Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, дидактикалық материал.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м?РешениеПусть xx - толщина слоя воды, y(x)y(x) - количество света проходящего через слой воды толщины xx.Тогда количество света поглощаемое слоем воды на участке ΔxΔx: y(x+Δx)−y(x)y(x+Δx)−y(x). Поскольку количество света, поглощаемое слоем воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя:

y(x+Δx)−y(x)=ky(x)Δx.y(x+Δx)−y(x)=ky(x)Δx.

Перейдя к пределу при Δx→0Δx→0, получим дифференциальное уравнение:

y′=ky.y′=ky.

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:

y=Cekx,y=Cekx,

где y(0)=Cy(0)=C - количество падающего на слой света.Учитывая что слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света, получим:

C2=Ce35k ⇒ k=−ln235.C2=Ce35k ⇒ k=−ln⁡235.

Чтобы найти, какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м (200 см), подставим x=200x=200.

y(200)=Ce−(200⋅ln2)/35≈C⋅0.02y(200)=Ce−(200⋅ln⁡2)/35≈C⋅0.02

Учитывая что CC это начальное количество света падающего на слой воды, получаем, что слой толщиной в 2 м поглощает 98%98% воды.

Е.М Аксененко., Г.М. Чуванова. «Применение дифференциальных уравнений к решению задач» -2013