Кездейсоқ шама. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Қосымша 2

Кездейсоқ шама туралы ұғым

Күнделікті өмірде орындалатын да, орындалмайтын да оқиғалар жиі кездеседі. Таңертең тұрып терезеден далаға қарасақ, далада күн ашық болуы да, бұлтты болуы да, жаңбыр жаууы да, қар жаууы да мүмкін. Бұлардың бәрінің орындалу мүмкіндіктері тең. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Және олар кездейсоқ оқиға болып табылады. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі де – кездейсоқ оқиға. Сонымен, кездейсоқ оқиға деп белгілі бір тұрақты жағдайда орындалуы мүмкін немесе орындалмауы мүмкін оқиғаны айтады.

Ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі – кездейсоқ шама. Ендеше келесі мысалға көңіл бөлейік:1) Қалалық көлік қозғалысын бақылауда бір сағат ішінде кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар саны – кездейсоқ мән қабылдайды.2) Хаттар санағында кездейсоқ пошта бөліміне әр кун сайын түсетін хаттар саны - әр түрлі кездейсоқ мән қабылдайды.Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар:1) Әр мысалда кездейсоқ оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады.2) Бұр әрбір шама кездейсоқ тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды.Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды.Кездейсоқ шама кездейсоқ оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді.Мына мысалдарға назар аударайық:1) Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны;2) Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны;3) Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері.Бұл арада кездейсоқ шамалар алдын-ала көрсетілген жеке тиянақты мәндерді қабылдайды. Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды.Басқа типті кездейсоқ шамалар да бар. Мысалы:1) нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы;2) белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы;3) денені аналитикалық таразымен өлшегенде кететін қателіқ;4) кездейсоқ алынған дәннің салмағы.Берілген кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері бір-бірінен алшақ емес. Олар үзіліссіз шеткі нүктелері бар, ал кейде анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады.Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды.х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды.Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады.Дискретті X кездейсок шамасының таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы:Х х1 х2 ... хnр p1 p2 … pnКестенің бірінші жолында кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында олардың ыктималдықтары көрсетілген.Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім.Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді?Шешуі. X кездейсоқ шамасының мәндері0; 50; 250;500теңгедесек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады. Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген:X 0 50 250 500р 0,45 0,4 0,1 0,05Мысалы, қандай да бір ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70).Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250 • 0,1 + 500 • 0,05.Жауабы: 70 теңге.