Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамаларын таңдамалар бойынша бағалау. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары

 X кездейсоқ шамасының үлестірімділік заңымен берілген мәндерінің орташа мәнін X кездейсоқ шамасының M(X) математикалық үміті деп атайды. Кейбір дереккөздерде математикалық үмітті E(X) деп белгілейді.

Х кездейсоқ шамасы үшін математикалық үміт келесі формуламен анықталады:

M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n.

X_a = X – M(X) саны X кездейсоқ шамасының математикалық үміттен ауытқуы деп аталады.

X кездейсоқ шамасының D(X) дисперсиясы деп X_a ауытқу квадратының математикалық үмітін айтады, яғни

D(X) = M[(X_a)²] = M[(X – M(X))²],

немесе

D(X) = (x₁ – M(X))²p₁ + (x₂ – M(X))²p₂ + ... + (x_n – M(X))²p_n.

Жалпы есептерді шешу барысында дисперсияны келесі формуламен табу тиімді:

D(X) = M(X²) – (M(X))².

Кейбір дереккөздерде дисперсияны Var(X) деп белгілейді.

X кездейсоқ шамасының орташа квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірінің мәніне тең, яғни σ =санын айтады.

Дисперсия мен орташа квадраттық ауытқу X кездейсоқ шамасы мәндерінің математикалық үмітпен салыстырғандағы «шашыраңқылығын» сипаттайды.

Мысалы, келесі заңдылықпен берілген X кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табайық.

X кездейсоқ шамасының математикалық үміті:

M(X) = (–2) ⋅ 0,25 + 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,15 + 5 ⋅ 0,3 + 7 ⋅ 0,1 = 2,2.

X кездейсоқ шамасының дисперсиясы:

D(X) = (–2 – 2,2)² ⋅ 0,25 + (1 – 2,2)² ⋅ 0,2 + (2 – 2,2)² ⋅ 0,15 + (5 – 2,2)² ⋅ 0,3 + (7 – 2,2)² ⋅ 0,1 = 9,36.

Сонымен қатар, дисперсияны басқа жолмен де табуға болады. X кездейсоқ шамасының квадраттарының математикалық үміті:

M(X²) = (–2)² ⋅ 0,25 + 1² ⋅ 0,2 + 2² ⋅ 0,15 + 5² ⋅ 0,3 + 7² ⋅ 0,1 = 14,2.

X кездейсоқ шамасының математикалық үмітінің квадраты:

M²(X) = 2,2² = 4,84.

Мәндерін мына формулаға қойып есептейміз:

D(X) = M(X²) – (M(X))² = 14,2 – 4,84 = 9,36.

X кездейсоқ шамасының орташа квадраттық ауытқуы

санына тең болады.