Үлкен сандар заңы. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі:

10.4В Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

Мектеп:

Күні:

Мұғалімнің аты-жөніМұғалімнің аты-жөні:

Сынып: 10

Қатыспағандар саны:

Үлкен сандар заңы

Оқушылар:

10.3.2.17 үлкен сандар заңының тұжырымдамасын білу.

үлкен сандар заңының мәнін түсіну, анықтамасын білу.

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

• Үлкен сандар заңын мәнін түсінеді,есептер шығаруда қолданады.

Пәнге қатысты лексика мен терминология:

Кездейсоқ шама, дискретті кездейсоқ шама

Ньютон биномыны;

Биномдық үлестірім; мода; медиана; орташа мән; стандарттық ауытқу; математикалық күтім; дисперсия

Геометриялық үлестірім

Гипергеометриялық үлестірім

Үлкен сандар заңы

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер:

А оқиғасы n тәуелсіз тәжірибеде пайда болмауы;

А оқиғасы n тәуелсіз тәжірибеде пайда болуы;

Дискретті кездейсоқ шама Х –тің үлестіру заңын табу;

Биномдық үлестірім дегеніміз...;

Геометриялық үлестірім...

Гипергеометриялық үлестірім дегеніміз...

Үлкен сандар заңы сөйлемдердің жиынтығы...

*Академиялық шыншылдық, толеранттылық

*Ж.А білу және түсіну: тұрақты даму,әлеуметтік әділеттілік және теңдік

*Ж.А құндылықтары: әлемдегі және қоршаған ортадағы жағдайларды жақсартуға белсенді қатысуға шешім қабылдау

*Ж.А.дағдылары: өзінің айналасындағыларға ашық, әділ қарым –қатынас және олардың құқықтарын құрметтеу

Физика, экономика

Интерактивті тақта мүмкіндіктерін қолдану, Интернет ресурстар

Кездейсоқ шама; дискретті кездейсоқ шама ; үзіліссіз кездейсоқ шама ұғымы; дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрлерін тану: биномдық үлестірім, геометриялық үлестірім , гипергеометриялық үлестірім.

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

Ұйымдастыру кезеңі

Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға көңіл бөлу

Қате текшені табыңыз:

Жаңа тақырып

Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары кездейсоқ оқиға және кездейсоқ шама. Кездейсоқ оқиғалардың немесе нақты кездейсоқ шама пайда болуы немесе болмауы, яғни сынақтың нәтижесін алдын-ала болжау мүмкін емес, өйткені сынақтың нәтижесі есепке алынбайтын көптеген кездейсоқ себептерге байланысты.

Алайда сынақтарды бірнеше рет қайталаса жаппай кездейсоқ құбылыстарға тән заңдылықтар байқалады.

Осындай cынақтардың үлкен сериясы шығарылсын. Әрбір жеке сынақтың нәтижесі кездейсоқ, белгісіз. Дегенмен, осыған қарамастан, сынақтардың бүкіл сериясының орташа нәтижесі өзінің кездейсоқ сипатын жоғалтады, тұрақты болады.

Тәжірибе үшін, көптеген кездейсоқ себептердің кумулятивтік әсері іс-әрекеттердің бағытын болжауға мүмкіндік беретін нәтижеге тәуелсіз нәтижеге әкелетін жағдайларды білу өте маңызды. Бұл шарттар көбінесе үлкен сандардың заңы деп аталатын теоремаларда көрсетілген.

Үлкен сандардың заңына сәйкес, үлкен сандармен байланысты бірыңғай жалпы заң деп түсіну қажет емес. Үлкен сандардың заңы бірнеше теоремалардың жалпыланған атауы болып табылады, оның санын шектеусіз тестілеу санының артуымен, орташа мәндер кейбір тұрақтыларға тәуелді болады.

Оларға Чебышев пен Бернулли теоремалары кіреді. Чебышевтың теоремасы - үлкен сандардың жалпы заңы, Бернулли теоремасы - қарапайым.

«Үлкен сандардың заңы» терминімен біріктірілген теоремаларды дәлелдеу Чебышев теңсіздігіне негізделген, ол оның математикалық күтуінен ауытқу ықтималдығын анықтайды:

Үлкен сандар заңы сөйлемдердің жиынтығы, орта арифметикалық мәннің кездейсоқ шамалардың жеткілікті көптеген сандарының тұрақты шамадан ауытқуы - олардың математикалық күтімдерінің орта арифметикалық мәндерінің қандай да бір берілген кішкентай >0 –ден артпайды. 

Мысал 2. Құрылғы 100 тәуелсіз жұмыс істейтін элементтерден тұрады. Әр элементтің Т уақыт ішіндегі істен шығу ықтималдығы - 0,03. Элементтердің істен шығу сандарының (математикалық күтімдер) арасындағы айырмашылықтың абсолютті мәнінің:

а) екіден кем; б) екіден кем емес болу ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Х – Т уақыт ішінде істен шыққан элементтер саны. p=0,03 q=1-0,03=0,97. Онда M[X]=np=100 · 0,03 = 3;

D[X]=npq=100·0,03·0,97=2,91

Чебышёв теңсіздігін қолданамыз:

M[X]=3, D[X]=2,91, 𝜉 =2

б) және қарама қарсы оқиғалар, сондақтан

олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең. Демек

.

3 мысал.Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы D[X]=0,002 болсын. Кездейсоқ шама Х-тің математикалық үмітінен, 0,1-ден артық /кем/ болмау ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Чебышёв теңсіздігі бойынша

Осы сияқты болуын анықтауға болады.

 n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысында А оқиғасының көріну ықтималдығы Р-ға тең. Оқиғаның көрінуінің салыстырмалы жиілігі қандай болатынын алдын ала айтуға болмайды. Якоб Бернуллидің (1713ж) дәлелдеген «үлкен сандар заңы» атты және ықтималдықтар теориясының ғылым ретінде басталуына мүмкіндік берген теоремасы осы сұраққа жауап бере алады.

Бернулли теоремасы- тарихи жағынан үлкен сандардың заңының алғашқы және қарапайым түрі. Салыстырмалы жиіліктің тұрақтылығын сипатын теориялық түрде негіздейді

 Егер әрбір тәуелсіз n сынауда А оқиғасы тұрақты р ықтималдықпен м рет пайда болса онда кез келген > 0 үшін

  орындалады.Дәлелдеуі. Салыстырмалы жиілік -ді математикалық үміті р-ге, дисперсиясы ге тең кездейсоқ шама деп қарастырамыз. Бұл мәндерді Чебышёв теңсіздігіне қоямыз

n болғанда бөлшегінөлге ұмтылады.

Демек

Мысал 1.Оқиға тәуелсіз сынақтарда тұрақты 0,2 ықтималдықпен пайда болады. Оқиғаның 900 сынақтарда пайда болу салыстырмалы жиілігінің осы оқиғаның ықтималдығынан ауытқуы 0,04-тен кем болатындығының ықтималдығын бағалаңыздар.

Шешуі: Есептің шарттары Бернулли теоремасының шарттарымен сәйкес келеді.Сондықтан n=900, p= 0,2 , q=0,8, ескеріп, іздеп отырған ықтималдықты бағалаймыз:

 Р≥0,89

Бекітуге берілген тапсырмалар:

Топпен жұмыс (әр тапсырманы топ ішінде талдап есепті шешу алгоритмі құрылады, содан соң топ мүшелерінен жаңа топ құрылады: жаңа топта әр оқушы өз тобының шешімін ортаға салады) Осылай талдау барысында, қажет болса мұғалімнің көмегімен дұрыс шешімге келеді.

№1. А оқиғасы тәжірибеде пайда болу ықтималдығы 0,75-ке тең. Осы тәжірибелерде пайда болу салыстырмалы жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуының 0,05-тен артық болмауының ықтималдығы 0,96 –ға тең болу үшін қанша тәжрибе жасау керек?

№2. Ойын сүйегін 10000 рет лақтырғанда 6 цифры түсу жиілігінің оның ықтималдығынан ауытқуының 0,01 –ден кем болуы ықтималдығын бағалау қажет.

№3.Әрбір сынауда А оқиғасының шығу ықтималдығы 0,5-ке тең. Чебышев теңсіздігін пайдалана отырып, А оқиғасының пайда болу Х саны 40-тың және 60 аралығындағы ықтималдығын бағалаңыз, егер 100 тәуелсіз сынау жүргізілсе.

№4. Завод өнімдерінің 75 пайызы жоғары сапалы. Өндірілген 100000 мың бұйымдардың ішінде жоғары сапалы шығарылған бұйымдарының саны, осы жоғары сапамен шығарылған бұйымдардың санының математикалық үмітімен айырмасының абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.

№5.Жарық желісіне параллель 20 шам қосылған. Т уақыт ішінде шамның қосылатының ықтималдығы 0,8-ге тең. Чебышев теңсіздігін пайдаланып, қосулы тұрған шамдардың санымен және Т уақыт ішінде қосулы тұрған шамдардың орта мәнінің арасындағы айырмасының абсолют шамамен алынған ықтималдығын бағалаңыз.а) 3-тен кем б) 3-тен кем емес.

Жауабы: а)0,64 б)0,36

№6. 1000 тәуелсіз кездейсоқ шамалардың әрқайсысының дисперсиясы - 4. Бұл кездейсоқ шамалардың орташа арифметикалық мәндерінің олардың математикалық күтімдерінің орташа арифметикалық мәнінен ауытқуы 0,2 аспауы ықтималдығын бағалаңыз.

№7.Х дискретті кездейсоқ шамасы үлестіру заңымен берілген:

Чебышев теңсіздігін пайдаланып, ықтималдықты бағалаңыз: <0,2.

Жауабы:0,64

Рефлексия:

Үй тапсырмасы

Есеп. Х дискретті кездейсоқ шамасы үлестіру заңымен берілген:

Чебышев теңсіздігін пайдаланып, ықтималдықты бағалыңыз:

Жауабы: 0,909

№2. Құрылғы тәуелсіз жұмыс істейтін 10 элементтен тұрады. Жұмыс істемеу ықтималдығы 0,05-ке тең. Чебышев теңсіздігін пайдалана отырып, элементтердің жұмыс істемеу санымен және М(Х) орта санының айырмасының абсолюттік шамасы а) 2-ден кем; б)2-ден кем емес болатындығын бағалаңыз:

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау оқушылардың

Материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақт саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткенекі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?