Бернулли формуласы. Биномдық үлестірім. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Мектеп:

Мұғалімнің аты-жөні:

Бернулли формуласы

Биномдық үлестірім

Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме)

11.4.2.3 Бернулли формуласын есептерді шешуде қолданады;

11.4.2.4 биномдық үлестірімнің мағынасын түсінеді;

 Сабақтың мақсаты

Бернулли формуласын есептерді шешуде қолданады;

биномдық үлестірімнің мағынасын түсінеді;

 Жетістік критерийлері

Оқушылар:

Бернулли схемасын пайдалану үшін қажетті шарттарды біледі;

Бернулли формуласын біледі;

• Бернулли формуласын есептерді шешуде қолданады;

 Тілдік мақсаттар

Оқытудың тілдік мақсаты

Оқушылар:

• модальды етістіктер және шартты сөз тіркестері арқылы тепе-теңдіктің бастапқы мәселе деңгейлерінде орын ауыстыруларды және терулерді есептеу үшін формулаларға ауызша сипаттайды,

биномдық үлестірім жолымен қандай карталарды құруға (үлгілеуге) болатынын жұпта талқылайды және өз жауабына түсінік береді.

Бөлім бойынша лексика мен терминология

• теру/амалдар орындау;
• орын ауыстыру;
• n-нің ішінен r элементтерін таңдау;
• рет;
• реттеу;
• орын ауыстыру;
• қайта реттеу;
• биномдықүлестірім;

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

• Мүмкіндіктерін көрсету үшін болуы мүмкін, мүмкін, істей алу, ықтимал сияқты модальды етістіктерді пайдалану.
• Орындықта отырған 5 адамды қанша түрлі тәсілдер арқылы ұйымдастыра аламын?
• Сіз оларды … әр түрлі тәсілмен ұйымдастыра аласыз, өйткені … .
• Егер менде Х қана орындық болса, не болады?
• Егер сізде х орындық болса, сіз оларды … әр түрлі тәсілмен реттей аласыз, себебі … .

 Құндылықтарды дарыту

Құндылықтарды дарыту жеке жұмыс, жұптық жұмыс арқылы жүзеге асады. Пікірталас, өз ойын қорыту, пікірін көпшілік алдында дәлелдей білу, диалог кезінде өз ойын түсіндірумен қатар басқалардың да пікірін тыңдап, құрметтеу, өзара көмек көрсету сияқты әрекеттер жүргізіледі.

 АКТ қолдану дағдылары

Сабақта алынған кез-келген ақпарат Интернет-ресурстармен және электронды кітаптармен және оқулықтармен расталады

 Пәнаралық байланыстар

Статистика, ықтималдықтар теориясы

Алдын ала меңгерілуге тиісті білімдер

Қисап 1 бөлімінде қарастырылған шектерді таба алады, функцияның үзіліс нүктелерін анықтай алады. Градиент ұғымын түсінеді және оның графигімен байланысын көре алады.

Сабақтың жүру барысы

Жоспарланғаніс–шаралар

І. Ұйымдастыру:

Амандасу, оқушылардың сабаққа дайындығын тексеру

  ІІ. Сынып жұмысы

11.4.2.3 Бернулли формуласын есептерді шешуде қолданады;

Бернулли сынақтарында «сәтті» оқиға санының қанша рет болуы немесе «сәтті» оқиға санының қай аралықта болуы ықтималдықтары туралы сұрақтар қарастырылады. Мысалы, дайын өнімді қабылдау статистикалық ережелерге негізделеді: тексерілетін партиядағы жарамсыз өнімнің саны белгілі бір көлемнен аспаса, барлық партия қабылданады, керісінше жағдайда – қайта өңдеуге жіберіледі.

Сондықтан тексерілетін партиядағы жарамсыз өнім санының берілген санға тең болу ықтималдығын есептей алу қажет. Осы сұраққа жауап беру үшін, алдымен n рет сынақта оқиғаның m рет орын алуының ықтималдығын есептейтін формуланы қорытамыз.

Формуланы қорыту идеясын мысал арқылы көрсетейік.

Мысал 1. Атқыш нысанаға үш рет тәуелсіз оқ атты. Әр атудағы нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,9. Атқыштың дәл екі рет нысанаға тигізе алу ықтималдығын табыңыз.

А – атқыштың нысанаға тигізуі,

– атқыштың нысанаға тигізе алмауы,

U = {ААА, АА, АА, А, АА, А, А, }. Мысалы, АА жазуы алғаш екі рет тигізді, ал үшіншісін тигізе алмады деген мағынаны береді.

Нәтижелердің әртүрлілігіне назар аударыңыз. «Атқыш нысанаға дәл екі рет тигізді» оқиғасы үш жерде: АА, АА, АА. Оқиға орындалатын нәтижелер саны А әріпі үшін үш орынның екеуін таңдау санымен сәйкес келеді – . Әрқайсы нәтиженің ықтималдығы сынақтар тәуелсіз болғандықтан, 0,9²∙0,1-ге тең. Ізделінді Р₃(2) ықтималдық оқиға ықтималдығының анықтамасы бойынша:

Р₃(2)=0,9²∙0,1+0,9²∙0,1+0,9²∙0,1=3∙0,9²∙0,1=∙0,9²∙0,1=0,243

Осы сияқты

Р₃(0)=Р()=0,1³= ∙0,9⁰∙0,1³=0,001

Р₃(1)=Р(А, А, А)=3∙0,9¹∙0,1²=∙0,9¹∙0,1²=0,027

Р₃(3)=Р(ААА)=0,9³= ∙0,9³∙0,1⁰=0,729

Р₃(0)+ Р₃(1)+ Р₃(2)+ Р₃(0)= 0,1³+3∙0,9¹∙0,1²+3∙0,9²∙0,1+0,9³=(0,1+0,9)³=1

Мысалды жалпылауды қарастырайық.

Нәтижесі «сәтті» немесе «сәтсіз» болатын n рет Бернулли сынақтары өткізілсін. Әр сынақтағы нәтиженің ықтималдығы сәйкесінше p және q = 1 – p. Онда нәтиженің m рет «сәтті»болуының ықтималдығы: P_n(m)= ∙p^m∙q^n-m

Бұл теңдік швейцариялық математик Бернулли (1654—1705) атымен аталады.

Алынған формуланы қолдануға есептер қарастырайық.

Мысал 2. Электр қуатын тәулігіне бекітілген нормадан асырмай тұтыну ықтималдығы р=0,75.

(а) алдағы алты тәуліктің қандайда бір төрт тәулігінде қуатты тұтыну нормадан аспауының;

(б) алдағы алты тәулікте қуаттың төрт тәуліктен аз уақытта нормадан аспауының;

ықтималдығын табыңыз.

(а) Тәуліктегі электр қуатын тұтынуды оқиға деп есептейік, ал оның нормадан аспауын «сәтті» оқиға деп есептейік. Сынақтар тәуелсіз.

Р(У)=р=0,75; Р(Н)=q=1-p=1-0,75=0,25

Р₆(4)-ықтималдықты табу қажет.

Р₆(4)= ∙p⁴∙q^6-4=

(б) «алдағы алты тәулікте қуаттың төрт тәуліктен аз уақытта нормадан аспайды» оқиғасы мүлдем нормадан аспайды, немесе қандайда бір тәулікте нормадан аспайды, немесе қандайда бір екі тәулікте немесе қандайда бір үш тәулікте нормадан аспайды деген мағыналарды білдіреді. Бұл оқиғаның ықтималдығы өзара үйлесімсіз оқиғаларды қосу туралы теорема бойынша:

Р₆(0)+ Р₆(1)+ Р₆(2)+ Р₆(3)= ∙p⁰∙q⁶+∙p¹∙q⁵+∙p²∙q⁴+

+∙p³∙q³ = 0,25⁶+6∙0,75∙0,25⁵+15∙0,75²∙0,25⁴+20∙0,75³∙0,25³

≈0,169.

Жаңа сабақ

Биномдық үлестірім

11.4.2.4 биномдық үлестірімнің мағынасын түсінеді;

n рет сынақтағы «сәтті» оқиғалар санын қарастыратын Бернулли сынақтарын nжәнеpпараметрлі биномдық үлестірім деп атайды. Белгіленуі: Х∼B(n,p)

Жоғарыдағы (Мысал 1, атқыштың үш рет оқ атуы туралы) мысалда біз X кездейсоқ шамасының үлестірім заңын құруға қажетті барлық мәліметтерді таптық — үш рет оқ атудағы нысанаға тигізу ықтималдықтары:

яғни Х биномдық үлестірім болып табылады, n=3 және p=0,9 параметрлер, Х∼B(3,0.9).

Мысал 3. Х∼B(8, 0.25) берілген. Табыңыз: (а) Р(Х=6);

(б) Р(Х≤2); (в) Р(Х>0);

(a) P(X=6)= ∙0.25⁶∙0.75² = 28∙0.25⁶∙0.75²≈0.00385 жауабы үш мәнді цифрға дейін дөңгелектенген,

(б) Р(Х≤2)= Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= ∙0.25⁰∙0.75⁸+

+∙0.25¹∙0.75⁷+∙0.25²∙0.75⁶= 0.1001...+0.2669...+

+0.3114...=0.6785...≈0.679 жауабы үш мәнді цифрға дейін дөңгелектенген,

(в) P(X>0)=1-P(X=0)=1-∙0.25⁰∙0.75⁸=1-0.1001=0.8998...≈

≈0.900 жауабы үш мәнді цифрға дейін дөңгелектенген.

Қосымша мәлімет:

Закон биноминального распределения случайной величины

  Распределение вероятностей, вычисляемых по формуле Бернулли,

называется биномиальным. 

  Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения имеют вид: 

  M(X)=n*p , D(X)=n*p*q

 Сондықтан бұл мысалдағы кездейсоқ шаманың биномдық үлестіріммен берілгенін ескерсек, онда сандық сипаттамаларды пайдаланып та есептеуге болады

№1. Берілген партияның 10 проценті сапасыз бұйымдар. Кез келген 4 бұйым алынды. Осы төрт бұйымдардың ішінде сапасыз бұйымдардың пайда болу санының үлестірім заңын жазу керек.Сандық сипаттамаларын есептеу керек.

 Шешуі: х-сапасыз бұйымдардың пайда болуының саны. Әрбір сапасыз бұйымның пайда болу ықтималдығы 0,1 – ге тең, себебі берілген партияның 10 проценті сапасыз бұйымдар.Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген.Мұнда n=4, p=0,1 , q=0,9

Сонда

х 0 1 2 3

р С С С С С

немесе

х 0 1 2 3 4

p 0,6581 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

Енді математикалық сипаттамаларын табайық

М(Х)=4 , D(Х)=4 , .

Барлық оқушылар тапсырмаларын орындап болғаннан кейін, өзін – өзі бағалау жасайды.

№1. Жәшікке 500 жұмыртқа салынады. Ашқан кезде жұмыртқаның 0,7% - і жарық болып шығады. Жәшікті ашқан кезде алынған 3 жұмыртқаның жарық болу ықтималдығығын табыңдар.

Шешуі: (Биномдық үлестірім арқылы)

№2. Супермаркеттен алған тамақтың сол күнде түскен болу ықтималдығы 0,75. Кездейсоқ 10 адамның ішінен 3 адамның сол күнгі тамақты алу ықтималдығын табыңдар.

Шешуі:

Дифференциацияланған есептер

А деңгей. Бес ойын кубиктері бір уақытта лақтырылды

(а) Барлық бек кубиктің 1 түсу ықтималдығын табыңыз.

(б) Дәл үш кубиктің 1 түсу ықтималдығын табыңыз.

(в) 1 дің мүлдем түспеу ықтималдығын табыңыз.

В деңгей. Фабрика өндірілген жұмыртқаларды әр қорапқа алтаудан салып орайды. Жұмыртқаны қорапқа орналастыруда оның сыну ықтималдығы барлық жұмыртқалар үшін тәуелсіз түрде 0,1-ге тең. Егер қораптағы жұмыртқалардың кемінде екеуі сынса, онда ол қорап «жаман» деп есептелінеді. Қораптың «жаман» болу ықтималдығын табыңыз. Бүкіл партиядағы дайындалған қораптардың ішінен он қорап таңдап алынды. Осы он қораптың ішінде екеуі «жаман» болуының ықтималдығын табыңыз.

С деңгей. Қорапта әртүрлі түстегі 300 дисктер бар. Оның ішінде 100 данасы қызғылт, 100 данасы көк және 100 данасы ақ. Әр түстің дисктері 0 ден 99-ға дейінгі сандармен нөмірленген. Бір-бірден кездейсоқ бес диск таңдап алынды, әр кезеңде алынған диск орнына қайтарылып отырды.

(а) Қызғылт түстегі дисктің мүлдем таңдалмау ықтималдығын табыңыз.

(б) 6 цифрымен аяқталатын дәл екі дана дисктің таңдалу ықтималдығын табыңыз.

(в) 6 цифрымен аяқталатын дәл екі дана ақ түсті дисктің таңдалу ықтималдығын табыңыз.

Үй тапсырмасы

Рефлексия жазу.

Қосымша ақпарат

Дифференциация – қосымша қолдауды қалай көрсетесіз? Үлгерімі жақсы оқушылар алдында барынша қиын есептерді қалай қоюды жоспарлап отырсыз?

бағалау – оқуда оқушылар жетістіктерін қалай тексеруді жоспарлап отырсыз?

Айқаспа сілтемелер

Денсаулық жағдайын тексеру

АТ құндылықтар

Қиынырақ есептер беріп, олардың нәтижесімен қорытынды жасату

Жеке тапсырмалар беру арқылы

Талқылау

Сабақмақсаты/оқытумақсатыіскеасырылдыма? Бүгіноқушыларнементанысты? Сыныпта атмосфера қандай? Дифференциация жұмысістедіме? Уақытжеттіме? Қандайөзгерістержоспарғаенгізілдіжәне неге?

Қорытындыбаға

Қандайекізатөтежақсыөтті (оқудажәнеоқубарысында)?

1:

2:

Қандайзаттарсабақтыжақсартареді (оқудажәнеоқубарысында)?

1:

2:

Осы сабақтасынып өте белсенді қатысып отырды