Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, презентация.

Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Сабақ тақырыбы:

11.4.1.24 айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешу

Оқу мақсаты:

Теңдеуді шешеміз:

Түрлендіреміз:

Бұл теңдеуде екі айнымалы, мұндай теңдеулерді айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер деп аталады. Оны шешу үшін х және y айнымалыларын ажырату қажет.

Теңдеудің екі жағын да интегралдаймыз:

Түрлендіруді орындаймыз:

Анықтама. (1) түріндегі дифференциалдық теңдеуі,

мұндағы f(x) және g(y) – берілген функциялар , айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер деп аталады.

Егер g(y) ≠ 0, онда берілген теңдеуді мына түрде жазуға болады: (2)

Анықтама. (2) түріндегі теңдеуді айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Теорема. Егер және , интегралдары бар болса, онда айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулердің жалпы интегралы теңдеумен беріледі, мұндағы G(y) және F(x) – және f(x) функцияларының сәйкесінше алғашқы функциялары. Мысалы, функциясы (2) теңдеудің шешімі болсын. (2) – ге қойып, x айнымалыға қатысты теңдікті аламыз:

Осы теңдікті х бойынша интегралдап

аламыз немесе мұндағы

әне екенін ескеріп,

анықталмаған интегралда алмастыру ережесі

бойынша аламыз: 3) немесе

(4), мұндағы G(y) и F(x) –

және f(x) функцияларының сәйкесінше алғашқы

функциялары. .

Сонымен, дифференциалдық теңдеудің кез келген шешімі (4)-ші теңдеуді қанағаттандырады. Керісінше, егер кейбір функциясы (4)тепе-теңдікті қанағаттандыратын болса, онда ол (3) тепе-теңдікті де қанағаттандырады, бірақ (2)-ні қоса және барлық алдыңғы теңдіктер де орындалады.

айнымалыларды ажырату (мұны жасауға болатын шарттарды ескере отырып);

Айнымалылары ажыратылып алынған теңдеуді мүшелеп интегралдап, оның жалпы жалпы интегралын табу;

жалпы интегралдан алынбайтын теңдеуінің шешімінің бар-жоғын анықтау;

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімін табу.

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмі:

теңдеудің жалпы шешімін табыңыз.

1-ші мысал.

Шешуі: айнымалыларды ажырату. Ол үшін берілген

теңдеуді келесідей түрлендіреміз:

немесе

(мұндағы y ≠ 0 ). Соңғы теңдіктің екі жағын да интегралдаймыз: