Гармониялық тербелістің дифференциалдық теңдеуі. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Гармонические колебания

Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющийся во времени.

• механические колебания

• электромагнитные

• электромеханические
• Свободные (собственные) колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешнего воздействия на колебательную систему.

• Гармонические колебания – колеблющаяся величина изменяется со временем по закону

Sin или Cos.

• Периодический процесс (процесс,

повторяющийся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины S

описываются уравнениями типа

St  Acos₀t илиSt  Asin₀t ,(1)

• – максимальное значение колеблющейся величины, называется амплитудой колебаний,

ω₀ – круговая (циклическая) частота,

^0^{t  } – фаза колебаний в момент времени t.

Период – время, за которое система

возвращается в исходное состояние, фаза

колебаний получает приращение 2π:

Первая и вторая производная по времени от гармонически колеблющейся величины S(t) так же совершают гармонические колебания с той же циклической частотой.

dS

dt

 ^{  }

2 

Фаза dS/dt отличается от фазы S на π/2

– опережает.

A''

Фаза d²S/dt² отличается от фазы S на π – опережает.

• Когда

• Когда

следует, что гармонически колеблющаяся величина S(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

– дифференциальное уравнение гармонического колебания.

Общее решение диф. уравнения

гармонического колебания имеет вид

S  A₁ sin t  A₂ cost,(7)

где А₁, А₂ – произвольные постоянные интегрирования, которые можно найти из начальных условии t = 0.

Подставляя t = 0 в уравнение (7), получаем

Общее решение можно привести к

стандартному виду

колебанийS 

 гармонических Acos0t  ,

Следовательно, величина S(t) совершает гармонические колебания только в том случае, если она удовлетворяет уравнению (6) – дифференциальному уравнению гармонических колебаний.

Метод векторных диаграмм

Гармонические колебания можно изобразить графически в виде вращающегося на плоскости вектора амплитуды

0 – начало координат. Вектор А по модулю равен

• течением времени этот угол увеличивается.

Метод векторных диаграмм

Вектор А равномерно вращается вокруг точки 0 с циклической частотой ω₀, а проекция вектора А на ось х совершает гармонические колебания

A_x  Acos₀t  ,

A_y  Asin₀t  .

Метод используется, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

Метод комплексных чисел

Колеблющаяся величина представляется комплексным числом.

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел:

e^i  cos   i sin,i  1  мнимая единица

Гармонические колебания можно

Метод комплексных чисел

Физический смысл имеет только

действительная (вещественная) часть

~

комплексной функцииS ,

~

обозначаемая Re S.

Механические гармонические

колебания

Прямолинейные гармонические колебания материальной точки вдоль оси х около положения равновесия, совпадающего с началом координат х = 0.

Зависимость координаты х от времени t

xt  Acos₀t  .(1)

Скорость точки

v_x  ^dx_dt  A₀ Sin₀t  .(2)

Механические гармонические колебания

Механические гармонические колебания

_{ }2

Fm₀xi .(5)

Из уравнения (5) следует:

• сила F пропорциональна смещению х;

• сила F направлена в противоположную сторону от смещения,

что характерно для упругих сил.

Силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются

квазиупругими.

Механические гармонические колебания

Кинетическая энергия:

Е_к изменяется с циклической частотой

• . 2₀

Механические гармонические колебания

Потенциальная энергия:

_ ^mA20² _cos2 _{0t  }_

2

• ^mA20² 1  cos2₀t  .(7) 4

Е_p изменяется с циклической частотой

 2.₀

Механические гармонические колебания

Полная энергия

E  E_к  E_p 

Уравнение (8) следует из закона сохранения механической энергии, который справедлив для упругих сил (консервативных сил).

Механические гармонические колебания

Колебания Е_к и Е_p совершаются со сдвигом по фазе на π.

Гармонический осциллятор –

система, совершающая гармонические

описываются уравнением

Пружинный маятник –

груз массой m, подвешенный на абсолютно

Математический маятник –

идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

•  2 _g^l .

Физический маятник – твѐрдое тело,

совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не

совпадающую с центром тяжести С.

Маятник вращается под

J – момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

l – расстояние между точкой О и центром масс С.

• ₀²

Физический маятник

L  _ml^J

•  приведенная длина физического маятника (длина математического

маятника, имеющего такой же период колебаний).

Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний – это нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система участвует одновременно в нескольких

колебательных процессах.

Два предельных случая:

• сложение колебаний одинакового направления,

• сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение колебаний одинакового

направления

• Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты ω₀₁ = ω₀₂ = ω₀:

x₁  A₁cos(₀t  ₁ ), (1)

x₂  A₂cos(₀t  ₂ ). (2)

Разность фаз этих колебаний не зависит от времени t, т.е. (φ₁ – φ₂) = const, такие колебания называются когерентными

(ω₀₁ = ω₀₂).

Сложение колебаний одинакового направления

Для нахождения результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм.

A

A₂φ₂–φ₁

• 1

0_x

A

• ₁

Т.к. ω₀₁ = ⁰ω₀₂ = ω₀, то результирующее^x колебание имеет вид

_{tg } ^A1^sin1 ^{ A}2^sin2 _{. (5)}

_{A1cos1  A2cos}2

Из уравнения (3) следует, что результирующее колебание гармоническое с той же частотой ω₀ и

• том же направлении, что и складываемые колебания.

Из уравнения (4) следует, что амплитуда

• результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (φ₂ – φ₁).

Если колебания синфазны: φ₂ – φ₁ = ±2mπ, следовательно, А = А₁ + А₂, происходит усиление результирующего колебания.

Если колебания в противофазе:

φ₂ – φ₁ = ±(2m +1)π, следовательно,

• = |А₁ – А₂|, происходит ослабление результирующего колебания.

Сложение колебаний одинакового

направления

• Некогерентные колебания: ω₀₁ ≠ ω₀₂,

т.е. разность фаз колебаний

(ω₀₁ t + φ₁ – ω₀₂ t – φ₂) ≠ const

и изменяется с течением времени t.

При наложении таких колебаний получаются негармоническое результирующее колебание.

Если колебания мало отличаются по частоте

Δω = ω₀₂ – ω₀₁ << ω₀₁, то в результате наложения колебаний возникают

негармонические колебания, называемые биениями – периодические изменения амплитуды А_б результирующего колебания.

Пустьφ₂ =φ₁=0,А₁=А₂=А,ω₀₁=ω,

уравнения колебаний имеют вид

x₁  Acost,

x₂  Acos(  )t.

Уравнение результирующего колебания

x  x₁  x₂  Acost  cos(  )t 



 2Acos^ ^2  ²



t  ^₂^ t



А_б

Амплитуда биений берѐтся по модулю,

А_б 

2 Аcos ^₂^ t

т.к. амплитуда не может быть меньше нуля.

А_б 

2 Аcos ^₂^ t

Частота А_б в два раза

больше частоты

изменения cos, т.к.

берѐтся по модулю.

ω_б=Δω=ω₂–ω₁–

циклическая частота биений.

Сложение колебаний одинакового

направления

• Гармонические колебания совпадают по направлению и имеют кратные циклические частоты ω, 2ω, 3ω и т.д.

В результате их сложения получаются периодические негармонические колебания с периодом Т = 2π ∕ ω.

• свою очередь, любое сложное периодическое колебание S = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω₀ = 2π ∕ Т,

где Т – период колебаний:

•  f t  ^A₂⁰  A₁cos₀t ₁  A₂cos2₀t ₂ 

... A_ncosn₀t _n 

• ^A0  ^ A_ncosn₀t _n , ² n1

A_n и φ_n – амплитуда и начальная фаза n – колебания, соответственно.

Такое представление периодической функции f(t) называется разложением функции в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀ … называются

первой (основной), второй, третьей и т.д.

гармониками сложного периодического колебания S = f(t).

Совокупность этих гармоник образуют спектр колебаний S = f(t).

• простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник. Часто под спектром колебаний понимают спектр (совокупность) его частот.
• Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр частот, т.е. их можно представить, как результат наложения множества гармонических колебаний, частоты которых в общем случае принимают значения от 0 до ∞.

Модуляция колебаний – изменение по определѐнному закону какого-либо из параметров периодических колебаний (А или ω), осуществляемое за время, значительно большее, чем период колебаний Т.

Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний

• Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Пусть точка одновременно движется вдоль осей x и y:

•  A₁cos(t  ₁ ), y  A₂cos( t  ₂ ).

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Уравнение траектории результирующего движения точки в плоскости xy можно найти, исключив из выражений для x и y параметр t.

Получается:

 ^x2  ^{y 2}  ^2xy cos₂  ₁  sin 2 ₂  ₁ . A₁² A₂² A₁ A₂

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

- A ₁

y

A ₂

0

- A ₂

Траектория имеет форму эллипса, причѐм точка описывает эллипс за время

• =Т=2π∕ω.

Результирующее движение

• колебаниями.

Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд

А₁, А₂ складываемых колебаний и разности их начальных фаз φ₂ –φ₁ .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

то оси эллипса совпадают с осями x и y, а

размеры его полуосей равны А₁ и А₂, соответственно, уравнение движения

- A ₂

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Если А₁ = А₂, тогда траектория результирующего колебания – окружность, а само колебание

- A

Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний различных частот

•  A₁cos(pt  ₁ ),

•  A₂cos(k t  ₂ ).

Значения координат x и y колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т₀, равные общему наименьшему

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

различных частот

Следовательно, траектория точки М –

• начальных фаз (φ₁ – φ₂) складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории точки, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях,

называются фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям

координат._p

Отношение частот k равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям y и x.

По фигурам Лиссажу можно определить неизвестную частоту по известной или определить соотношение частот складываемых колебаний.