Орташа шамалардың мәні маңызы түрлері және қолданылу шарттары

Орташа шамалар.
Орташа шаманың мәні мен маңызы және қолданылу шарттары.

Статистикалық бақылаудың нәтижесінде жиналған мәліметтерді дұрыс өңдеп ,
жинақтаудың әлеуметтік – экономикалық және статистикалық тәжірибеде атқаратын рөлі де өре жоғары. Бірақ, бұл көрсеткіштер зерттеп отырған қоғамдық құбылыстар мен процестерге талдау жасауға, жиынтық бірліктерін қорытындылауға жеткіліксіз. Кейбір жағдайда осы көрсеткіштер жиынтығының даму, өзгеру заңдылығын зерттеу және сол сандық мәндер жиынтығын дұрыс дәлдікпен көрсету үшін және берілген бірліктерді толық қамту үшін бәріне ортақ негізгі көрсеткіштер жүйесі керек долады. Мұндай көрсеткіштер орташа шама әдісі арқылы алынады және оны қорытындылаушы көрсеткіш деп атайды.
Орташа шама деп, біртектес жиынтықты белгілі бір жағдайда және белгілі бір уақытта өздеріне тән белгісі бойынша жинақтап көрсететін орташа сан мөлшнрін, яғни біртектес жиынтық бірліктерінің орта есеппен алынатын белгісінің барлық бірліктерге жатқызылатын сандық шамасын айтады. Мысалы, шаруашылық бойынша әр гектардан 20 центнер өнім алынған десек, онда бұл көрсеткіш бір жерде 22 центнер, ендігі бір жерде 18 центнер және тағы басқа көрсеткіш түрінде болып кездесуі мүмкін. Бірақ, 20 центнер деген сандық көрсеткіш осы шаруашылықтың орташа өнімділігінің шамасын көрсетеді.
Статистикада орташа шаманы есептегенде және қолданғанда төменде берілген принциптер мен шарттар толықтай орындалуы тиіс :
1) Зерттеп отырған құбылыстың, процестің жиынтық бірліктері біртекті болуы
шарт. Егер зерттеп отырған жиынтық бірліктері біртекті болмай, әр түрлі
болатын болса, онда осы жиынтықтарды өздеріне тән сапалық белгілері
бойынша бірнеше топтарға бөліп, әр топ үшін жеке орташа және одан кейін
жалпы орташа шама есептелінеді. Мұндай жағдайда жалпы орташа шама
құбылыстың орта мөлшерін дәл көрсетеді және нақты шындықты бейнелейді.
2) Орташа шаманы есептегенде оның жеке –дара өзгермелі сандық және
сапалық көрсеткіштері толығымен жойылады. Көп сандар заңына
байланысты негізгі белгінің әрбір бөлікке тән шамасы шығады. Атап
айтқанда, құбылыстар мен процестердің ауытқуын жекелей зерттемейді .
3) Орташа шаманың көрсеткіші статистикалық бақылау нәтижесінде
жиналған мәліметтер арқылы есептелінеді. Егер бақылау көрсеткіштері
неғұрлым көп болатын болса, соғұрлым орташа шама дұрыс шығады және
нақты шындықты көрсетеді. Себебі, осы жағдайда ғана кездейсоқ
ауытқулар өзара жойылып, бір заңдылықпен өзгерген шама ғана қалады.
Мысалы, бір цехта жұмыс істейтін үш жұмысшының айлық еңбекақысында
қарап сол цехтағы барлық жұмысшылардың орташа айлық еңбекақысын
көрсетуге болмайды, т.б.
4) Зерттеп отырған құбылыстармен процестердің жеке бөліктерінің арасында
ауытқу болатын жағдайларда орташа шама қолданылады. Сонымен,
жоғарыда келтірілген принциптер мен шарттарды еске ала отырып, орташа
тек статистикада ғана емес, басқа да ғылым салаларында басқару, ғылыми -
зерттеу жұмыстарында көптеп қолданылады . Себебі қоғамдық
құбылыстардың өзара байланысын, өсіңкілігін немесе кемуін сондай-ақ
статистикалық бақылау, топтау, мәліметтерге талдау жасау орташа шама әдісі
арқылы сипатталады . Яғни әлеуметтік –экономикалық құбылыстарды
зерттеу кезінде орта шаманың атқаратын рөлі өте жоғары .

Орташа шамалардың түрлері

Статистикада зерттеп отырған құбылыстар мен процестердің негізіне, алдына қойған мақсатына және бастапқы берілген көрсеткіштердің мәніне сәйкес орташа шаманың бірнеше түрі қолданылады, олар мыналар :
1. арифметикалық
2. геометриялық
3. құрылымдық
4. үйлесімдік
5. шаршылық (квадраттық) орташа шамалар .

Осы көрсетілген орташа шамаларды қолдану барысында оларды қандай жолмен есептеу керек деген теориялық және тәжірибелік күрделі сұрақтар туады. Олай болса, қолда бар деректердің мәніне сәйкес орташа шаманың қандай түрін пайдалансақ, қарастырып отырған белгі варианттарының орташа мәнін дұрыс табамыз ? Мәселе осында. Оны есептеу үшін алдымен әрбір нақты жағдайда осы орташа шама нені білдіретінін, оның қандай шамалардың қатынасы арқылы есептелетінін анықтап алуымыз қажет. Содан кейін есептеп шығарылған орташа шаманың өзіне сәйкес әлеуметтік –экономикалық мағынасы болуы тиіс.
Осы принциптерді басшылыққа ала отырып орташа шаманы іс жүзінде қалай есептеуге болады ? Ол үщін «орташаның негізгі қатынасы » (ОНҚ) принципін негізге аламыз. Демек, зерттеліп отырған көрсеткіш өзіне тән сан мағынасын белгілі бір тәсілмен есептеп шығарса ғана дұрыс көрсеткіш бола алады . Оны нақты мысалдар арқылы төменде көрсетейін :
әуелі орташа шаманың негізгі қатынасы ретінде әр гектардан алынған орташа өнім қандай шамалардың қатынасынан шығатынын анықтаймыз . Оны есептеу үшін барлық егістік жерден жиналған жалпы өнімді осы жер көлемінде бөлу керек және ол төмендегідей болады :

ОНҚ =

немесе бір жұмысшының орташа айлығын есептеу үшін жалпы айлық қорын
жұмысшылардың санын бөлеміз. Онда орташа шаманың негізгі қатынасы
(ОНҚ) төмендегі түрде жазылады :

ОНҚ =

Егер орташа шама белгінің біртекті көрсеткішін сапалы қорытындыласа, онда ол берілген жиынтық белгісінің типтік мінездемесі болып табылады. Ол туралы 1973 жылы 20 жасқа толған орыс қыздарының типтік бойларын өлшеу туралы айтуға болады. Зейнеткерлердің бюджетіндегі азық- түлікті сатып алуға кеткен шығындарының типтік үлесін анықтауға болады.
Бірақ, берілген белгілер жиынтығы бойынша бір түрде белгілердің типтік мағыналы мінездеме ғана орташа шама ролі дұрыс сәйкестендірілмейді. Практикада қазіргі статистика көбінесе бір түрлі емес, құбылысты қорытындылайтын орташа шамаларды қолданады. Мысалы, тұрғындардың жан басына шаққанда етті тұтынудың орташа гамасы : бұл тұрғындардың арасында бір жасқа дейінгі балалар, ет қолданабайтындар, вегетарианцтар, шахтерлер, спортсмендер мен зейнеткерлер бар.
Типтік емес мұндай орташа көрсеткішке жан басына шаққандағы өндірілген Ұлттық табыс жатады. Жан басына шаққандағы ұлттық табыстың орташа шамасы әр түрлі азық - түліктерді орташа тұтыну шамасы – біріңғай халықшаруашылық жүйесі сияқты мемлекеттің мінездемесі, ол жүйелілік орташа деп аталады.
Жүйелік орталар бір кезде болатын кеңістікті немесе объектілі жүйе, сонымен қатар уақыт ұзақтылығының (жыл, он жылдық, мезгіл және т.б.) динамикалық жүйесі ретінде мінезделеді . Мысалы уақыт кезеңін 1996 жылы Санкт –Петербургтегі ауаның орташа температурасы +5, +19 С мінездей алады. Бұл орташа шама жаздың +20, +25 С жоғарғы температурасы мен қыстық аязды, күз бен көктемді, күн мен түнді қортындылайды.
Бір жағынан бөлек жылдағы ауаның орташа температурасы Санкт –Петербургтегі климатының типтік мінезде болмайды. Себебі әр түрлі жылдағы температура ауытқуда болады. Мысалы, соңғы отыз жылда 1976 жылы +2,90 C-тан 1989 жылы +7,44 C- қа дейін еді. Климаттың типтік мінездемесі он жылдағы көпжылдық, орташа жылдық температура болады мысалы, 1967-1996 жылы ол +5,05 C көрсетті. Типтік орта бірткті жиынтықтар үшін жүйелілік орталарды қорытындылайды немесе жүйелілік орталар біртекті болмаса да бірыңғай үшін типтік орталарды қорытындылайды. Бұл жағдайда типтік орталар бірде–бір рет өзгермейтін мінездемесінің берілгені бола алмайды .
Сонымен, сол зерттеуге алынған жеке-дара құбылыстардың жиынтығында өзгермелі шамалардың, яғни ауытқудың болуы орташа шаманы қолданудың және есептеп шығарудың негізгі шарты болып табылады. Міне, сонда ғана орташа шаманың көрсеткіші дұрыс шығады және соған сәйкес экономикалық талдау, қорытынды жасалынады.

Орташа шамаларды есептеу
Арифметикалық орташа шама

Қоғамдық құбылыстар мен процестерге әлеуметтік -экономикалық талдау, зерттеу жұмыстарын жүргізген кезде қорытындылаушы көрсеткіштерде әр түрлі орташа шамалар қолданылады. Солардың ішінде ең жиі қолданылатыны және кең тарағаны − арифметикалық орташа шама.
Арифметикалық орташа шама жалпы жиынтықтағы өзгермелі белгілердің жеке мәндерінің қосындысы болған жағдайда ғана қолданылады . Арифметикалық орташа шама біртектес бірлік көрсеткіштерінің жеке мәндерінің мағынасына қарай жай және салмақталған болып екі түрге бөлінеді.
Жиынтықта әрбір белгі тек бір рет ғана кездессе, яғни бір-ақ рет қайталанса немесе барлық белгілердің (варианттарының ) жиіліктері бірдей болса, онда орташаның жай түрі қолданылады. Ол өзгермелі белгілердің мәндерін бір-біріне қосып, одан шыққан қосындыны белгінің санына бөлгенге тең болып мына формула арқылы есептелінеді .

x – орташа шама ;
x – белгілердің жеке сандық мәндері ;
n - белгілердің саны ;
Σ – жиынтықтың белгісі , яғни x- тың қосындысы .
Орташа шаманың жай түрінің формуласын қолдану мен есептеу жолдарын нақты мысал арқылы көрсетейін. Мысалы, бір фирмада жұмыс істейтін 7 жұмысшының әрқайсысы 1 сағатта 70 дана, 56 дана, 69 дана, 53 дана, 61 дана, 65 дана және 67 дана тетік өңдеп шығарды десек, яғни әр жұмысшының өңдеген тетігінің шамасы бір-ақ рет кездесіп отыр. Сонда осы 7 жұмысшының орта есепппен 1 сағатта қанша тетік өңдеп шығарғанын былай есептеймін, егер орташа шаманы x деп, әр жұмысшының өңдеп шығарған тетіктердің жалпы санын Σx – деп , ал жұмысшылардың санын n – деп белгілесек, онда орташа шама мына формула арқылы есептелінеді :

дана
Демек , 7 жұмысшының әрқайсысы 1 сағатта орта есеппен 63 дана тетік шығарған .


Егер жиынтықтың әрбір белгісі бір рет емес, бірнеше рет қайталанатын болса, яғни жиілік бірліктерінің саны берілген болса, онда орташа шаманың салмақталған түрі қолданылады. Оны есептеу үшін әрбір қатардағы белгі мәндерін (х) жиілік көрсеткіштеріне (f) көбейтіп, одан шыққан көбейтінділердің қосындысын (Σxf) жиіліктің жалпы санына (Σf) бөлеміз және ол мына формула арқылы өрнектеледі :



x – орташа шама ;
x – белгілердің жеке сандық мәндері ;
f – жиіліктің мәндері ;
Σxf – белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісінің қосындысы ;
Σf – жиіліктің жалпы саны .


2.2 Үйлесімдік орташа шама

Статистикада әлеуметтік - экономикалық көрсеткіштерге талдау және қорытынды жасау үшін арифметикалық орташа шамамен бірге Үйлесімдік орташа шама да бірге қолданылады .
Үйлесімдік орташа шама − бұл арифметикалық орташа шаманың кері және өзгертілген түрі. Егер қзгермелі қатардың белгілері (х) мен оның жиілік мәндері
(f) берілген болса, онда арифметикалық орташа шама қолданылады. Ал, кейбір жағдайда, керісінше, өзгермелі қатардың белгілері (х) мен оның жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) беріліп, жиілік мәндері (f) белгісіз болуы мүмкін. Онда орташа көбейткішті есептеу үшін үйлесімдік орташа шаманы қолдануға болады .
Сонымен, үйлесімдік орташа шама берілген мәліметтердің экономикалық маңызы мен мәніне, есептеу тәсіліне қарай жай және салмақталған болып екіге бөлінеді. Егер өзгермелі қатардың белгілері мен жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) бірдей болса немесе бірге тең болса, онда үйлесімдік орташа шаманың жай түрі қолданылады және ол мына формула арқылы есептелінеді :


– орташа шама ;
n – белгілердің саны ;
- белгілердің жеке сандық мәндерінің кері шамасы ;
Σ – жиынтық белгісі .

Үйлесімдік орташа шаманың жай түрінің формуласын қолдану мен есептеу тәсілін төмендегі берілген мысал арқылы көрсетеміз. Мысалы, 8 сағаттық жұмыс күнінде 5 жұмысшы тетік өңдеумен шұғылданады. Бір дана тетік өңдеу үшін олардың әрқайсысы әр түрлі, яғни 20, 16, 20, 15, 24 минуттан уақыт жұмсады. Орта есеппен бір тетікке жұмсалған уақыт мөлшерін есептеу керек. Ол үшін барлық тетіктерге жұмсалған уақыт мөлшерін жалпы тетіктің санына бөлеміз .
Бірақ, әрбір жұмысшы 480 минуттан (60 * = 480 минут ) жұмыс істеді. Ал 5 жұмысшының жалпы жұмыс уақыты 2400 минут (480 * 5 = 2400 минут).
Онда жылы өңделген тетіктің саны 130 болады .

( 480/20 + 480/16 +480/20 + 480/15 + 480/24 ) = 130 дана .

2.3 Құрылымдық орташа шама

Статистикада өзгермелі белгілердің бөлінуін қосымша сипаттайтын орташа сандық шаманы Құрылымдық орташа шама деп атайды. Оған жататыны – мода мен медиана .
Статистикалық қатарлардың ішінде ең жиі кездесетін белгінің үлкен шамасын айтады , яғни өзгермелі сандық қатарда жиіліктің үлкен мәні жатқан белгіні мода деп атайды .
Статистикада модалық орта шама зерттеп отырған белгілеріміздің мәні мен мақсатына және жиі кездесетін жиіліктің үлкен көрсеткішін қолдануымызға байланысты. Мысалы, кәсіпорындағы жұмысшылардың орташа айлық еңбекақысының, базарға сатылған тауардың орта бағасын немесе халықтың көп тұтынатын аяқ – киімдерінің өлшемін анықтау үшін модалық орташа шаманы қолданамыз .
Егер статистикалық қатарлардың белгісі бүтін сан шамасымен берілетін болса, онда сол берілген белгінің ең үлкен жиілік мәні жатқан қатар мода болып саналады.
Мұндай жағдайда моданы анықтаудың ешқагдай да қиыншылығы жоқ. Және статистикалық формуланы қолдануды аса қажет етпейді. Мысалы, жоғарыда көрсетілген 2.1.1- кестеде ең жиі кездесетін, жиілігі 40 адамнан тұратын орташа айлық еңбекақы мөлшері 2900 теңге модалық көрсеткіш болып саналады .
Егер статистикалық қатарлар белгілерінің ең үлкен жиілік мәні бірдей екі сандық көрсеткішпен берілсе, онда модалық белгі екеу болады. Ал жиілік мәндері бірдей бірнеше белгі берілген болса, онда модалық көрсеткіш болмайды.
Кейде, қатар белгілері бүтін сан емес, деңгей аралықты шамамен берілуі мүмкін. Олай болса, алдымен ең үлкен жиілік мәні бар қатарды анықтаймыз, содан кейін модалық белгінің деңгей аралығының айырмасын есептейміз , ол модалық қатардың үлкен мәнінен кіші мәнін алғанға тең болады. Енді статистикалық формуланы қолдану арқылы модалық орташа шаманы есептеп табамыз .
Статистикада мода М0 - әрпімен белгіленеді және деңгей аралықты қатар берілген болса, мына формула арқылы есептеледі :

xm0 - модалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні ;
d m0 - модалық қатардың деңгей аралығының айырмасы ;
f m0 - модалық қатардың жиілігі ;
f m0-1 - модалық қатардың алдыңғы қатар жиілігі ;
f m0+1 - модалық қатардан кейінгі қатар жиілігі ....