Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, дидактикалық материал.

Дидактические материалы.

Пример 1

. Решить дифференциальное уравнение 

Ответ: общее решение: . 

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию 

Ответ: частное решение: 

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Ответ: общий интеграл: .

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Ответ: частное решение: 

Пример 5 Найдите общее решение дифференциального уравнения

частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Ответ:

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на  и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 7. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на  и получим

или.

Записываем производную y в виде  и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

,

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную "игрека" в виде  и получим

.

Разделяем "игреки" и "иксы":

.

Почленно интегрируем и, так как в левой части "игрек" присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

.

Теперь по свойству логарифма  имеем

.

Находим общее решение уравнения:

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на  и получим

или.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 10. . Для дифференциального уравнения y' = e^x+y имеем y' = e^xe^y, откуда e^-ydy = e^xdx или, интегрируя обе части по x, e^-y = e^x + C и, наконец, y = -ln(-e^x + C).

Пример 11. . Решить уравнение xydx + (x+1)dy = 0. В предположении, что  получаем  или, интегрируя, lny = -x + ln(x+1) + lnC, отсюда y = C(x+1)e^-x. Решение y = 0 получается при C = 0, а решение x = 1 не содержится в нем. Таким образом, решение уравнения y = C(x+1)e^-x, x=1.