Функциялар графиктерінің асимптоталары. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Практическая работа 8

Исследование функции на непрерывность и точки разрыва

Цель: закрепить навыки исследования функции на непрерывность и точ-ки разрыва

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Компьютерные программы: компьютерные программы не используются

Содержание работы:

Основные понятия.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке

равен значению функции в этой точке: lim f x f k 

x k

Определение включает условия:

функция должна быть определена в точке k, то есть должно сущест-вовать значение f(k);

должен существовать общий предел функции lim f x, это подразу-

kx

мевает существование и равенство односторонних пределов: lim f x lim f x;

x k 0x k 0

предел функции в данной точке должен быть равен значению функ-

ции в этой точке: lim f x f k .

x k

Если в точке k нарушено условие непрерывности и односторонние пре-делы конечны, но не равны, то она называется точкой разрыва первого рода

Если хотя бы один из пределов f k  0 или f k  0 не существует или равен бесконечности, то точка k называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они рав-

ны друг другу, но не совпадают со значением функции f x в точке k: f k  f k  0 f k  0 или функция f k  не определена в точке k, то точка k на-зывается точкой устранимого разрыва

Задание

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют.

Примеры выполнения:

Исходные данные:

x² ; x 1

Задание 1

f x

^x 1²

; 1  x  2



^3  x;

x  2





Задание 2

f x

₁₀x 3

x 1

Задание 3

f x

2x²  7x  4

;

f x

x  4

2x²  7x  4

Задание 4

f x x2 

x 1

1

x 1

Решение:

Задание 1

Функция непрерывна на интервалах ⁽^^{;1); [1;2]; (2;}^⁾ . Тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках x = 1 и x

2 . Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из этих то-чек.

limf (x)  lim x² 1 ;limf (x)  lim x 1²  0

x10x10x10x10

Односторонние пределы в x = 1 существуют, но значения их различны, значит в точке x = 1 разрыв первого рода.

limf (x)  lim x 1² 1 ;limf (x)  lim 3  x 1;f (2) 1

x 20x20x 20x 20

Односторонние пределы и значение функции в точке x = 2 равны, значит точка x = 2 – точка непрерывности

Задание 2

Функция f ^x^^

₁₀x 3

не определена, если x 3  0 и x 1  0 , т.к. эти выра-

x 1

жения находятся в знаменателе, значит точки разрыва x = 3 и x = -1

lim

f x lim

₁₀x 3

  ;

lim

f x lim

₁₀x 3

 

x 1

x30

x30

x 1

Односторонние пределы в x = 3 равны бесконечности, значит в точке x = 3 разрыв второго рода.

lim

f x lim

₁₀x 3

  ;

lim

f x lim

₁₀x 3

 

x 1

x10

x10

Односторонние пределы в x = -1 равны бесконечности, значит в точке x = -1 разрыв второго рода.

Задание 3

а)

Функция

не определена, если x  4  0 , т.к. это выражение находится в

знаменателе, значит точка разрыва x = -4

Разложим числитель функции f x

2x²  7x  4

на множители, для этого

x  4

найдем корни квадратного уравнения 2x2  7x  4  0 .

D  49  32  81  9² ; x 

79

; x  4; x 





2x  7x  4  2x  4 x 

  x  42x 1

x  42x 1



2 

f x

 2x 1

x  4

lim

f (x) 

lim 2x 1 9 ;

lim

f (x) 

lim

2x 1 9

x 4

0

x 40

x4

x 40

Существуют левый и правый пределы функции в точке x = -4 и они равны

друг другу, но функция f х

не определена в точке -4, значит точка -4 – точка

устранимого разрыва

x  4

б)

Разложим знаменатель функции f x

2x²  7x  4

на множители, для

этого найдем корни квадратного уравнения 2x2  7x  4  0 .

f x

x  4

2x²  7x  4



x  42х 1

2х 1



Функция f х не определена в точках -4 и 0,5

Точка -4

– точка

устранимого разрыва,

т.к.

lim f (x)  lim

 

;

2х 1

x40

lim

f (x) 

lim

 

x4

0

x40 2х 1

lim

f (x) 

lim

  ;

lim

f (x) 

lim

 

 в точке х = 0,5 разрыв

x0,50

x0,50 ₂_х ₁

x0,50

x0,50 ₂_х ₁

второго рода.

Задание 4

f x x2 





x 1

1  x

 2; x  1

x 1

^x

x 1

1

 

x 1



_x



1  x

; x  1

x 1



x²

 2; x  1

f x ^

x²

; x  1



Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из этих точек.

lim

x10

f (x)



lim

x10

x2 1;

lim

x10

f (x)



lim

x10

x2  2  1

Односторонние пределы в x = -1 существуют, но значения их различны, значит в точке x = -1 разрыв первого рода.

Задания к практической работе.

Задание 1

x  2; x  1

x² 1; x  0

f x ^x2 1; 1  x 1

f x ^1  2x; 0  x  2

2; x  1



_ x  3; x 1

_x  2; x  2



f x 2



 2x; 1  x 1

^ln x;

x 1







; x  2



0; x  0



1; x  1



_x 



^x

f x 2;

 2  x  2

f x ^tgx;

0  x 



f x 1  2x;

1  x  2



;

x  2







;

x  2

2x



 x  2

_1; x



1; x  1

x³ 1; x  1

2; x  2

f x ^2  3x; 1  x 1

^ln x; x 1

f x ^1  2x; 1  x  2

^x 1; x  2

f x

^x² ;  2  x 1



 x 1; x  1

x  4; x  1

x; x  0

f x

^x² 1; 1  x  2

^3; x  2

f x ^x2  2; 1  x 1

f x ^x2 ; 0  x 1

^2x; x 1



1

2x2  3; x 1



1; x  2

x 

₅

1 ; x

1



f x

^6  5x; 1  x  3

f x

^7  2x; 1  x  3

f x

1

;  2  x  2





 3; x  3



 4;

x  3



 4x 

x  2

_x



 x  3

^x



;



 x;

x  0

e

;

x  0



x  0

f x

₂x _;

0  x  2

f x

^cos x;

0  x  2

f x ^x2 1;

0  x 1



^4; x  2

^10  x; x  2

^x; x 1







; x

 0

^0; x 







x 1

; x 1





f x



 2x; 1  x  2

f x  x

; 0

 x  2

f x



 x 

³

^5  x;

x  2

tgx;



1;

x  2









x 

 x

_sin x;



1

2x²

1; x 1



₃

x

x 1; x  1

 2; x  2







f x x





 5; x  3



^x



; x  2



; x 1



 x 

1  x

2  x; x  2



; x  0



f x



x  2⁴ ; x  2



1;

 2  x 1

^x

f x



 ^x2

1; 0  x  3

f x 7

 2x;

 2  x 1

_ 2x  3; x 1

^ x  3; x  3



 2; x 1



 x 1



cos x;

x  0

 1

 0

x  2;

x  2

f x

 ^sin x;

0  x  2



x²

;

f x ^x2 1;

 2  x 1

^tgx;

x  2

f x ^x2 1;

0  x  3

^ x  3;

x 1



^2x  4;

x  3







Задание 2

f x

₂x 1

3  x

x  2

f x

_e1 x

f x

₂4x ²

f x

₂x ²  x 2

1  x

₇f x 2

x ² x ² 1

f x

1  x

₂9 x ²

1  2x

4  x

f x

₂1x ²

₈f x

3 x

9 x ²

x ² 3x 2

1 x ²

₉f x

10 f x



f x



₁₂f x

x  2

1  x

5  x

4  x

x ² 1

₅x 3

1 x

e x

13 f x



14 f x



f x



₁₆f x

1  2x

4  x²

x  2

x² 1

19 f x

xx ² 9



17 f x

_e3 x

18 f x



₂x ² 3x 2

 3

f x

₅x 3

x 1

1  x

x  x²

21 f x



₅x 1

22 f x



e ^x

f x



₆9 x ²

₂₄f x

x 3

9  x²

x² 16

6  x

4  x

25 f x

₆25 x ²

26 f x



₇2 x ² 9 x 18

27 f x

x 3

f x

₇2 x ² 5 x 3

6  x

1  x

1 x²

2  x

29 f x



₅x 1

30 f x



₂x ² 6 x 7

f x



₅x 1

f x

₂x ² 3x 2

1  4x²

16  x²

7  x

1  3x

Задание 3

f x

x²  25

f x

 3

f x

x²  x  2

 9

x  5

₄f x

cos x

₅f x

x³  27

₆f x

x²  9

x  3

x  3

f x

2x²  5x  3

f x

1

f x

x²  5x  6

1

x 1

x  2

f x



x  2

f x



x 1

x³  8

f x



x  3

f x



1

x  2

x  2

f x



 2

f x



3x² 11x  6

f x



cos3x

8

x  3

₁₉f x

x²  9

f x



x²  6x  7

f x



x  2

x²  3x

3x²  5x  2

f x



4x²  7x  2

f x



x²  4

f x



x  4

x  2

3x² 11x  4

f x



x²  3x

f x



x  3

f x



 4

x²  9

14x  3

 64

f x



3x²  8x  3

f x



 4

f x



x  6

x  3

16

 9x 18

₁f x x 

x  5

 4

f x

x²  x

f x 

2x  6

 x

x  5

x²  x

2x  6

f x

2x 1

 x²  2

f x x2



2x  8

 5

f x x 

3x  9

1

2x 1

2x  8

3x  9

f x  

3x  6

x  7

3x  6

x  3

1

f x x 

x  7

1

f x 

x  3

 x²

 x

f x



3x 1

 x² 1

f x

x  4

 3

f x



2x  3

 x² 1

3x 1

x  4

2x  3

f x

 

3x  2

 x 1

₁₄f x

x³  x²

1

f x

 x



4x  8

 5

3x  2

4x  8

x³  x²

f x

3x  2 1

f x

3x  5

f x

x  6

 x



 x² 



 3  x

3x  2

3x  5

x  6

f x 

x  7

 2x

f x x2 

3x  7



f x

3x  4

 x 

x  7

3x  7 9

3x  4

f x x2 

2x  4

 5

f x

x 1

 3  x

f x

x₂  x

 x

x 1

 x

f x x2 

2x  7

f x x

3x  8 1

f x

x  5

 3



 2  x

3x  8

2x  7

x  5

f x x2 

3x  5

₂₉f x

x 1

f x x

2x  4



 2  x²



1

3x  5

x 1

2x  4

Порядок выполнения задания, методические указания: - ознакомиться

теоретическими положениями по данной теме; - изучить схему решения задач; - выполнить задания практической работы; - сформулировать вывод

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычис-ления, ответ; вывод по работе

Контрольные вопросы:

Непрерывность функции в точке

Условия непрерывности функции в точке

Что такое точка разрыва первого рода?

Что такое точка разрыва второго рода?

Что такое точка устранимого разрыва?

Литература:

Ю.М.Колягин Математика в 2-х книгах, учебник для СПО, 2008, книга 2

И.Л.Соловейчик Сборник задач по математике для техникумов, -М, 2003

В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова Математика. Учебное пособие для студен-тов образовательных учреждений среднего профессионального образования, г.Ростов-на-Дону, «Феникс», 2012

http://ru.wikipedia.org

http://www.mathprofi.ru/nepreryvnost_funkcii_i_tochki_razryva.html

http://www.cleverstudents.ru

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_7_23.php

http://www.cleverstudents.ru/limits/break_points_classification.html

Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!

Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз:
Facebook | VK | WhatsApp | Telegram | Twitter

Қарап көріңіз 👇

kz | ҰМЖ, ОМЖ, ҚМЖ - Ұзақ, орта, қысқа мерзімді жоспар | Алгебра

05.04.2023

Автор: altyn2023
10

Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру