Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеулері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

 Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеулері.

 Физикалық табиғаты жағынан тербелістер әр түрлі болады. Сондықтан механикалық, электрлік тербелістер деп бөлінеді. Бірақ әртүрлі тербелмелі процестер бірдей сипаттамалармен, теңдеулермен анықталады. Ендеше тербелістерді бірыңғай тәсілмен зерттеу керек.

 Тек механикалық шамалардың (ығысу, жылдамдық, үдеу т.б.) өзгерісімен сипатталатын тербелістер механикалық тербелістер деп аталады.

 Тербеліс кезінде өзгеретін шаманың мәні бірдей уақыт аралығында қайталанатын болса, ондай тербелістерді периодты тербелістер деп атайды.

 Жүйеге энергия берілгеннен кейін сыртқы күштер әсер етпейтін тербелістерді еркін тербелістер деп атайды. Тербелістердің ең қарапайым түрі гармониялық тербелістер болып табылады.

 Синустар немесе косинустар заңымен өтетін тербелістер гармониялық делінеді: дененің тепе-теңдік жағдайдан уақытқа байланысты ығысуы мына түрде өтеді

мұндағы – тербеліс амплитудасы, дененің тепе-теңдік жағдайдан максимал (ең үлкен) ауытқуы; - дөңгелектік жиілік; - алғашқы фазасы (ол дененің уақыт мезетіндегі тепе-теңдік жағдайдан ауытқуын көрсетеді); - гармониялық тербеліс фазасы. Тербеліс фазасы (амплитудамен қатар) өзгеретін шамасының берілген уақыттағы мәнін анықтайды. Фаза бұрыштық бірліктермен (градус немесе радиан) өлшенеді. Косинус шамасы +1-ден -1-ге дейін өзгеретін болғандықтан, -те -дан -ға дейінгі мәндерге ие болады.

Гармониялық тербеліс жасайтын дененің белгілі бір күйі период деп аталатын уақыт аралығында қайталанып отырады және осы уақыт аралығында тербеліс фазасы -ге өсімшеленеді

бұдан .

 Тербеліс периодына кері шама, уақыт бірлігі ішінде жасалатын толық тербелістер саны тербеліс жиілігі деп аталады.

Жиілік бірлігі Герцпен өлшенеді. 1 Гц 1 с ішіндегі бір тербеліске тең.

1-мысал.

Жиілігі 0,5 Гц, амплитудасы 80 см және алғашқы фазасы 0-ге тең гармониялық тербелістердің теңдеуін жазыңыз.

Шешуі:

x = x_M cos ()

x = x_M cos ()

x = 0,8 cos

2-мысал.

2 мин аралығында 240 тербеліс жасалады. Амплитудасы 7 см және алғашқы фазасы π /2 рад-ға тең осындай гармониялық тербелістердің теңдеуін жазыңыз.

Шешуі:

x = x_M cos ()

x = x_M cos ()

()

()

Механикалық гармониялық тербелістер

 Материялық нүкте өсі бойымен координата басы ретінде алынған тепе-теңдік қалыптың төңірегінде гармониялық тербеліс жасасын. Бұл тербеліс теңдеуі болады.

 Материялық нүктенің жылдамдығы, үдеуі келесі формулаларға сәйкес

Сол кезде массасы тербелуші нүктеге әсер етуші күш

болады, яғни, күш нүктенің тепе-теңдік қалыптан ығысу шамасына пропорционал және ығысу бағытына қарама- қарсы бағытталады.

 Гармониялық осциллятор

  Тербелісі (1.1.6) теңдеуімен сипатталатын жүйе гармониялық осциллятор делінеді

 Гармониялық осциллятордың тербелісі периодты тербелістердің маңызды мысалдарының бірі: классикалық және кванттық физиканың көптеген есептерінің нақты немесе жуық модельдері болып табылады. Гармониялық осциллятор мысалдарына серіппелік, физикалық, математикалық маятниктер мен тербелмелі контур жатады.

 1. Серіппелік маятник

 Серіппелік маятник - қатаңдығы серіппеге ілінген, күштің әсерінен вертикаль бағытта гармониялық тербеліс жасайтын массасы жүк. Егер координаттар басы маятниктің тепе-теңдік күйімен дәл келсе, онда Гук және Ньютон заңдарына сәйкес серіппелі маятниктің қозғалыс теңдеуін мына түрде жазамыз мұндағы Гук заңымен анықталатын серпімділік күші.

 , белгілеулерді енгізіп

немесе теңдеулерін аламыз. Серіппелі маятниктің тербеліс периоды .

 Алдында қарастырылған формулалар бойынша .

  және формулаларды ескере отырып, серіппелі маятниктің потенциалдық энергиясын анықтауға болады:

 Серіппелі маятниктің гармониялық тербелісі кезінде серпімді деформацияланған дененің потенциалдық энергиясы оның кинетикалық энергиясына түрленеді.