Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.


ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1 МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ4

§1Определениемногочленовотоднойпеременнойиихтождественное

равенство. Бином Ньютона4

§2Действиянадмногочленами.Делениемногочлена намногочленс

остатком9

§3 Разложение многочлен на множители12

§4 Корни многочлена. Теорема Виета14

§5 Теорема Безу17

§6 Схема Горнера21

§7 Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

23

§8 Определение многочленов от нескольких переменных24

§9 Симметричные и однородные многочлены. Теорема Виета26

ГЛАВА 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ - 129

§1 Приращение аргумента и приращение функции29

§2Понятиепроизводной.Производнаястепеннойфункцииилинейных

комбинаций степенных функций32

§3Уравнениекасательнойкграфикуфункции.Механическийи

геометрический смысл производной36

§4Критическиеточкифункции.Применениепроизводнойкнахождению

промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции:43

§5 Наибольшее и наименьшее значения функции45

§6 Производная второго порядка степенной функции и линейных комбинаций

степенныхфункцийВыпуклостьивогнутостькривых.Применение

производной к нахождению точек перегиба графика функции50

§7 Дифференциал функции. Приближенные формулы51

§8 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства52

§9 Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции55

ОТВЕТЫОшибка! Закладка не определена.

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГЛАВА 1 МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§1

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство. Бином Ньютона

  • Приведите следующие многочлены в канонический вид и определите степень, старший и свободный члены этих многочленов:

    • 2x2  5x  6 6x3 3x2  2x 5 42x2  x 1;

2

2

1

b) 2x 3x

8x  2

3x

2x  5

 6

;

3

c) x 1x  2 2x  2x 3 x 1x  4;

d) 2  xx2 1 2  xx2  2;

e) 8x5 3x4  x3  2xx10 12x 3;

f) 3x 12x 12  3x 12 2x 1;

3

1 2

 2

1

 

3

1

 2

1

2

g) 

x

 

x

  

x



x

 ;

4

6

4

2

6

2 3

 

 3

  • 2x 13 8x3  2x 12 1;
  • 10x 133  310x 132 10x 13 310x 1310x 132  10x 133 ;
  • 7x 15  6x 14  3x  22 1;

1

2

3

4

2

2

k) 

2x  2  2 2x

 2

 3x

 3x

1

;

 2

1

3

1

3

l) 

x 1

 

x 1 .

2 

3

3

 2

4

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

2. Докажите тождество:

  • x 1x 1x2  x 1x2  x 1 x6 1;
  • 1 x4  1 x2  x2 1 x2  x2 ;
  • x  22 x  2 4x2  x12xx  2 x  23 ;
  • x  3x 32  6xx  3 6x x 3 x  33 ;
  • x  53  x 53  6xx2  25 8x3 ;
  • 2x 16  2x 16  34x2 12x 12  2x 12  8x2  23 ;
  • x7 1  x 1x6  x5  x4  x3  x2  x 1;
  • xn 1  x 1xn1  xn2 ... x 1, nN ;
  • x7 1  x 1x6  x5  x4  x3  x2  x 1;
  • x2n1 1  x 1x2n2  x2n3 ... x 1, nN ;
  • x 17x7  7x6  21x5  35x4  35x3  21x2  7x 1;
  • x 1nCn0 xnCn1 xn1 ... Cnn1 xCnn , nN .

3. Зная, что многочлены fxи gxтождественно равны, найдите значение коэффициентов a , b , c , d , e :

  • fx 2x2  3  axb , gx cx3  2dx2  x  5 ;
  • fx a 1x3  2 , gx 3x3  bx2  c 1xd ;
  • fx1, gx ax2 1 bx2  cxx2 1 5 ;
  • fx x 1, gx ax 1 bxx 1 cx2 ;

5

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • fx 2x 3 , gx axbx 1 cx2 1;
  • fx10x  6 , gx ax  22  bx 1 cx2  x  2;
  • fx 3x2  6x  6 , gx axx 1 bx  2x 1 cxx  2;
  • fx 2x2  4x 8 , gx axbx2 1 cxd x2  3;
  • fx 2x2 13x  22 , gx ax2  x 12 bx2  6x 8 cx2  x  6;
  • fx 5x2  20x , gx axbx2  4x 1 cxd x2  x 1;
  • fx x3  3x2  2x  2 , gx ax2 12  bxcx  dxexx2 1;
  • fx 3x6  2x4  4x3  4x2 , gx ax3 12bx2 12  2x3 1.
  • Используя метод неопределенных коэффициентов, расположите следующие многочлены по степеням двучленаx 1:

a)

5x2  6x  3 ;

h)

1

x

3

2

x

2

4

x

4

;

b) 3x2  4 ;

9

9

9

3

1

4

3

3

2

5

15

c) x3  5x2 10x 10 ;

i)

8

x

4

x

x

8

x

8

;

d)

2x3 3x2x 7 ;

j)

1

x4

4

x3

x2

19

x

14

;

9

9

9

e) x4  2x3 3x2  4x 1;

9

f) x4  2x3  2x2 5x ;

g)

1

x2x

7

;

4

8

  • 2x 2  2  2 x  2  2 ;
  • 3  2 x3  43  22 x 2  53  2 x  33  2 .

6

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • Зная, что алгебраические выражения A и B тождественно равны,

найдите значение a , b , c , d :

a) A

11

, B

a

b

;

15x2x  2

b) A

9x  4

, B

a

b

;

3x2  5x

2

2

3x 1 x

c) A

11x 8

, B

a

b

;

10x2x  2

d) A

9x2  2x  8

, B

axb

c

;

x3 1

x2x

1 x 1

e) A

4x2 18x  8

, B

axb

c

;

x3  8

x2

 2x  4 x

2

f) A

60x2  64x  21

,

B

axb

c

;

125x3  27

25x2 15x  9

5x  3

g) A

23  4x

, B

a

b

;

x2 10x  25

x  52

x  5

h) A

10x 14

, B

a

b

;

4x2 12x  9

2x  32

2x  3

i) A

5x2  3x  5

, B

x3  3x  2

x 12

a

x 1

x  2

b

c

;

j) A

3x2 12x 16

a

b

c

x3x2 8x 12

, B

x  22

x  2

x  3

;

k) A

2x3  2x2  4x  4

, B

axb

c

d

;

l) A

20x3  4x2  27x  9

,

B

x4 1

axb

c

d

.

x2 1 x

1 x 1

7

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Найти член разложения многочлена px, который содержит xn ,

если:

a) px  x 111 , n  7 ;

1

3

 4x

2 13

b) px x  216 , n  5 ;

g) 

16

x

 , n  32

;

6

4

1

13

1

c) px  

x  4 , n

 4 ;

h) 

27xx  , n  22

;

 2

9

1 12

i) 5

2

2

 7x 1 

4 , n  1;

d) px  3x

 , n  8

;

4

9 

j) 

2 1x 1 

 2 ;

2  , n

e) 2x3  x5 15 , n  71;

k) 3

3

x

2

15 , n  3 ;

f) 3x5  2x7 13 , n  83;

l) 5

x3

x 2 9 , n  23 .

5

3

  • Даны следующие многочлены:

  • x 12015 ;
  • x 12016 ;
  • x 12014  x 12014 ;
  • x2  3x 1228;
  • x3  x 1145 ;
  • x4  2x2  371 ;

1

16

2 1x

2 1x

k) 

 

2 1

l) 32x 125  32x 125 .

3

2

1

3 7

3

6

g) 

x

x

 

x

2 ;

4

2

4 

2

4

2

3

1

8

3

2 5

h) 

x

x

 

x

 ;

3

2

3

2

 4

2

3

1 8

 3

2 5

i) 

x

x

 

x

 ;

 3

2

3 

 2

3 

j) 52x  89  52x  89 ;

116 ;

2 1

 Для каждого многочлена, который получается в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, найдите:

  • сумму всех коэффициентов многочлена;
  • сумму коэффициентов при чётных степенях в многочлене;
  • сумму коэффициентов при нечётных степенях в многочлене.

8

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§2

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

8.ДанымногочленыPx x4x3  2x 1,Qx 3  x  2x3и

Tx 3x2  2 . Найдите:

a) 2TxQx;g) Tx Px;

b) Px 4Tx;h) PxQxTx;

c) Px5Tx 2Qx;i) Qx2 ;

d) 3Px 7Qx 5Tx;j) Qx2  9Px;

e) TxQx;k) 9PxTx2 ;

f) PxQx;l) Qx2 Tx3 .

9. Выполните деление многочлена на многочлен:

  • 3x3 5x2  2x 8 на x  2 ;
  • 4x3 19x2 33x 33 на x  3;
  • 7x3 39x2 35x 75 на x  5;
  • x10 1 на x2 1;
  • x5 3x4x3  6x2 10x на x3  2x ;
  • 8x7  28x6 16x5 6x4  21x3 12x2 на 4x5 3x2 ;
  • x5 3x3 8x 6 на x2  2x  3;
  • 12x5  29x4 51x3  26x2 9x 1 на 3x2  2x 1;
  • 14x5  41x4 3x3  69x2 74x 35 на 2x2 7x  5;
  • 121 x3139 x223 на 12 x13 ;

9

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • 16 x5107120 x42425 x3151 x2 на 56 x334 x2 ;
  • 53 x4337200 x3  3x2120241 x127 на 52 x234 x76 .

10. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

  • 3x3  4x2 6 на x  2 ;
  • 3x3  5x2 11 на x  2 ;
  • 3x3  2x2  21 на x  3;
  • x5  4x4 5x3  2x2  7x 1 на x 1;
  • 6x7  4x5 3x3 12x 1 на x 1;
  • 11x5 5x4 7x3  21x2x 5 на x  2 ;
  • 4x4  2x3x2x 1 на x2x  2 ;
  • x5x4x3x2 1 на x2x  2;
  • 4x4  2x3 16x2  5x  9 на x2  2x 1;
  • 3x4x3  4x2 5x 5 на x2  2x  2 ;
  • x4  7x3 18x2  20x 8 на x2  2x 1;
  • 7x4 11x3 15x2  23x 9 на 7x2  2x 3.
  • Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена Ax

на многочлен Bx:

  • Ax 2x2 3x 12 , Bx x 15;
  • Ax11x2 13x 5 , Bx x  7 ;
  • Ax x3  6x2 11x  6 , Bx x2 1;
  • Ax x3 19x 30 , Bx x2 1;
  • Ax 4x4 3x3  2x2x  5 , Bx x2x  2 ;
  • Ax19x4 17x3  2x2 11, Bx x2 15;

10

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • Ax 18x5 15x3 12x2 11x 1, Bx x3 15x 8 ;
  • Ax 9x5 16x2  5 , Bx x2  5x 18;
  • Ax13x4 17x3  6x2x 8 , Bx x2 15x ;
  • Ax x4 14x 8, Bx x3 15x2 1;
  • Ax 5x5 11x3 8x2  25x  4 , Bx 3x3  4x2x  6 ;
  • Ax 3x5x3 17x2  21x  4 , Bx 5x3  3x2  4x 1.
  • Остаток при делении многочлена Axна двучлен Bxравен a .

Найдите значение k , если:

  • Ax x3  2xk , Bx x  2 , a  5 ;
  • Ax x3  2xk , Bx x 1, a  0 ;
  • Ax 2x3  x2  kx  4 , Bx x 1, a  2 ;
  • Ax 5x3  3x2  kx 14 , Bx x 1, a  2 ;
  • Ax 4x3  kx2 14x  6 , Bx x 3, a  3 ;
  • Ax 7x3  kx2 3x 3 , Bx x 1, a  5 ;
  • Ax kx3 18x2  9x  6 , Bx x  2 , a  4 ;
  • Ax kx3 8x2  32x  43 , Bx x 3, a  8 ;
  • Ax kx3 3xk , Bx x  2 , a 12 ;
  • Ax kx3  kx2  7x 11, Bx x 1, a  2 ;
  • Ax kx3  7x2  kx  2 , Bx x 3, a 181;
  • Ax kx3  kx2  kx 11, Bx x 1, a 10 .

11

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

§3 Разложение многочлен на множители

13. Разложите многочлен на множители:

a) x4 1;

g) x8x4 1;

b) x4 18x2 81;

h) x4  324 ;

c) x5x3x2 1;

i) x12  2x6 1;

d) x5 3x4  4x3 12x2 ;

j) x4  4x2 5 ;

e) x4  2x3  2x 1;

k) 4x4 5x2 1;

f) x4x2 1;

l) x3x  2 .

14. Разложите многочлен на множители:

a) 2x3x2  3;

g) x 1x 3x 5x  715 ;

b) x3  5x2 3x 9 ;

h) x5x4x3x2x 1;

c) x3 x2 72 36x ;

i) x4  2x3  3x2  2x 1;

d) 2x2  3x2x2  3x  215 ;

j) x4  2x3 8x2 6x 1;

e) x2  x  3x2  x  412 ;

k) x4x2

2

x  2 ;

f) xx 1x  2x 31;

l) 4x4  5x2  2

3

x  3.

15. Разложите многочлен на множители:

a) 2x3x2 5x  2 ;

e) x3 6x2 9x  4;

b) x3 9x2  23x 15 ;

f) x4  4x3 18x2  20x 7 ;

c) x4  2x3  2x 1;

g) x4  2x3 11x2 12x 36 ;

d) x4  2x3  24x2 50x  25 ;

h) 16x4 8x  3 ;

i) x5x4 14x3  26x2 19x 5;

j) x5 13x4  67x3 171x2  216x 108 ;

k) 16x5 16x4 72x3 64x2  23x 3;

l) 6x6x5  23x4x3  2x2  20x 8 .

12

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

16. Разложите многочлен на множители:

a) x6 1;

g) 1024x20  2432 ;

b) x6 1;

h) 1024x20  2432 ;

c) 64x6 729 ;

i) 7x  68  7x  68 ;

d) 3125  32x5 ;

j) 2x  37  2x  37 ;

e) 211 x11  311;

k) x13  211  213x11;

f) 716  620 x20 ;

l) x10  254  255x8 .

17. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффициентов:

a) x3 16x2  79x 120 ;g) x4x3 5x2 13x 6 ;

b) x3  4x2 5x 14 ;h) x4  4x3  20x2 13x  2;

c) x3 6x2 19x 84;i) x4  2x3 14x2 15x 36 ;

d) x3 10x2 17x  66 ;j) x4  4x3  7x2 34x  24 ;

e) x3 37x 84 ;k) x4 8x3 16x2 9x 36;

f) x3  67x 126 ;l) x4 10x3  35x2 50x  24 .

18. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью метода неопределенных коэффициентов в виде

x2  bxc2  mxn2 :

a) x4  4x 1;g) x4 6x3  2x2  22x  45 ;

b) x4  4x3 1;h) x4 12x3 35x2 18x 9 ;

c) x4  4x3 6x2 12x ;i) x4 14x3  47x2  26x 8;

d) x4 10x3 17x2  21x 5;j) x4 10x3  23x2  46x  40 ;

e) x4  6x3 54x2  28x  48 ;k) x4 8x3 3x2 16x 7 ;

f) x4 14x3 36x2 164x  28 ;l) x4  4x3 35x2  36x  9 .

13

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

§4 Корни многочлена. Теорема Виета

19. Запишите формулы Виета для следующих уравнений:

    • x3  3x2 5x 17  0 ;
    • x4 17x3  25x2 11x 13  0 ;
    • x5  22x4  41x3x2  23x 8  0 ;
    • 2x3 13x2  25x  7  0;
    • 5x4  23x3  2x2 13x  28  0;
    • 7x5  2x4  57x3  25x2 3x  61  0 ;
    • 32 x2125 x31710  5x  0 ;
    • 34 x234 x127 x4  4  1223 x3  0 ;
    • 1,2x4  0,5x2 1,6 1,3x  7,5x3  0,5x5  0 ;
    • 2x 12 3  4x 4x  32x 12  5;
    • 5x  64x2  3x 17 5x3 17x4 ;
    • 4x2  9x 83x 5x3  2  4x2  7x4 x 1.
  • Составьте кубический многочлен, который имеет:

    • корни 5 , 2 , 1 и коэффициент при старшем члене  2;
    • корни 3 , 7 , 1 и коэффициент при старшем члене 5 ;
    • корни 8 , 7 , 9 и коэффициент при старшем члене 3;
    • корни 5 , 6 , 4 и коэффициент при старшем члене 4 ;
    • корни 12 ,  12 , 4 и коэффициент при старшем члене 3 ;
    • корни 53 , 53 , 15 и коэффициент при старшем члене 17 ;

14

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • корни 12 , 13 , 16 и коэффициент при старшем члене 6;
  • корни 15 , 14 , 10 и коэффициент при старшем члене 20 ;
  • корни 2 ,  2 , 2 и коэффициент при старшем члене 2 ;
  • корни  6 , 2 , 3 и коэффициент при старшем члене 1;
  • корни 2  3 , 3  2 , 0 и коэффициент при старшем члене 2 ;
  • корни 6 , 22 , 33 и коэффициент при старшем члене  6 .

Решите задачу двумя способами.

  • Составьте кубический многочлен, который имеет:

    • корень 3 кратности 2 и корень 1, а коэффициент при старшем члене 2 ;
    • корень  2 кратности 2 и корень 5 , а коэффициент при старшем члене  3 ;
    • корень 8 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене  2 ;
    • корень 4 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене 3 ;
    • корень 12 и корень 13 кратности 2 , а коэффициент при старшем

члене 18 ;

  • корень 14 и корень  12 кратности 2 , а коэффициент при старшем

члене 16 ;

g) корень 52 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене 125 ;

15

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • корень  2 13 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене  27 ;
  • корень 3 кратности 2 и корень  23 , а коэффициент при старшем члене  2 ;

j) корень 5 и корень

1

кратности 2 , а коэффициент при старшем

5

члене 5 ;

  • корень  7 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене 2 ;
  • корень 2  3 кратности 3 , а коэффициент при старшем члене 1 .

Решите задачу двумя способами.

22. При каких значениях a сумма квадратов корней трехчлена x2  a  2x  3a равна 12 ?

  • Даны следующие квадратные уравнения:

a) x2 5x 1  0 ;g) 3x2 8x  9  0 ;

b) 2x2 5x 1  0 ;h) 5x2x  2  0;

c) x2  6x  3  0 ;i) 3x2x  7  0 ;

d) x2  7x 1  0 ;j) 5x2 3x  2  0 ;

e) 2x2 16x 5  0;k)  2x2  4x 5  0 ;

f)  6x2  4x  3  0 ;l) 7x2  4x 1  0 .

 Используя теорему Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого:

  • противоположны корням данного уравнения;
  • обратны корням данного уравнения;
  • являются квадратами корней данного уравнения.

16

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§5 Теорема Безу

24. Найдите остаток от деления многочлена:

a) 5x3  2x2  7 на x 1;g) x5  4x4  2x3  5x 1 на x  2 ;

b)  x3  2x2  3 на x  3;h) 7x5 3x4  2x3 8x 5 на x 1;

c) 2x3 12x  7 на x  2 ;i)  2x5  5x4  7x3  3x 11 на x 1;

d) 6  xx2  2x4 на x 1;j) x5  4x4  2x3  5x 1 на x  2 ;

    • 4x3 3x2  2x 1 на 2x 1;k) 2x5  5x4  7x3  7x  3 на 3x 1;
    • x3  4x2x 3 на 3x  2 ;l)  6x5  7x4  8x  5 на 2x 1.
  • Какую кратность имеет корень 2 для многочлена:

    • fx x5 3x4  2x2 8x 8;
    • fx 2x5 13x4  29x3 31x2  32x  28 ;
    • fx 7x5 30x4  37x3 13x2 8x  4 ;
    • fx x5 5x4  9x3 9x2 8x  4 ;
    • fx x5 5x4  7x3  2x2  4x 8;
    • fx 2x5 15x4  43x3  22x2  36x 8 ;
    • fx x5 13x4  56x3 104x2  80x 16 ;
    • fx 2x5  6x4 9x3  38x2 12x  24 ;
    • fx 2x5 17x4  56x3 88x2  64x 16 ;

17

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • fx 3x5  23x4  64x3  72x2 16x 16 ;
  • fx 3x5 15x4  40x3  40x2 16 ;
  • fx 3x5  25x4 80x3 120x2 80x 16 ?
  • Остаток при делении многочлена Axна двучлен Bxравен a .

Используя теорему Безу, найдите значение k , если:

  • Ax 12 x3xk , Bx x  2 , a  2 12 ;
  • Ax 13 x3  23 xk , Bx x 1, a  0 ;
  • Ax x3  12 x2  kx  2 , Bx x 1, a 1;
  • Ax1 23 x3x2kx  4 23 , Bx x 1, a   23 ;
  • Ax x3kx272 x32 , Bx x 3, a34 ;
  • Ax1 52 x3  kx2  53 x53 , Bx x 1, a  1;
  • Ax kx3  6x2  3x  2 , Bx x  2 , a 113 ;
  • Ax kx343 x2  5 13 x  7 16 , Bx x 3, a43 ;
  • Ax kx3  xk , Bx x  2 , a  4 ;
  • Ax kx3kx273 x113 , Bx x 1, a23 ;

18

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • Ax kx3x2kx72 , Bx x 3, a  25 76 ;
  • Ax kx3  kx2  kx1011 , Bx x 1, a 1.

27. Многочлен fxпри делении на pxдает остаток a , а при делении на qxдает остаток b . Найдите остаток от деления многочлена fx на многочлен tx, если:

  • px x 1, qx x 3, tx x2  4x  3 , a  4 , b  6 ;
  • px x 1, qx x 8 , tx x2  7x 8 , a  1, b 12 ;
  • px x  4 , qx x  3, tx x2  x 12 , a  7 , b  6 ;
  • px x  5, qx x  2 , tx x2  3x 10 , a  2 , b  5;
  • px x  6 , qx x  7 , tx x2 13x  42 , a  12 , b  3;
  • px x 9 , qx x  2 , tx x2 11x 18, a  1, b  23 ;
  • px x13 , qx x32 , tx x213 x92 , a   12 , b32 ;
  • px x75 , qx x  2 34 , tx x28320 x7720 , a154 , b145 ;
  • px x  2 73 , qx x  5 13 , tx x2  16321 x27221 , a  3 13 , b  2 ;
  • px x  2 , qx x  2 , tx x2  2  2 x  22 , a  2 , b  2 ;
  • px x  3 , qx x 33 , tx x2  23x  9 , a  3 , b  23 ;

19

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

l) px x  2 , qx x  3 , tx x2  3  2 x  6 , a  2 , b  1.

  • a) При каких значениях a и b многочлен x4  2x3ax2bx  2 :

      • делится без остатка на x  2 , а при делении на x 1 имеет остаток, равный 3 ?
      • делится без остатка на x  3 и на x  2 ?
    • делится без остатка на x  2 , а при делении на x 1 имеет остаток, равный 3?
      • при делении на x  2 имеет остаток, равный  3 , а при делении на x 1 имеет остаток, равный 3 ?
  • При каких значениях a и b многочлен ax4  2x3ax2bxb :

    • делится без остатка на x  2 , а при делении на x  3 имеет остаток, равный  7 ?
    • делится без остатка на x  3 и на x 1?
  • делится без остатка на x  2 , а при делении на x 1 имеет остаток, равный 3?
    • при делении на x  2 имеет остаток, равный  3 , а при делении на x 1 имеет остаток, равный 3 ?

c) При каких значениях a , b и c многочлен ax3bx2cx 1:

  • делится без остатка на x  2 и на x 1, а при делении на x  5

имеет остаток, равный  3 ?

    • делится без остатка на x  3, на x  5 и на x 1?
  • делится без остатка на x  2 , при делении на x  3 имеет остаток, равный  5 , при делении на x  4 имеет остаток,

равный 3 ?

iv) при делении на x  2 имеет остаток, равный 3 , при делении

20

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

на x 1 имеет остаток, равный  3 , при делении на x 1 имеет остаток, равный 5 ?

§6

Схема Горнера

29. Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена Axна двучлен Bx:

  • Ax x3  3x2  3x 1, Bx x 1;
  • Ax 5x3  26x2  25x  4 , Bx x 5;
  • Ax x4 15x2 10x  24 , Bx x  3;
  • Ax x4  2x3  4x2  6x 8 , Bx x 1;
  • Ax 2x5 5x3 8x , Bx x  3;
  • Ax 3x5x4 19x2 13x 10 , Bx x  2 ;
  • Ax x4 3x3 10x2  2x  5, Bx x  2 ;
  • Ax x5 , Bx x 1;
  • Ax x4  2x3 3x2  4x 1, Bx x 1;
  • Ax x4 8x3  24x2 50x  90 , Bx x  2 ;
  • Ax x4  2x3  x2 3x  7 , Bx x 1;
  • Ax x4 5x3 39x2  7x  25 , Bx x 3.

30. Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен fx на двучлен qx:

21

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • fx 2x2  5x 1, qx x 1;
  • fx 3x3  x2  x  3 , qx x 3;
  • fx 2x4  x3  2x2  3, qx x  3;
  • fx 2x3  5x2 10x  3, qx 2x 1;
  • fx 2x4  3x3  x , qx x  2 ;
  • fx 5  2x2  x4 , qx 4  x ;
  • fx x3  2x2  3 , qx x  3;
  • fx 4x3  3x2  2x 1, qx 2x 1;
  • fx x3  4x2  x  3, qx 3x  2 ;
  • fx 6  xx2  2x4 , qx x 1;
  • fx 4x3  x2  27x 18, qx x  2 ;
  • fx x4 8x3 15x2  4x  20 , qx x  2 .

31. Разделите многочлен Axна двучлен Bx:

  • Ax 2x3 19x2  32x  21, Bx x  7 ;
  • Ax 3x3 8x2  22x  65 , Bx x  5 ;
  • Ax 4x3  24x2  21x 5, Bx 2x 1;
  • Ax12x3  7x2 11x 14 , Bx 3x  2 ;
  • Ax 4x3116 x232 x16 , Bx x16 ;
  • Ax 5x3  3 13 x2  32x  7 , Bx x  2 13 ;
  • Ax 2x376 x2176 x  3 , Bx 12 x13 ;
  • Ax 3 53 x3  3 54 x2  6 13 x  6 32 , Bx 53 x 113 ;
  • Ax 2x3  2x2  2  2x  2 , Bx x  2 ;
  • Ax 2x3  23  6 x2  42x  6 , Bx x  3 ;

22

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • Ax 5x3  25x2  25  3x  2 , Bx 5x 1;
  • Ax 22x3  2  32  6 x  3  6 , Bx 2x  3 .

§7

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

32. Найдите целые корни многочлена:

a) x3 5x  4 ;

g) 4x4 11x2 9x  2 ;

b) x3x 10 ;

h) x4  4x3  25x2 16x 84;

c) 2x3x2 13x  6 ;

i) x4  4x3 18x2 12x  9 ;

d) 5x3 18x2 10x 8;

j) x5  2x4 13x3  26x2  36x  72 ;

e) x4 9x2  4x  36 ;

k) x5  2x4  3x3 10x2  40x  48 ;

f) 4x3 8x2  25x 50 ;

l) x6 3x5  40x4x3 3x2  40x .

33. Найдите рациональные корни уравнения:

a) x3 3x2  2  0 ;d) 3x4 8x3  2x2  7x  2  0 ;

b) 2x3 5x2x 1  0 ;e) 3x3x2x 35  0 ;

c) 3x4 5x3x2 5x  2  0 ;f) 6x4  25x3  20x2  25x 14  0 ;

  • 2x4 3x3  46x2  6x 8  0 ;
  • 8x5  4x4 58x3  45x2 108x 108  0 ;
  • 15x5 14x4 152x3 142x2  41x  60  0 ;

23

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • 4x5 7x4 5x3 10x2x 3  0;
  • 6x5 11x4 9x3 17x2 14x 3  0 ;
  • 81x6 99x4 19x2 1  0 .

§8

Определение многочленов от нескольких переменных

  • Приведите следующие многочлены в стандартный вид и определите степень этих многочленов:

a) 1 3x  2 yz2 ;

3

5

2

7

2

2

d) 

a

b

 ;

4

6

11

b) x2 3y2  2z2 2 ;

e) 2  5a2  6b2  7c2 2 ;

c) 1 2a2b  4ab2 2 ;

    • a3  b3  c3 2  2a3  3b3  4c3 2 ;
  • a2  b2  c2  d 2 2  a2  b2  c2  d 2 2 ;
  • 13ab4  6a2  b2 2  4a4  b4  5 ;

3

1

2

1

2

 

3

1



1

2

2

i) 

x

y  

x

y

 

x

y 

x

y  ;

2

4

6

3

2

4

6

3

 



j) x2  y2 3  3x2  y2 2x2  y2  3x2  y2 x2  y2 2  x2  y2 3 ;

1

2

3

2

2

3

k) 

 3x  3y 

3x

3y

 3x

 3xyy

;

 3

1

3

1

3

l) 

xy

 

xy  .

 2 2

 7

 

72 2

35. Докажите тождество:

  • x5  x4  x3  x2  x 1  x 1x2  x 1x2  x 1;
  • xyz2  2xyxzyz x2  y2  z2 ;

24

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • abcd 2  a2  c2 b2  d 2  adcb2 ;
  • bc3  ca3  ab3  3abbcca;
  • abbcac8abcabc2  bca2  cab2 ;
  • 4a2 b2 cd  c2  d 2 ab2  a2 b2 c2  d 2  4abcd2
          • a2  b2 2c2  d 2 2 ;
  • a2  b2 x2  y2  axby2  bxay2 ;
  • a2  b2  c2  d 2 x2  y2  z2  t 2  axbyczdt2
    • bxaydzct2  cxdyazbt2  dxcybzat2 ;
  • a2 b2 2  2ab2  a2  b2 2 ;
  • abcd 2  abcd 2  abcd 2  abcd 2 
        • 4a2  b2  c2  d 2 ;
  • xy5x5  y5  5xyxyx2  xyy2 ;
  • ab5  bc5  ca5 
      • 5abbccaa2  b2  c2  abbcac.

36. Разложите многочлен на множители:

  • 4b2c2  b2c2a22 ;
  • 2a2b  4ab2a2cac2  4b2c  2bc2  4abc ;
  • ab  2c2ba  2c2  2cab2  8abc ;
  • 8a3 bc b3 2ac c3 2ab;

e) a4  2a3b 8a2b2 6ab3b4 ;i) 6a3a2b  4ab2b3 ;

f) a4  2a3b 3a2b2  4ab3b4 ;j) abc3  acb3  bca3 ;

25

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

g) 6a3 11a2b  6ab2b3 ;

k) ab3  bc3 ac3 ;

h) 6a3  7a2bb3 ;

l) a2  b2 3  b2  c2 3  a2 c2 3 .

§9

Симметричные и однородные многочлены. Теорема Виета

  • Из ниже перечисленных выражений укажите симметричные и однородные многочлены:

a); x3 5x2 y 8xy2 3y3

g) x2  2xyy2 ;

b) 11x3  7x2 y  7xy2 11y3 ;

h) xyz3 123 ;

c) a3b3c3abbcac ;

i)

1

xy

1

xz

1

xt

1

yz

1

yt

1

zt ;

d) ax3  2bx2  3cx  4 ;

2

3

4

4

3

2

e) xyzt ;

j) x2  2x  3xy  2 yy2 ;

f) xyyzzttx ;

k) a3b3c3 3abc ;

l) 2x  3y .

  • Разложите многочлен на множители:

    • ab5 a5 b5 ;
    • 10x4  27x3 y 110x2 y2  27xy2 10y4 ;
    • 2x4  7x3 y 9x2 y2  7xy2  2y4 ;
    • 2x4 3x3 y  4x2 y2 3xy2  2y4 ;
    • 3x4 8x3 y 14x2 y2 8xy2 3y4 ;
    • abc3 a3 b3  c3 ;
    • abacbcabc abc ;

26

МНОГОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

  • a4b4c4  2a2b2  2a2c2  2c2b2 ;
  • a2b2 ba b2c2 cb a2c2 ac;
  • a2bab2a2cac2b2cbc2 3abc ;
  • 2a2b  4ab2a2cac2  4b2c  2bc2  4abc ;
  • a3 bc b3 ac c3 ab abcabc.
  • Выразите следующие степенные суммы через элементарные симметрические многочлены:

a) x4  y4 ;g) x2  y2  z 2 ;

b) x5  y5 ;h) x2  y2  z 2  t 2 ;

c) x6  y6 ;i) x3  y3  z3 ;

d) x7  y7 ;j) x3  y3  z3  t 3 ;

e) x8  y8 ;k) x4  y4  z 4 ;

f) x9  y9 ;l) x5  y5  z5 .

40. Даны следующие уравнения:

a) x3  4x2x  6  0 ;g) 2x3 3x2 11x  7  0 ;

b) x3 8x2 11x  20  0 ;h) 3x3  5x2  4x  4  0 ;

c) x3x2  2x  24  0 ;i) 4x3 5x2  7x  2  0 ;

d) x3 3x2 18x  40  0 ;j) 6x3 17x2  4x 12  0 ;

e) x3  2x2  29x  42  0 ;k) 15x3  28x2 5x  2  0 ;

f) x3 13x2  52x 60  0 ;l) 6x3 5x2 12x  4  0 .

Для каждого уравнения, не решая его, найдите:

27

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • x1x2x3 ;

  • x1 x2x2 x3x1 x3 ;

  • x1 x2 x3 ;

  • x12x22x32 ;

  • x13x23x33 ;

  • x14x24x34 ,

если x1 , x2 и x3 - корни данного уравнения.

  • Для каждого следующего уравнения, не решая его, вычислить

сумму x18x28x38 :

a) x3x 1  0 ;g) x3 5x  4  0 ;

b) x3 9x 10  0 ;h) x3  3x 14  0 ;

c) x3 32x 35  0 ;i) x3 10x  3  0;

d) x3  4x 3  0 ;j) x3 10x  24  0 ;

e) x3 8x  3  0 ;k) x3 32x  35  0 ;

f) x3 14x 8  0;l) x3 35x  6  0 .

Где x1 , x2 и x3 - корни данного уравнения.

28

ОТВЕТЫ

ГЛАВА 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ – 1

§1 Приращение аргумента и приращение функции

  • Решить следующие задачи:

    • Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если:

i) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м;

ii) большую его сторону увеличили на 0,2 м;

  • меньшую его сторону увеличили на 0,17 м, а большую его сторону увеличили на 0,4 м;

iv) диагональ прямоугольника увеличили на 0,13 так, что длина одной из его сторон не изменилась.

  • Стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см.

Найдите приращения его периметра и площади, если:

    • основание треугольника увеличили на 0,21 м;
    • боковую сторону увеличили на 0,7 м;
  • основание треугольника увеличили на 0,13 м, а боковую сторону увеличили на 0,1 м;
    • высоту, опущенную на основание, увеличили на 0,75 м.
  • Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна:

i) 0,2 см;ii) AR ;iii) 0,1 см;iv) h .

29

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Даны следующие функции:

    • fx 3x  4 ;
    • fx 7x  5 ;
    • fx 2x 3 ;
    • fx 5x 1;
    • fx x2 ;
    • fx 2x2 3 ;
    • fx 3x2  5x ;

Для каждой функции найдите:

  • fx 7x2  2x  4 ;
  • fx 1x ;

j) fx

2

;

3x 1

  • fx 52xx 23 ;
  • fx 2x2  3x 1 .
    •  7

      • x , если x0  3 и x  0,2 ;
      • x , если x0  5 и x  0,03;
      • y , если x0  4 и x  0,1;
      • y , если x0  7 и x  0,02.
  • Найдите приращенияx иf в точке x0 , если:

    • fx 4xx2 , x0  2,5 , x  2,6 ;
    • fx 4  x2  4x , x0 1,7 , x 1,9 ;
    • fx x3  3x  4 , x0  0,3 , x  0,7 ;
    • fx cos2x , x04 , x34 ;
    • fx cos2 x , x023 , x34 ;
    • fx sin 2 x , x03 , x2 ;

30

ОТВЕТЫ

  • fx tgx , x04 , x3 ;
  • fx ctgx , x08 , x6 ;
  • fx sin1 x , x04 , x3 ;
  • fx 2x 1 , x0 1,22 , x 1,345 ;
  • fx 3 3x  2 , x0  2,52, x  2,742 ;
  • fx x 1  3 x  2 , x0 1,12 , x 1,35 .
  • Чему равны приращения аргумента и какого они знака

(рис. 1, 2, 3, 4)? Какого знака соответсвующие приращения функции и чему они равны?

Рис. 1Рис. 2

Рис. 3Рис. 4

31

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

§2

Понятие производной. Производная степенной функции и линейных комбинаций степенных функций

  • Постройте график функции f и проведите к нему касательную,

проходящую через точку с абсциссой x0 . Пользуясь рисунком, определите знак градиента этой касательной:

  • fx x2  2x 3, x0  0 , x0  3 , x0  2 , x0  1;
  • fx x22 1, x0  2 , x0 1, x0  1, x0  2 ;
  • fx x 41 , x0  3 , x0  2 , x0  3, x0  7 ;
  • fx 4xx12 , x0  4 , x0  2 , x0  4 , x0  8 ;

e)

fx 2x2 ,

x  2

,

x  0

,

x  2

,

x  4

;

0

0

0

0

    •  1 x2      
  • f x   , x04 , x02 , x0 0 , x0 2 ;
      • 3 
  • fx1 lgx 1, x0  0,5 , x0 1, x0  2 , x0  4 ;

h)

fx 2  log 2x  2,

x0  1,

x0

 0 ,

x0 1,

x0  2 ;

i)

fx 2sin

x

,

x

 

,

x

,

x

,

x

2

;

0

0

0

0

 2

4

4

3

2

3

j)

fx

1

cos2x

,

x

 

,

x

,

x

2

,

x

3

;

0

0

0

2

3 

3

4

3

0

4

k)

fx tg x

,

x  

,

x

,

x

, x

2

;

0

0

0

4 

0

4

3

2

3

2

3

l)

fx ctgx

, x0  

,

x0

,

x0

,

x0

.

3

4

3

4

3 

32

ОТВЕТЫ

  • Определите знак градиента касательной, проведенной к графику функции (рис. 5, 6, 7, 8) через точки с абсциссой x1 , x2 , x3 , x4 (если

касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс?

Рис. 5

Рис. 7

  • Вычислите производные следующих функций:

a)

yx5 ;

1

f)

y

;

x2

  • yx3 ;

g)

y

x3 ;

4

c)

yx

3

;

1

h)

yx

2

;

d)

y

1

;

x

i)

yx10 ;

y

1

e)

x

7 ;

j)

yx3

;

Рис. 6

Рис. 8

    • 1
  • yx 4 ;
  • yx ;
  • yx14 ;
  • yx17 ;
  • y  x2 3 .

33

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Вычислите производные следующих функций:

  • yx3x2  5x  6 ;
  • y  3x2  7  4x ;
  • y x1x ;
  • y  2x4  4x2 ;
  • yx3  2x2 8x ;
  • yx2  5 x ;

33

g) yx 4  x 4  x ;

h) y  3x3  4x2  9x 10 ;

3

1

x

1

i)

yx

2

x

2

2

;

y

j)

x

x3 ;

k) y11 ;

x2x3

  • Продифференцируйте следующие функции:

a) yx

1

3

2

2

 3x

;

1

1

b)

yx

4

x

5

;

c)

y

4

x3

;

x3

4

d)

y

4

5

6

;

x

x2

x3

e)

y  3

x

 3x ;

f) yx  2x1 3x3 ;

  • yx xx2 x ;
  • y x x2 ;
    • 2 x

  • yx x  3 x4 x ;

j)

y

1

2

3

4

;

x

x

x

x

3

4

  • y   3 x 4 x x ;
      • x 3 x 4 x
  • y x 3 x 4 x x .

    • x 3 x 4 xx

  • Вычислите производные следующих функций:

  • y  x 12 ;
  • yx2 2  x;
  • y  3x  4x  5;
  • y  4  x2 ;
  • y  x  2x  2;
  • yx2x 1;
  • y  7x 16  4xx 1;
  • y  x  23 ;
  • yx16 x2  33 ;

34

ОТВЕТЫ

e) y1x x2 1;

    • y  2x3x2  4;
  • Решите уравнение f x 0 :

    • fx x3  3x2  3x  2 ;
    • fx x3  6x2 12x 1;
    • fx 13 x332 x2  2x 1;
    • fx x3332 x2  4x  2 ;
    • fx x44  2x2  7 ;
    • fx x4453x3  3x2  2 ;
  • Решите неравенство f x 0 :

    • y  2x2  3x  43x2  2x 1.
  • fx 15 x543 x3  5x  4 ;
  • fx 17 x774 x4 8x  2 ;
  • fx 92 x9x5  7x  3;
  • fx 15 x5  253x3  7 ;
  • fx 14 x413 x312 x2x  5 ;
  • fx 14 x4x312 x2  3x  6 .

a) fx

x3

16x 1;

g) fx

x3

x2

x 1;

3

3

2

b) fx

5x2

x2

 6 ;

h) fx 2x

3 

7x2

x  2 ;

2

3

c) fx12x3 18x2  7x 1;

i) fx

x4

x3

 2x2  4x  5 ;

d) fx x3 

x2

4

3

 4x  2 ;

4

3

2

j) fx

3x

5x

5x

2

 3x  2 ;

e) fx 3xx2 

x3

4

3

2

;

10

 3x

3

k) fx

;

f) fx 2x

x2

x3

30x3

;

2

3

35

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

l) fx  6x3  4x  9 .

6x4

§3

Уравнение касательной к графику функции. Механический и геометрический смысл производной

  • Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

yfxв точке с абсциссой x0 , если:

a)

fx x3 3x ,

x  0

;

g)

fx 3x2  x3 , x  2 ;

0

0

b)

fx x2  2x ,

x 1

;

h)

fx 4x2  2x3 ,

x  2 ;

0

0

c)

fx 4x2  7x ,

x  2 ;

i)

fx 5x3 3x2 ,

x  1;

0

0

d)

fx 3x 5x2 ,

x  2

;

j)

fx 7x2  x4 ,

x  0 ;

0

0

e) fx x3  2x , x0 1;

k) fx x3 

3

x2 , x

;

3

3

0

f)

fx 2x3 5x ,

x  2

;

0

l) fx x3 

3

x2 , x  

3

.

  • Запишите уравнение касательной к графику функции yfxв точке с абсциссой x0 , если:

a)

fx x2  3x 1,

x 1

;

g)

fx x3  4x2  7x  2 ,

x 1;

0

0

b)

fx x2  2x  5 ,

x  4

;

h)

fx x3 5x2  7x  2 ,

x 1

;

0

0

c)

fx 2xx2 , x  0 ;

i)

fx x3  2x2  4x  7 ,

x  2

;

0

0

d)

fx 3x  2x2 ,

x 1;

j)

fx 2x3  2x2 10x 10 , x  2 ;

0

0

e) fx

x3

 4x ,

x  3 ;

k)

fx

1

x 4  27x  60 ,

x  2

;

3

0

4

0

36

ОТВЕТЫ

f) fx 2xx3 , x0  2 ;l) fx x3  0,5x 4x  2 , x0  1.

16. a) Выясните, в каких точках графика функции yfx касательная составляет с осью Ox угол , если:

  • fx 2x3 1, 3 ;
  • fx x3x2  7x  9 ,   ;

324

  • fx x3352x2  7x  4 , 4 ;

iv)

fx

x3

2 

3

x2

 3

x  4 ,

.

3

3

3

2

b)

Выясните,

в какой точке

грфаика функции yfx

касательная параллельна прямой l , если:

  • fx x3392x2  20x  7 , l : y  0 ;
  • fx x44  7 , l : y  8x  4 ;
  • fx 3x2  4x  6 , l : 8xy 5  0 ;
  • fx 3x2 5x 11, l : xy 10  0 .

 c) Выясните, в какой точке грфаика функции yfx касательная перпендикулярна к прямой l , если:

  • fx 3x2  4x  7 , l : x  20 y  5  0 ;
  • fx 5x2  4x 1, l : x  6 y 15  0 ;
  • fx 7x2 5x  4 , l : 23yx 1  0 ;
  • fx x42  7x  5 , l : y  2x  5 .
  • Решите следующие задачи:

    • Снаряд массой m выпущен вверх из зенитного орудия с начальной

37

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

скоростью v0 . Найдите кинетическую энергию снаряда в момент времени t0 . На какой высоте кинетическая энергия равна нулю?

 b) Тело массой m  2 кг движется прямолинейно по закону xt  2 3t  2t 2 . Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через

  • с после начала движения. Какяа сила действует на тело в этот момент? ( t измеряется в секундах, x - в метрах.)
    •  Точка движется по закону st  4tt 2 . Какой путь пройдет точка за время от t 1 с до t 1,5 с? Какова средняя скорость точки на этом отрезке времени? Каковы ее скорость и ускорение в момент t 1,25 с? ( s измеряется в метрах.)

d) Высотаh , на которой находится брошенное вертикально вверх

тело, изменяется по закону

ht 10 15t

gt 2

. Найдите начальную

2

скорость движения тела и скорость через 5 с после начала движения. Какова средняя скорость тела на отрезке времени от t 1 с до t  4 с? Чему равно ускорение тела в момент t  2 с? С какой высоты брошено тело?

 e) По оси абсцисс движутся две точки по законам xt  t 2 и xt  4  3t . В какой момент времени произойдет их встреча? С какой скоростью они удаляются друг от друга в этот момент?

  • Из пункта A выходит мотоцикл, движущийся равноускоренно с

ускорением a  3 м/с2 и нулевой начальной скоростью. В какой момент времени мотоцикл догонит автомашину, которая вышла из A одной минутой ранее мотоцикла и движется в том же направлении со скоростью 15 м/с? С какой скоростью мотоцикл удаляется от автомашины в момент их встречи?

  • В период разгона маховик вращается по закону t  t93 , где -

угол в радианах, t - время в секундах. Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна 3 рад/с? Чему равно

38

ОТВЕТЫ

угловое ускорение в этот момент?

  • Круг радиуса R  0,5 м вращается вокруг центра так, что за время t

он поворачивается на угол t 16t 2 3t 3 . ( измеряется в радианах, t - в секундах.) Найдите длину дуги, пройденной точкой, находящейся на окружности, в течение первых двух секунд. Вычислите угловое ускорение круга в конце второй секунды.

  • Общая длина стержня, сделанного из неоднородного материала,

равна 3 . Изменение массы m куска стержня в зависимости от l ( l - длина куска, считая от начала стержня) описывается формулой ml  20l 5l 2 .

Чему равна средняя плотность стержня? При каком значении l плотность равна средней плотности?

j) Масса ml  куска длины l

неоднородного стержня равна 50l

l 3

.

3

При каком значении l плотность вдвое меньше, чем в начале стержня (т.е. при l  0 )?

  •  Тело с высоты 20 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 50 м/с. В какой момент времени скорость изменения высоты тела равна нулю? Чему равна при этом высота тела над поверхностью земли?
  • Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростью v0 под углом
  • к горизонту, изменяется по закону ht  v0 sin tgt22 . Известно, что

v0  500 м/с, а через 1 с скорость изменения высоты снаряда была равна 24g м/с. Под каким углом к горизонту вылетел снаряд?

18. Решите следующие задачи:

a) Тело движется по оси абсцисс,

подчиняясь закону

xt  tt 2 . С

какой скоростью она удаляется от точки

A0;1 в момент t

1

?

2

39

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Расстояние от точки A0;1 до тела, движущегося по оси абсцисс,

изменяется по закону st  t  2 . Вычислите скорость движения тела при

  • 1.

  • Колесо радиуса R 10 см катится о прямой. Угол поворота колеса

за время

t определяется по закону

t  t

t 2

. Найдите скорость и

2

ускорение движения центра колеса через 10 с после начала движения. ( измеряется в радианах, t - в секундах.)

d) Движение центра колеса определяется

уравнением st

 2t

t 3

.

3

(Расстояние s измеряется в метрах, время t

- в секундах.)

Найдите

угловую скорость и угловое ускорение колеса при t  4 с, если радиус колеса равен 20 см.

e)Уголповоротаколесаподчиняетсязаконуt  tat 2 . (

измеряется в радианах, время t - в секундах.) Угловая скорость колеса через 16 с после начала вращения равна 33 рад/с. За сколько времени колесо сделало первый оборот?

  •  Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален кубу времени. Первые два оборота сделаны колесом за 2 с. Найдите угловое ускорение через 7 с после начала вращения. (Угол измеряется в радианах, время – в секундах.)
  •  Сторона квадрата увеличивается со скоростью v  0,1м/с. С какой скоростью увеличивается его площадь в тот момент, когда она равна 4 м2?
  •  При нагревании круглый металлический диск расширяется, причем его радиус увеличивается равномерно со скоростью 0,2 см/ч. Вычислите

начальный радиус диска, если известно, что через 15 мин после начала нагревания скорость увеличения площади диска равна 2,02 см2/ч.

i)Точкадвижетсяпопрямойтакимобразом,чтовеличина

40

ОТВЕТЫ

пройденного пути x и скорость точки v связаны уравнением x  0,1v2 . Найдите ускорение движения точки. ( x измеряется в метрах, v - в метрах

  • секунду.)
    • Скорость v точки, двигающейся прямолинейно, и пройденный ею

путь x связаны уравнением v12 x2 . Найдите ускорение движения точки в тот момент, когда значение x  4 .

    •  Лестница длиной 5 м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени

лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к

поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 м?

    •  Концы отрезка AB  5 м скользят по координатным осям так, что конец A приближается к началу координат O с постоянной скоростью 2 м/с. Найдите скорость изменения площади треугольника AOB в момент, когда AO  4 м.
  • Решите следующие задачи:

    •  Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 00 C до t 0C , определяется формулой Qt  2 105 t 2  3a 107 t 3 . Теплоемкость воды при t 1000 C равна 1,013 . Найдите значение параметра a .
    •  Для нагревания 1 кг жидкости от 00 C до t 0C необходимо Q Дж теплоты, где Q 1,7tat 2bt 3 . Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 1000 C равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости

от 00 C до 500 C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите значения величин

  • и b .

    •  При деформации одна из сторон прямоугольника увеличивается с постоянной скоростью 1 см/ч, а другая уменьшается со скоростью 0,5

41

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

см/ч. Найдите скорость изменения площади прямоугольника через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см2, а первоначальная площадь прямоугольника равна 17 см2.

  •  Прямоугольник со сторонами a 10 см и b  20 см начинает подвергаться деформации, при этом его стороны изменяются с постоянными скоростями и сторона a уменьшается. Известно, что через

30 мин после начала деформации площадь прямоугольника стала равной

150 см2, а скорость изменения площади равна 200 см2/ч. Найдите скорости изменения сторон прямоугольника.

  •  Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 40 м/мин. Ворот находится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найдите:

i) скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 30 м от берега;

ii) скорость движения парома в тот момент, когда длина натянутого каната равна 50 м.

  •  Диски фрикционной передачи имеют радиусы r  3 см и R 12 см. После пуска угловое перемещение дисков пропорционально кубу времени. Через сколько времени больший диск будет иметь такую же угловую скорость, какую имел меньший через 2 с после момента пуска?
  •  Отношение радиусов дисков фрикционной передачи равно 1: 2 . После пуска передачи угловое перемещение дисков пропорционально кубу

времени. Чему равна угловая скорость большего диска через 1 с после пуска, если угловое ускорение меньшего диска в этот момент равно 6 рад/с2?

  • Осветительная ракета запускается вертикально вверх с поверхности

Земли и движется по закону ht  80t  4t 2 . (Высота h измеряется в метрах, время t - в секундах.) Труба, высота которой 40 м, находится в 18 м от места запуска ракеты. Найдите:

i) скорость изменения длины тени от трубы в тот момент, когда длина тени равна 10 м;

42

ОТВЕТЫ

ii) скорость удлинения тени в тот момент, когда от ракеты до поверхности Земли остается 256 м.

§4

Критические точки функции. Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции:

  • Определите промежутки возрастания и убывания функций:

  • fx 5x 1;
  • fx 5  6x ;
  • fx 2x2 3x 1;
  • fx x2  2x34 ;
  • fx x2  2x  3 ;
  • fx 3x2  5x  4 ;
  • fx 3x2 13x 12 ;
  • fx 4 8x 5x2 ;
  • fx x3  2x2 ;
  • fx 2x3x2 ;
  • fx 2xx3 ;
  • fx 3x2  2x3 .
  • Определите промежутки возрастания и убывания функций:

a) fx 4x3  9x2 12x  6;

h) fx 4  6x 9x2  20x3 ;

b) fx x3x2x  2 ;

i) fx 3x4  4x3 12x2 ;

c) fx x4  4x ;

j) fx 3x4  4x3 36x2  5;

d) fx x4  4x ;

k) fx1 3x2 

x3

x4

;

3

e) fx

8

4

x3 11x2  6x  4

;

3

l) fx 2  x

x

3

3

2

x

4

.

f) fx16x3 15x2 18x  6 ;

3

4

g) fx1

5

x2x  2x3

;

2

22. Найдите критические точки функции yfx. Выясните, какие из

43

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

них являются точками минимума, а какие – точками максимума:

a) fx 5  4x  4x2 ;g) fx 2 18x 15x2  4x3 ;

b) fx 3  2xx2 ;h) fx112x 9x2 10x3 ;

c) fx 2x3  9x2  24x 1;i) fx 2  54x  27x2 8x3 ;

d) fx 2x3  6x2 18x  5 ;j) fx 3 36x  51x2 10x3 ;

e) fx 4x3  3x2 18x 12 ;k) fx x4 32x 1;

f) fx 2x3  5x2  4x  3;l) fx x4  4x  3 .

23. Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы и постройте ее график:

  • fx xx3 ;
  • fx x3 9x ;
  • fx x332 x2 ;
  • fx 3x2x3 ;
  • fx x3x2  2x 1; 3 2
  • fx x33x2  3x  5 ;
  • fx 6xx22 x3 1 ; 2 3
  • fx1 xx22 x3 ; 2 3
  • fx x4 8x2 8;
  • fx x4  4x3  9 ;
  • fx 2x4x ;
  • fx x42x .
  • Найдите число действительных корней уравнений:

a)

x3

x2  3x  2  0 ;

g) x4  2x3

3

 0 ;

3

2

x

3

3

h) 12x

4

16x

3

 3

 0 ;

x2  2x 1  0 ;

b)

x2 3 1;

3 2

i)

x

c) 6  36x 3x2  2x3  0 ;

d) 10 12x 3x2  2x3  0 ;

j) x2

x

6 15;

3

3 

3

1

 2x  0

e) x

12x 10  0 на  3;

;

k) x

;

x

2 

44

ОТВЕТЫ

3

 3x

1

 0

1

l) x

5

1

 2x  0 .

f) x

на

;2

;

2

x

3

2

§5

Наибольшее и наименьшее значения функции

  • Найдите наибольшее и наименьшее значения функции yfxна

соотвествующем отрезке:

    • fx x2  2x 3 ,  5; 1 ;
      • 2 
    • fx x2 5x  6 , 0;3;
    • fx x2  27x ,  5;1;
    • fx12xx3 , 1;3;
    • fx x3332 x2  2x  3 ,  3;0;
    • fx x33  2x2  3x 1, 2;4;
    • fx 2x3  9x2  24x 1,  2;1;
    • fx x3 12x2  45x  20 ,  4;2;
    • fx x4  4x  5,  3;2;
    • fx x4  2x 1, 1;1;
    • fx 2x3  32 x2  2 , 0;3;
    • fx 2x3  3x2  32 x  30 ,  3;3.
  • Решите следующие задачи:

    •  Найдите два числа, сумма которых равна 82 , а произведение наибольшее из возможных.
    •  Найдите два числа, разнсость которых равна 20 , а произведение наименьшее из возможных.

45

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  •  Число 121 разложили на два положительных множителя таким образом, что сумма их оказалась наименьшей из возможных. Найдите эти множители.
  •  Число 144 разложили на два отрицательных множителя таким образом, что сумма их оказалась наибольшей из возможных. Найдите эти множители.
  •  Число 4 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго было наибольшим.
  •  Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и второго, возведенного в четвертую степень, было наибольшим.
  •  Найдите положительное число, после вычитания из которого куба этого числа получается наибольшая разность.
  •  Какое положительное число при вычитании его из утроенного куба этого числа дает наименьшую разность?
  •  Рассматривается множество прямоугольников, у которых две вершины лежат на осях Ox и Oy прямоугольной системы координат,

третья – в точке 0;0, а четвертая – на параболе y13x2 . Какой из этих прямоугольников имеет:

    • наибольшую площадь;
    • наибольший периметр?
  •  Как разрезать отрезок длиной 10 см на две части так, чтобы, взяв их за катеты, получить:
    • прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой;
    • прямоугольный треугольник наибольшей площади?
  •  Забором длиной 80 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Найдите размеры площадки.
  •  Забором длиной 16 м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите размеры

46

ОТВЕТЫ

палисадника.

  • Решите следующие задачи:

 a) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых сумма длин гипотенузы и одного из катетов равна 21.

 b) Среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой c  2 найдите треугольник наибольшего периметра.

c)

Материальная

точка

движется прямолинейно по

закону

xt 

t 3

t 2

 2t  3.

( x

измеряется

в метрах, t -

в секундах.)

Найдите

3

2

наибольшее и наименьшее значения xt  за первые 3 с движения.

d)

Расстояние

от

точки

до

наблюдателя

подчиняется

закону

st 

t 3

t 2  3t 10 .

( s

измеряется в метрах, t -

в секундах.)

Найдите

3

наименьшее и наибольшее расстояния в течение первых четырех секунд.

  •  При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 450 и периметром P  41 2  имеет наибольшую площадь?
  •  Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются под прямым углом, сумма их длин равна 10 . Каково наибольшее значение площади этого четырехугольника?
  •  Число представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и утроенного второго слагаемого была наименьшей.
  •  Представьте число в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго было наибольшим.
  •  Число 147 разложите на два положительных слагаемых так, чтобы произведение одного из них на квадратный корень из другого было наибольшим.

47

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

    •  Число 32 разложите на два положительных множителя так, чтобы сумма первого множителя и квадратного корня из второго множителя оказалась наименьшей.
    •  В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a  2 вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на катетах, одна – на гипотенузе и последняя совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
    •  В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a  22 вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две – на катетах треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
  • Решите следующие задачи:

  •  В равносторонний треугольник ABC прямоугольник наибольшей площади так, что стороне AC , одна вершина – на стороне AB стороны этого прямоугольника.

 со стороной a  4 вписан две его вершины лежат на и одна – на BC . Найдите

  •  В равносторонний треугольник ABC со стороной a  6 вписан треугольник наибольшей площади так, что две его вершины M и N лежат на сторонах AB и BC , причем MN параллельна AC , а третья вершина K лежит на основании AC . Найдите площадь треугольника MNK .
  •  Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
  •  Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник с наибольшим периметром.
  •  Вокруг прямоугольного поля площадью S  400 га должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной l 10 м. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?
  • Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице

48

ОТВЕТЫ

книги 363 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть размеры книжной страницы, чтобы площадь ее была наименьшей?

  •  Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону mt 1 23 t . ( m

измеряется в граммах, t - в секундах.) Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

  •  Источник тока с электродвижущей силой E  220 В и внутренним сопротивлением r  50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R . Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей? (По закону Ома сила тока в

цепи есть IRE r , выделяемая в потребителе мощность равна I 2 R .)

  • На кривой yfx найдите точку, ближайшую к началу координат,

если:

  • fx 2 1 x ;
  • fx x2 1.
  • Два тела начинают двигаться одновременно по прямым Ox и Oy ,

пересекающимся под прямым углом. Первое тело движется со скоростью

  • м/с по прямой Ox от точки A к точке O , причем AO 100 м; второе тело движется со скоростью 5 м/с по прямой Oy от точки B к точке O ,

причем BO 100 м Найдите наименьшее расстояние между телами во время движения.

 k) Два корабля плывут с постоянными скоростями v1  20 км/ч и v2  30 км/ч по прямым, угол между которыми 600 , в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояния кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

  • Через точку M 1;3 проведена прямая, пересекающая оси Ox и Oy в

точках Aa;0 и B0;b соответственно ( a  0 , b  0 ). Под каким углом прямая должна быть наклонена к оси Ox , чтобы:

49

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

а) площадь полученного OAB была наименьшей; б) длина отрезка AB была наименьшей?

§6

Производная второго порядка степенной функции и линейных комбинаций степенных функций Выпуклость и вогнутость кривых. Применение производной к нахождению точек перегиба графика функции

  • Найдите yи y :

4

1

3

10

a)

y  2x5

 3

x ;

g)

y  3x5

x3

;

x3

x

x

x5

y

3

 5

2

y  3

3

 4x6

4

b)

x2

 4x3

;

h)

x7

;

x

x

x4

x5

y  3x4

2

4

y  8x2  3

4

2

c)

3 x

5

;

i)

x4

;

x

x2

x

x3

y  7

2

 3x3

4

y  4x6

5

 3

7

d)

x

;

j)

x4

;

x5

x

x

x4

5

6

;

y  2

7

 3x2

2

e)

y  7x

7

x4

k)

x3

;

x2

x

x

x5

y  5x2

4

5

y  4x3

3

 5

6

.

f)

3

x4

;

l)

x2

x3

x

x

x2

  • Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба для функции:

a)

y  5x  4;

g) y  3x4 30x3 108x2  72x  6 ;

b) y  7x 1;

h) yx4x3 3x2 12x  7 ;

c) y  2x2  7x  5 ;

i)

yx4  4x3  6x2  20x  5 ;

d) y  3  5x  4x2 ;

j)

y 16x4  96x3  216x2  224x  97 ;

e)

y  3x3  7x2x 5;

k) yx4  2x3  6x2  2x  4 ;

50

ОТВЕТЫ

f) y  7 14x  3x2 5x3 ;l) yx4  2x3  21x2  2x 1.

§7 Дифференциал функции. Приближенные формулы

  • Найдите приближенные значения:

a) 1,995 ;

h)

35 ;

b) 3,013 ;

i) 1,00110 ;

c)

50 ;

j)

0,9924 ;

1

d)

82 ;

k)

;

e) 2,014 ;

1,0015

f)

3,0123 ;

l)

1

.

0,99

    • 37 ;
  • Найдите приближенные значения:

a) 5,014 ;

g)

2,26

;

b) 4,0363 ;

h)

1,22

;

c)

101;

i)

0,82

;

d)

80 ;

j)

0,5

;

e)

;

4,01

k) 3

8,01

f)

;

8,99

l) 3

.

26,98

51

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

§8 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

  • Проверьте, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

    • Fx 2x2  x 1, fx 4x 1, xR ;

b) Fx

1

x2

x 1 , fx x 1, xR ;

2

  • Fx x 1, fx 2 1 x , x 0;;
  • Fx 3  2 x , fx  1x , x 0;;
  • Fx x32  2x , fx 2  x63 , x 0;;
  • Fx 3xx23 , fx 3  x64 , x 0;;

g) Fx 

1, x

 0,

, fx 0 , xR ;

1, x  0

h) Fx x 1, x  0,

, fx1,

xR ;

2  x, x  0

  • Fx
  • Fx

x  2 , fx1, x 0;3;

3x 1 , fx 3, x 1;0;

k) Fx x x2  2x

, fx 3x

2

3

1

 4x , x 

;

 ;

2

2

l) Fx x x2  3x  4 , fx 3x2  6x  4 , x 4;5.

52

ОТВЕТЫ

  • Найдите неопределенный интеграл:

a)  x5 dx ;

g)  xdx ;

b) 

1

dx ;

h) 

1

dx ;

5

3

x

c)

4

x

xdx ;

i) 1 x2 dx ;

d)  x3dx ;

j) xx2 dx ;

1

k) 2x

dx ;

e)

dx ;

5

x

x

2

1

l) 1

1

2

dx .

x

x

f)

2 dx ;

  • Найдите неопределенный интеграл:

a) 

x2 1

g) 1 x2 dx ;

dx ;

x

2

h) x1 x1 xdx ;

b) x1 xdx ;

c) 2  3x1 5xdx ;

d) 

i) 

1 x

1

x2

dx ;

x

j) x  32 dx ;

dx ;

x

e) 

1 2

x3

x

dx ;

k) 1 3x3dx ;

  • 1 xx3 dx ;

x

53

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Найдите неопределенный интеграл:

3  3

x2

 2x

3

24 x

a) 

x

x

g) 

dx ;

x

 3dx ;

2x2

1

x

1

b) 

2x

3

x

5

dx ;

h) 

dx ;

2x

2

x

 4x2  5

3

x

c) 

3x

2

5

x  2

dx ;

i) 

dx ;

2x2

x

x2  35

2

x

d) 

2x

3

x  4

dx ;

j) 

dx ;

3 x

x

4

x

 2x  5

 3

e) 

6

x

5

5x

2

dx ;

k) 

dx ;

x2

x

f) 

2x3

x

 4

dx ;

1

2 x

x

3

  • Найдите неопределенный интеграл:

2

6

x

3x2

x3

 7

a) 

g) 

dx ;

3

x

x

 3dx ;

x

1

b) 

3 x2 

2x5  3

dx ;

h) 

dx ;

3x

4

3

x

2

x2

x

5

2

3

x

i) 

2

c) 

2x

3

4

x

x

3

 4dx ;

x

dx ;

 3x4  2

j) 

x

 2x3  6

dx ;

d) 

x3

dx ;

x

x

 2x3  4

4

k) 

5

x

dx ;

3

5

2

e)

2x

3 x

x

dx ;

x

l)

3x2

x

f)

2x

3

x

5

 5

dx ;

x3

x2

54

ОТВЕТЫ

§9 Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

  • Вычислите определенный интеграл:

  • 2 x3 dx ;

1

  • 1 x4 dx ;

1

  • 4 xdx ;

2

  • 8 dx ;
      • 3 x2
  • 8 dx ;
    • 3 x
  • 8 3 xdx ;

1

  • 1 dxx2 ;1

2

  • 5 x7 dx ;

5

21

  • x31dx ;

21

  • 1 3 dxx2 ;8

k) 2 3  2xdx ;

0

  • 0x3  xdx .

2

  • Вычислите определенный интеграл:

a) 2 x3 dx ;

g) 0 1 x2 dx ;

0

1

2

5

2

3x 1

b) 

x

dx ;

h) 

dx ;

1

1

x

c) 4x2  4dx ;

i) 2x3  xdx ;

2

2

d) 9

xdx ;

j) 3x2  2x  2dx ;

4

1

e) 3x2  2x 1dx ;

k) 0 2  3x2 dx ;

0

1

f) 2x3  3xdx ;

l) 1 3  2x3dx .

0

1

2

55

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями:

l)

Ось Ox ,

yx2  3,

g) Ось Ox ,

y

1

x

2

 2x , x 1

,

x 1, x  2

;

2

x  2 ;

b) Ось Ox , y x , x 1, x  2 ;h) Ось Ox , y  0,5x , x 1, x  5 ;

c) Ось Ox , yx2 1, x  1,

i)

Ось

Ox ,

x 1;

yx3 3x2  2x  2.5 ,

x 1

, x  2,5;

ii)

56

ОТВЕТЫ

d) Ось Ox , yx2x , x  3 ;j) Ось Ox , yx2  2x  2 , x  0 ,

x  2 ;

e) Положительные направления

k) Положительное направление

осей Ox и Oy , y  4  x2 ;

оси Oy , отрицательное направление

оси Ox , y  4  x2 ;

f) Ось Ox , yx3 , x  2 , x  4 ;

l) Ось Ox , y

1

, x  0,5 , x  2,5.

x2

57

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

  • Вычислите (предварительно выполнив рисунок) площадь фигуры,

ограниченной заданными линиями:

  • yx4 , y  0 , x  1, x 1;
  • yx4 , y 1;
  • yx2  4x  5 , y  0 , x  0 , x  4;
  • yx2  4x  5 , y  5 ;
  • y 1 x3 , y  0 , x  0 ;
  • y  2  x3 , y 1, x  1, x 1;
  • y  x2  4x , y  0 , x  3 , x  1;
  • y  x2  4x , y 1, x  3 , x  1;
  • yx3 , y  8 , x 1;
  • yx2  2x  4 , y  3 , x  1;
  • y  4xx2 , y  4  x ;
  • y16x2 , y  2x , x  4.
  • Вычислите (предварительно выполнив рисунок) площадь фигуры,

ограниченной данными линиями:

  • yx2 , y  2x ;
  • y  6  2x , y  6  xx2 ;
  • yx2  4x  4 , y  4  x2 ;
  • yx2  2x  2 , y  2  6xx2 ;
  • yx2 , y  2xx2 ;
  • yx2 , yx3 ;
  • yx2  4x  5 , y  5  x ;
  • yx2  3x  4 , y  4  x ;
  • y4x , y  4 , x  4 ;
  • y3x , y  3 , x  3 ;
  • yx2  6x  9 , y  5  x ;
  • yx2  2x 1, yx  3.

58



Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!


Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз:
Facebook | VK | WhatsApp | Telegram | Twitter

Қарап көріңіз 👇
  Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, презентация. ᐈ
  Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, сабақ жоспары. ᐈ
  Анықталған интеграл. Қисық сызықты трапеция және оның ауданы. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Анықталған интеграл. Қисық сызықты трапеция және оның ауданы. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Анықталған интеграл. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Анықталған интеграл. Қисық сызықты трапеция. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
kz | ҰМЖ, ОМЖ, ҚМЖ - Ұзақ, орта, қысқа мерзімді жоспар | Алгебра



Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру
Пікір жазу