Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Алгебра, 10 сынып, дидактикалық материал.

Қосымша 1

Дидактикалық материал

Бағалау критерийлері:

- математикалық күтім формуласын қолданады;

- есептеулерді дұрыс жүргізеді;

- жауабын дұрыс жазады;

Мысал 1:

Екі Х және У кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдылығы:

М(Х) және М(У) математикалық күтімін есептеңіз.

Шешуі. Классикалық формула бойынша математикалық күтімін табамыз:

Қосымша 2

Бағалау критерийлері:

- дисперсияның қасиеттерін біледі және қолданады;

- дисперсияны табу формуласын дұрыс қолданады;

- дисперсияның мәнін дұрыс табады;

- орташа квадраттық ауытқу формуласын дұрыс қолданады;

- орташа квадраттық ауытқу мәнін дұрыс табады;

Мысал 1. Дискреттік кездейсоқ шаманың үлестірім заңдылығы кестемен берілген:

D(X) дисперсия және орташа квадраттық ауытқуды есептеңіз.

Шешуі. Дисперсияның қасиеттері бойынша:

Бағалау критерийлері:

- сәйкес ықтималдықтарды табады;

-үлестірім заңдылығын кесте түрінде жазады;

- дисперсияның қасиеттерін біледі және қолданады;

- дисперсияны табу формуласын дұрыс қолданады;

- дисперсияның мәнін дұрыс табады;

- орташа квадраттық ауытқу формуласын дұрыс қолданады;

- орташа квадраттық ауытқу мәнін дұрыс табады;

Мысал 2.

Әрқайсысының жарамсыздық ықтималдығы q = 0,2-ге тең 4 электр лампасы бар ( p = 1 – q = 0,8 — лампаның жарамды болу ықтималдығы). Лампаларды кезекпен бір-бірден алып, патронға бұрап электр тогын қоса бастады. Токты қосқан кезде лампа күйіп кетуі мүмкін, онда басқа лампаға ауыстырылады. X кездейсоқ шамасының үлестірім заңдылығын құрыңыз (X — сынақтан өткізілетін лампалар саны). орташа квадраттық ауытқуын есептеңіз.

Шешуі. X дискреттік кездейсоқ шамасы (сынақтан өткізілетін лампалар саны) мынадай мәндерді қабылдауы мүмкін:

Сәйкес ықтималдықтарын табайық:

Соңғы ықтималдықтың түсіндірілуі: үшіншісі де күйіп, төртіншісі күймейді немесе төртіншісі де күйіп кетеді.

Х –тің үлестірім заңдылығының кесте түрінде берілуі:

Орташа квадраттық ауытқуды есептеу үшін алдымен дисперсияның мәнін табамыз:

Дисперсияны квадраттық түбірден шығару арқылы орташа квадраттық ауытқуды табамыз.

.

Қосымша 3

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1. X кездейсоқ шама, a кез келген сан. Y=aX кез келген кездейсоқ шаманы қарастырамыз. Онда M(Y)=aM(X) орындалады.

2. Айталық, U және V екі кездейсоқ шама. Онда U+V кездейсоқ шама, сонымен қатар M(U+V)=M(U)+M(V) орындалады.

Дисперсияның қасиеттері:

1. X кездейсоқ шама, a кез келген сан. Y=aX кез келген кездейсоқ шаманы қарастырамыз. Онда D(Y)=a²D(X)

2. X кездейсоқ шама. Y=X+a кездейсоқ шаманы қарастырамыз. Онда D(Y)=D(X)

Қосымша 4

Бағалау критерийлері:

- дисперсияның қасиеттерін біледі және қолданады;

- дисперсияны табу формуласын дұрыс қолданады;

- дисперсияның мәнін дұрыс табады;

- орташа квадраттық ауытқу формуласын дұрыс қолданады;

- орташа квадраттық ауытқу мәнін дұрыс табады;

№1

X кездейсоқ шама -3-тен 7-ге дейін бүтін мәндері бар бірдей ықтималдықтарды қабылдайды. У кездейсоқ шама 1 –ден 9 – ға дейін бүтін мәндері бар бірдей ықтималдықтарды қабылдайды. Z кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңыз:

1) Z=X+Y ; 2) Z=X-Y

№2

Табысқа жету ықтималдығы –ге тең болатын Бернулли сынағы бір рет өтеді. Кездейсоқ шама S «табысқа жету саны». D(S) табыңыз.

№3

Табысқа жету ықтималдығы р –ге тең болатын Бернулли сынағы бір рет өтеді. Кездейсоқ шама S «табысқа жету саны». D(S) табыңыз.

№4

X кездейсоқ шаманың таралуы берілген

1)

2)

Осы кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орта квадраттық ауытқуын табыңыз?

№5

X кездейсоқ шаманың таралуы берілген

Y кездейсоқ шаманың таралуы берілген

X және Y кездейсоқ шамалардың таралуын салыстырыңыз. Осы шамалардың дисперсияларын есептеңіз?

№6

X кездейсоқ шаманың таралуы берілген

Z кездейсоқ шаманың таралуы берілген

Z және X кездейсоқ шамалардың таралуын салыстырыңыз. Осы шамалардың дисперсияларын және орта квадраттық ауытқуларын есептеңіз?

№7

Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы 3-ке тең. D(Y) табыңыз, егер:

1) Y=3X ; 2) Y=X+5; 3) Y=-4X ; 4) Y=2X-1 ; 5) Y=5-3X ; 6) Y=-5X-7.

«Ойын сүйегін екі рет лақтырғанда ұпайлар саны» - ның кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз?

№8

Бірдей ықтималдықпен барлық 1) 0-ден 6-ға дейін, 2) 1-ден 7-ге дейін

бүтін мәндерді қабылдайтын кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз

№9

Ойын сүйегін 13500 рет лақтырды. X кездейсоқ шаманы қарастырайық, егер ол лақтыру санына тең болса және 1) түскен ұпайлар саны еселі 2) 5 деген ұпай түсті. D(X) табыңыз.

№10

Нысанаға бірнеше рет оқ атылады. Оқтың нысанаға тию ықтималдығы p=0,3. Нысанаға тигізу саны S есептеледі. S шамасының дисперсиясын табыңыз, егер барлығы 1) 100 оқ 2) 1000 оқ 3) 2500 оқ атылған болса.

Қосымша 5

№1

1) 5 ойын сүйегін, 2) 7 ойын сүйегін, 3) 100 ойын сүйегін, 4) k ойын сүйегін

лақтырғанда ұпайлар қосындысының математикалық күтімін табыңыз?

№2

Х кездейсоқ шаманың математикалық күтімі 3, У кездейсоқ шаманың математикалық күтімі 4. M(Z) неге тең, егер: 1) Z=X+Y; 2) Z=X-Y; 3) Z=2X ; 4) Z=3X+2Y; 5) Z=2X-3Y-1; 6) Z=5-3X.

№3

X кездейсоқ шаманың таралуы берілген:

1)

2)

Осы шаманың дисперсиясы мен орта квадраттық ауытқуын табыңыз?