Дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары. 1 сабақ.

Мектеп:

Мұғалімнің аты-жөні Мұғалімнің аты-жөні:

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

10.3.2.14 дискреттік кездейсоқ шаманың дисперсиясын және орташа квадраттық (стандарттық) ауытқуын есептей алады

Оқушылар: дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын есептей алады

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

Оқушы:

- дискреттік кездейсоқ шама туралы түсінеді;

- математикалық күтім нені білдіретінін түсінеді;

- математикалық күтімді дұрыс анықтайды ;

- дисперсияны есептейді;

- орташа квадраттық ауытқуын есептейді;

- есептерді шығарған кезде математикалық күтімнің, дисперсияның қасиеттерін біледі және қолданады

Оқушылар: нақты жағдайлардың ықтималдық үлгісін салу барысында бөлімнің пәндік лексикасы мен терминологиясын қолданады.

Пәнге қатысты лексика мен терминология:

Дискреттік кездейсоқ шама, варианта, ықтималдық, сынақ, үлестіру заңы; мода; медиана; орташа мән; стандарттық ауытқу; математикалық күтім; дисперсия

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер:

Мүмкіндіктерді бейнелеу үшін болады, мүмкін, ықтимал сияқты модальдік етістіктерді қолдану

Академиялық шыншылдық, толеранттылық

Ж.А білу және түсіну: тұрақты даму, әлеуметтік әділеттілік және теңдік

Ж.А құндылықтары: әлемдегі және қоршаған ортадағы жағдайларды жақсартуға белсенді қатысуға шешім қабылдау

Ж.А.дағдылары: өзінің айналасындағыларға ашық, әділ қарым–қатынас және олардың құқықтарын құрметтеу

Ағылшын тілі, физика, химия, биология

Интерактивті тақтаның мүмкіндіктерін қолдану, Интернет ресурстары

Түсіну және қарапайым ықтималдықтарды есептеу

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

Ұйымдастыру кезеңі.

  I. Ұйымдастыру мезеті

 1. Сәлемдесу.

 2. Оқушыларды тексеру.

 II. Сабақтың тақырыбын хабарлау және сабақ мақсаттарын қою

 Өткен сабақтарда біз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамалардың түрлері, кездейсоқ шамалардың үлестіру қатары және үлестіру заңы сияқты ұғымдармен танысқан болатынбыз.

 Бүгін біз дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары атты ұғымдарымен танысамыз.

 Бұл сипаттамалар әрі қарай ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика курсында жиі қолданылады.

 III. Негізгі білімді өзектендіру

 Ауызша сұралым:

• 1. Кездейсоқ шама дегеніміз не?
• Қандай кездейсоқ шаманы дискреттік деп атайды?
• 3. Үлестіру заңы дегеніміз не?
• 4. үлестіру заңы қатарын қалай салады?
• 5. Үлестіру көпбұрышы дегеніміз не?
• 6. Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі дегеніміз не?

 Оқушылар өз сыныптастарының ауызша жауаптарын қате болған жағдайда түзете алады, берілген жауаптан кейін жауабы бар слайд ашылады.

Кездейсоқ шама - тәжірибе нәтижесінде аталмыш немесе басқа мән қабылдай алатындай, әрі тәжірибе соңына дейін қандай мән қабылдайтыны белгісіз шама.

Дискреттік кездейсоқ шама – анықталған ықтималдықтарымен жеке, оқшауланған мәндер қабылдай алатындай шама.

Үлестіру заңы – кездейсоқ шама мәндері және оның болуы ықтималдықтары арасындағы сәйкестікті орнататындай кез келген ереже

Үлестіру заңы - x_i және оларға сәйкес p_i ықтималдықтарының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығы.

Үлестіру көпбұрышы – түйіндері (x_i;р_i) нүктелері болатын қисық сызық болатын үлестіру қатарының графиктік бейнелеуі.

Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі - оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысы

Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға көңіл бөлу.

Сабақтың тақырыбын және мақсатын оқушылармен бірге анықтау.

IV. Жаңа материалды меңгеру ( презентацияның көмегімен проблемалық диалог түрінде өткізіледі, негізгі сәттерді оқушылар жұмыс дәптерлеріне жазады).

Дискреттік кездейсоқ шаманың дисперсиясы

 Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтынын көрдік. Көптеген практикалық мәселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың үлестіру заңын іздестірмей-ақ, сол үлестірудің маңызды ерекшелігін қамтитын кейбір сандық сипаттамаларымен қанағаттануға болады.

 Ықтималдықтар теориясында бұл сандық сипаттамалар мен оларға қолданылатын амалдардың ролі өте-мөте зор. Осы сандық сипаттамаларды білу нәтижесінде көптеген ықтималдықтар есептерін шешу жеңілденеді. Әрине, мұндай сандық сипаттамалар көп-ақ. Біз солардың ішінен дисперсия, орташа квадраттық ауытқу ұғымдарыні қарастырамыз.

 Қандай да тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан шыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математикалық күтім мәнінің ролі зор екенін көрдік.

 Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия дейді және деп белгілейді.

 Сонда, анықтама бойынша

 Егер Х дискретті кездейсоқ шама болса,

 формуласымен өрнектеледі.

 Дисперсияның қасиеттері

 1⁰-қасиет. Тұрақтының дисперсиясы нөльге тең, яғни .

 Д/уі:

 2⁰-қасиет. Тұрақтыны дисперсия таңбасының сыртына квадрат дәрежелеп шығаруға болады, яғни .

 3⁰-қасиет. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының (айырмасының) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни .

 1-салдар. Кездейсоқ шама мәніне тұрақты С-ны қосқаннан (азайтқаннан) дисперсия мәні өзгермейді, яғни .

 2-салдар. .

4⁰-қасиет. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы сол кездейсоқ шама квадратының математикалық күтімі мен оның математикалық күтімі квадраттарының айырмасына тең, яғни .

 Кездейсоқ шама вариациасының шын заңдылығын сызықтық ауытқу әрқашанда ескере алмайды. Өйткені ауытулар орталандырылып тегістендіріледі де, үлкен ауытқулар, әсіресе сынау саны үлкен болғанда, сезілмей қалады. Ал көптеген практикалық мәселелерді шешкенде мұндай үлкен ауытқуларды ескерудің маңызы зор. Сондықтан мұндай мәселерді шешкенде ауытқудың өзін алмастан оның квадратын алады.

 Белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын тәжірибелік дисперсия деп атаймыз және былай белгілейміз

Онда орташа квадраттық (стандарттық) ауытқуын былай есептейміз:

=.

 V. Жаңа материалды бекіту

Есептерді шешу.

№1. Ақша лотереясында мыналар ойналды: билеттерінің жалпы саны 10000 болғанда 100000 теңгеге 1 ұтыс, 10000 теңгеге 10 ұтыс, 1000 теңгеге 100 ұтыс. Ұтудың математикалық күтімін және дисперсиясын табыңыз.

Шешуі.

Бір лотерея билетінің иесінің кездейсоқ ұтысының үлестіру заңын табайық.

Мұнда үшін мүмкін мәндер:

.

Олардың сәйкес ықтималдықтары:

.

Сондықтан, кездейсоқ ұтысының үлестіру заңы мына кестемен беріледі:

кездейсоқ ұтысының математикалық күтімін табайық. Алынған кестені қолдана отыра, мынаны аламыз:

(теңге).

теңге бір лотерея билетінің әділетті құны болатыны айқын.

Онда Х кездейсоқ шамасының ауытқуы мынадай:

Ауытқу квадратының үлестіру заңын жазайық:

Дискретті кездейсоқ шама дисперсиясы мына формула арқылы жазылады:

.

№2.

үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін және дисперсиясын табыңыз.

№3. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Оның математикалық күтімін және дисперсиясын табыңыз.

Шешуі. Жоғарыда келтірілген формула бойынша есептейміз.

Сонымен математикалық күтім 0,5-ке тең. Дисперсияны есептейік:

.

Жауабы: M(X) = 0,5; D(X) = 5,65

№4. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі мен дисперсиясын табыңыз.

Шешуі. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз.

M(X) =  = = 4×0,1 + 1×0,16 + 0×0,3 + 2×0,25 + 6×0,15 + 10×0,04 = = 0,4 + 0,16 + 0 + 0,5 + 0,9 + 0,4 = 2,36

Сонымен   M(X) = 2,36. Дисперсияны есептейік:

(4 − 2,36)²·0,1 + (1 − 2,36)²·0,16 + (0 − 2,36)²·0,3 + (2 − 2,36)²·0,25 + (6 − 2,36)²·0,15 + (10 − 2,36)²·0,04 =

= 1,64²·0,1 + (−1,36)²·0,16 + (−2,36)²·0,3 + (−0,36)²·0,25 + 3,64²·0,15 + 7,64²·0,04 =

= 0,26896 + 0,295936 + 1,67088 + 0,0324 + 1,98744 + 2,334784 = 6,5904.

Жауабы: M(X) = 2,36; D(X) = 6,5904.

№5. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Оның сандық сипаттамаларын табыңыздар.   

Шешуі:

 ,

 .

м.

кездейсоқ шамасы жайлы немесе оның математикалық күтімі 6,4 м, дисперсиясы 13,04 м² , немесе немесе оның математикалық күтімі 6,4 м, ал ауытқуы  м деп айтады.

№6. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі, дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуын табыңыздар.

Шешуі.

Математикалық күтімді мына формуламен табамыз:

.Дисперсияны келесі формула арқылы іздейміз:  ..  орташа квадраттық ауытқуын мына формуламен табамыз: 

.

Үй тапсырмасы.

Рефлексия:

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау оқушылардың

Материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақт саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткенекі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?