен әдебиеттер тізімі

 Ә.Н.Шыныбеков. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептердің 8-сыныбына арналған оқулық. Алматы: Атамұра, 2012.