Бас жиынтық және таңдама. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. 1 сабақ.

Математикалық статистика

1-топ тапсырмасы: Мәтінді оқып, топта талдаңыздар.

Математикалық статистика жайлы ұғым

 Математикалық статистика – математиканың бір саласы, бақылау немесе өлшеу арқылы анықталып, сандар түрінде тізілген деректерді жүйеге келтіру, өңдеу және солар бойынша тиісті ғылыми және практикалық қорытындылар шығару жайындағы ғылым. Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады.

 Математикалық статистикалық деректер жиындағы әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистикалық деректер жолдар мен бағандарға бөлініп, реттеліп жазылады. Олардың негізінде жүргізілетін ғылыми-зерттеу әдісі статистикалық әдіс деп аталады. Ол ғылым салаларының барлығында қолданылады.

 Бірақ табиғаты әртүрлі нысандардың статистикалық мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды. Соның нәтижесінде әлеуметтік-экономикалық статистика, статистикалық физика, жұлдыздар астрономиясы, т.б. дербес ғылым салалары қалыптасқан. Математикалық статистиканың әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген есептерде шешім табудың тиімді жолдарын табуға мүмкіндік береді. Математикалық статистикада математикалық заңдардың бәрі де қолданылады.

2-топ тапсырмасы: Мәтінді оқып, топта талдаңыздар.

Математикалық статистиканың қолданылу аясы

Статистикалық деректерге негіз болатын бақылаулар мен өлшеулерде кездейсоқ қателер болмай қоймайды. Бұл қателер ықтималдықтар теориясы бойынша айқындалады. Кейде қолда бар деректер бойынша зерттелетін заңдылықтың жорамал математикалық моделі жасалады. Әрине, жорамал болғандықтан, ол модель шын заңдылықтан алшақтау болады. Алшақтық, яғни модельдің шындықтан ауытқуы ықтималдықтар теориясы арқылы зерттеліп, анықталады. Белгілі бір деректің модельде қайталану жиілігі жуық түрде ықтималдық есебіне, қайталанудың орташа шамасы математикалық үміт есебіне келтіріледі. Математикалық үміттің бағаламасы – бір белгінің үйлестіру сипаттамасы ретінде орта шама, дисперсияның бағаламаы ретінде қосынды алынады. Математикалық статистика көптеген дербес тарауларға бөлініп, онда сан алуан әдістер қолданылады.: таңдап алу, параметрлерді бағалау, статистикалық болжамды тексеру, жүйелі талдау, өнімнің сапасын тексеру әдістері, т.б.

 Математикалық статистика қазіргі уақытта экономикалық және социологиялық зерттеулерде, биология, медицина, физика, геология, психология ғылымдарында, ауа райын бақылауда және т.б. салаларда зерттеу жүргізу үшін қолданылады. Математикалық статистиканың алғашқы ұғымдары ықтималдықтар теориясының негізін салған математиктер (Я.Бернулли, П.Лаплас, С.Пуассон) шығармаларында кездеседі. Математикалық статистикамен алғаш шұғылданған ресей ғалымы Б.Я:Буняковский математикалық статистиканы демография мен қауіпсіздендіру мәселелеріне қолданды. Математикалық статистиканың өркендеуіне 19 ғасырдың 2-жартыысыы мен 20 ғасырдың басында ықтималдықтар теориясыының классикалық орыс мектебі үлкен үлес қосты (П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М. Ляпунов, С.Н.Бернштейн). Қазақстанда К.Бектаев ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика әдістерін ақпараттық жолмен ұтымды қолдана білді.

3-топ тапсырмасы: Мәтінді оқып, топта талдаңыздар.

Таңдамалы әдіс туралы түсінік

 Табиғатта кездесетін, жалпылама сипаты бар кездейсоқ құбылыстар заңдылықтарын анықтаудың үлкен маңызы бар. Ол заңдылықтар ықтималдықтар теориясының әдістеріне сүйене отырып статистикалық мағлұматтарды зерттеуге тіреледі. Ал статистикалық берілгендер, мағлұматтар дегеніміз жүргізілген байқаулардың, тәжірибелердің қорытындысы екені түсінікті. Басқа ғылымдар сияқты математикалық статистиканың да мақсаты, міндеті бар. Ол екеу. Оның біріншісі: байқаулар, тәжірибелер арқылы алынған мағлұматтарды жинастырып, топтастыру әдістерін көрсету. Ал екінші міндеті – статистикалық мағлұматтарды алға қойған мақсатқа байланысты талдау жасау әдістерін табу. Математикалық статистиканың бұл міндеттерін кейбір математикалық статистиканың екі есебі деп атайды. Сондықтан:

а) оқиғаның белгісіз ықтималдығын, таралу функциясын бағалау, түрі белгілі таралу заңдылықтарының параметрлерін бағалау т.с.с.

б) түрі белгілі таралу заңдылықтарының параметрлер шамасын немесе белгісіз заңдылықтарын, статистикалық гипотезааларды (болжамдарды) тексеру өте қажетті.

 Статистиканың әр түрлі функциялары бар: ақпараттық, болжамдық және аналитикалық.

 Статистиканың ақпараттық функциясы зерттеліп жатқан құбылыс туралы уақытылы, анықтығы тексерілген ақпаратты жинақтап, жалпылап және барлық мүдделі тұлғаларға ұсынудан тұрады. Кейде зерттеуге мыңдаған нысандар (детальдар, таңдаушылар, оқушылар және т.с.с.) алынуы мүмкін, көптеген көрсеткіштер бойынша жалпы оқып үйренуден іріктелгенге өту қажетті болып табылады. Сондықтан сол немесе басқа үдеріс туралы жалпыланған ақпаратты өңдеу үшін бастапқы деректердің ішінара ақпараттық мүмкіндіктерін пайдалануға жағдай туғызатын деректерді жинақтау, өңдеу және талдау технологиялары маңызды мәнге ие болады.

 Статистиканың болжамдық функциясы оқып үйреніп жатқан үдерісте іске асатын сол немесе басқа кездейсоқ шамаларды бағалаудан, осы үдеріспен байланысты сол немесе басқа кездейсоқ шамалар көрсеткіштерінен тұрады. Бұл функция басқарушылық шешімдерді қабылдау үшін негіз болып қызмет етеді. Бұл функция көмегімен оқып үйреніп жатқан үдерісте дағдарыстық құбылыстар мүмкіндігі туралы дабыл белгісін алуға болады.

 Статистиканың аналитикалық функциясы, біріншіден, үдеріс дамуының үрдістерін сандық зерттеуден; екіншіден, бұл үдерісті өзгеру барысында оқып үйренуде; үшіншіден, үдеріске әсер ететін әр түрлі факторлар мен оның нітижелері арасындағы байланыстарды өлшеуді қолданудан тұрады.

Қорыта келе, математикалық статистиканың міндеті дегеніміз ғылыми және практикалық қорытынды жасау үшін статистикалық берілгендерді, мағлұматтарды топтастыру және өңдеу әдістерін табу.

4-топ тапсырмасы: Мәтінді оқып, топта талдаңыздар.

Бас және таңдамалы жиынтықтар

Ықтималдықтар теориясы математикалық статистиканың көмегімен шешілетін экономикалық, техникалық есептерді қарастырғанда зерттеушілер біртипті немесе біртекті заттармен жиі кездесіп, олармен жұмыс істеуге тура келеді ( дввигательдер, станоктар, жұмысшылар т.с.с.). Осылаарды объектілер деп атау келісілген.

Экономикалық және техникалық проблемаларды зерттеп, шешімін тауып, оларды қажетімізге жарату негізгі мәселе. Бұл жағдайда өте көп объектілер тобымен, жиынтығымен кездесіп отырамыз. Негізгі мағына бас жиынтық ұғымы.

Бас жиынтық деп белгілі бір қасиеттерімен бірігетін барлық қарастырылып отырған объектілер жиыынын айтамыз. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Мысалы, бір кәсірорынды алсақ, онда жұмысшы – объект болады да, ал кәсіпорынның барлық жұмысшылары – бас жиынтық болып табылады. Бас жиынтықтағы объектілердің санының ақыырлы және ақырсыз көп сан болуына байланысты бас жиынтық шекті және шексіз болып бөлінеді.

Біртекті объектілер жиынтығын қарастырайық. Жиынтықтар өздерінің сандық, сапа белгілері арқылы сипатталады. Мысал, егер детальдар партиясын алсақ, онда олардың стандарттылығы – сапа белгісі болса, ал бақыланатын олардың өлшемі – сандық белгілері болады. Сонымен, объектілер сандық және сапа белгілері бойынша екіге бөлінеді екен. Объектілер жиыынтығын сандық немесе сапа белгілері бойынша түгелдей бір-бірден тексеруге болады. Бірақ та тексерілетін объектілер саны өте көп болса, түгелдей тексеру мүмкін болмайды. Сондықтан, зерттеліп отырған бас жиынтықтан тәуекелге шағын мөлшердегі объектілер тобы таңдалып алынады. Шағын мөлшердегі бұл топ таңдама немесе таңдаамалы жиынтық деп аталады. Сонымен, таңдама дегеніміз бас жиынтықтан кездейсоқ таңдалып алыынған объектілер жиынтығы. Бас және таңдамалы жиынтықтағы объектілердің (элементтердің) саны олардың көлемі деп аталады.