Функциялар графиктерінің асимптоталары. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Қисықтың асимптотасы деп, қисық нүктесінің қисық бойымен шексіздікке ұмтылғанда шектеусіз түрде жақындай түсетін түзуді айтамыз.

Анықтама.х=а түзуі f(x) функциясы графигінің вертикаль асимптотасы болып табылады, егер не , не .

рационал функциясы х=а вертикаль асимптотасына ие болады, сонда тек қана сонда, егер бұл функцияның бөлімі ғана нөлге тең болса (яғни Q(a)=0, бірақ P(a)≠0).

Мысал 1. функциясы графигінің вертикаль асимптотасын табыңыз.

P(x)=x және Q(x)=x²-4 болсын. х=2 және х=-2 f(x) функциясының түбірлері екенін байқаймыз. Р(-2)≠0 және Р(2)≠0 болғандықтан, х=2 және х=-2 түзулері функциясы графигінің вертикаль асимптоталары болып табылады.

Анықтама.y=b түзуі f(x) функциясы графигінің горизонталь асимптотасы болып табылады, егер не , не .

рационал функциясының шексіздіктегі шектері келесідей:

.

Мысал 1. функциясы графигінің горизонталь асимптотасын табыңыз.

болғандықтан, y=0 түзуі f(x) функциясы графигінің горизонталь асимптотасы болып табылады.

Мысал 2. функциясы графигінің барлық вертикаль және горизонталь асимптоталарын табыңыз.

болғандықтан, y=0.5 түзуі f(x) функциясы графигінің горизонталь асимптотасы болып табылады.

х=1 және х=1.5 бұл функцияның бөлімінің түбірлері болып табылады, алайда х=1 сонымен қатар алымының да түбірі болып табылады, сондықтан f(x) функциясы графигінің вертикаль асимптотасы x=1.5 түзуі болып табылады. Ал х=1 үзіліс жойылатын нүкте болады.

Мысал 3. функциясы графигінің барлық вертикаль және горизонталь асимптоталарын табыңыз.

болғандықтан, y=2 түзуі f(x) функциясы графигінің горизонталь асимптотасы болып табылады.

Ал бұл функцияның бөлімінің түбірлері жоқ, сондықтан f(x) функциясы графигінің вертикаль асимптотасы жоқ.

Мысал 4. функциясы графигінің асимптоталарын табыңыз.

f(x) функциясы көпмүше болып табылады. Бірақ біз оны бөлімі 1-ге тең рационал функция ретінде жаза аламыз, мысалы . Бұл функцияның бөлімінің түбірлері болмағандықтан, f(x) функциясының вертикаль асимптотасы жоқ.

Әрі қарай шектерді есептейміз :

Басқаша айтқанда бар болмайды. Сөйтіп, f(x) функциясының графигінің горизонталь асимптотасы жоқ.

Ескерту. Полиномиалды функцияның не вертикаль, не горизонталь асимптотасы болмайды.

Анықтама.y=kx+b түзуі f(x) функциясы графигінің көлбеу асимптотасы болады, егер не , не .

Анықтамадан және шығады.

P(x) дәрежесі Q(x) дәрежесінен дәл бірге артық болатын рационал функциясы үшін P(x) көпмүшесін Q(x) көпмүшесіне «бұрыштап» бөліп, келесіні аламыз: . Мұндай жағдайда біз

аламыз және анықтамаға сәйкес, y=kx+b түзуі f(x) функциясы графигінің көлбеу асимптотасы болады.

Мысал 1. функциясы графигінің барлық асимптоталарын табыңыз.

х=2 түзуі f(x) функциясы графигінің вертикаль асимптотасы болып табылады, өйткені х=2 болғанда берілген функцияның тек бөлімі ғана нөлге тең болады.

Алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен дәл бірге артық екенін байқаймыз, сондықтан функция графигінің көлбеу асимптотасы бар. Бұрыштап бөлуді пайдаланып, алатынымыз: , осылайша y=x+3 түзуі f(x) функциясы графигінің көлбеу асимптотасы болып табылады.

Оқушыларға асимптоталары бар бірқатар функциялардың графиктерін ұсыныңыз.

Олардың графиктерін салып, сипаттауды ұсыныңыз.

Оқушылар жұптарда жұмыс жасайды.

• Асимптотасы x = 0

•асимптотасы y = 0

•асимптотасы x = 1

•2 асимптотасы бар және т.б. функцияларды табуды ұсыныңыз.

Жұмыстарын серіктесімен айырбастасын, ал ол графигін салып, сипаттауы керек.

Оқушыларды 4 немесе 5 адамнан құралған топтарға біріктіріңіз, әр топқа тапсырмалары бар парақтар таратып беріңіз. Оқушыларға тапсырмаларды топтарда алдын-ала талқылап алып орындауды ұсыныңыз.

f(x) функциясы графигінің барлық асимптоталарын табыңыз.

1. ; 2. ; 3. ;

4. .