Қайталанбалы және қайталанбайтын терулер. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Уровень А

1.Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

 Решение задачи:

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

С = .

 Ответ: 56.

2.Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят три человека, во вторую — пять и в третью — двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать? (Ответ записать в виде произведения сомножителей, не вычисляя его.)

 Решение задачи:

Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 элементов - С способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С= 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения, получаем: С С С.

Ответ: С С С.

3. Пример 3. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

4.Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

Ответ: .

5.Сколькими способами 40 человек можно рассадить в три автобуса, если способы различаются только количеством человек в каждом автобусе?

Решение. Выстроим 40 человек в очередь и выдадим каждому билет с номером автобуса. Получим выборку, например, такую:.В этой выборке 40 элементов (), а значений – номеров автобусов – три (). Порядок важен? Чтобы ответить на этот вопрос, поменяем местами двух человек в очереди и посмотрим, изменилась ли выборка. Выборка не изменилась, т.к. количество людей в каждом автобусе осталось прежним. Порядок не важен, поэтому выбираем левую часть блок-диаграммы (рис. 2.1). Повторения есть? Да, в нашей выборке номер автобуса может встречаться несколько раз. Следовательно, выборка является сочетанием с повторениями изпоэлементов:

Уровень В

1. Пример 4. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

.

2.Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

 способами можно выбрать 2 юношей; способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:  способами.

3. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С₇²) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С₉³) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С₈¹) по правилу

умножения получаем:

Ответ: 14 112 способов.

4. Пример 5. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

Подсказка

Все определяется местами, на которых стоят гласные буквы.

Ответ

  способами.

Уровень С

• Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно. образовать из букв слова уравнение?

 Решение задачи:

В слове уравнение 3 согласных и 4 гласных буквы русского алфавита. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С и С. После того, как 5 букв выбраны, необходимо посчитать все возможные перестановки этих букв: ССP₅.

 Ответ: ССP₅.

Дополнительные задания.

1.В классе, в котором учатся Петя и Ваня - 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?

Первый способ. Разберите три случая: в команду входит только Петя; в команду входит только Ваня; оба они в команду не входят.

 Второй способ. Сколько вариантов нас не устраивают?

  способами.

2.Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?

Ответ

  способами.

3.Сколькими способами 12 пятаков можно разложить по 5 различным кошелькам так, чтобы ни один кошелек не оказался пустым?

.

4. Переплетчик должен переплести 12 одинаковых книг в красный, зеленый или синий переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

  способом.