Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрлері. Үлкен сандар заңы. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: 10.4В Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

Күні:

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақ тақырыбы

Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім түрлері. Үлкен сандар заңы

Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына

сілтеме)

10.3.2.17 - үлкен сандар заңының тұжырымдамасын білу

 Сабақ

 мақсаттары

Оқушы үлкен сандар заңының тұжырымдамасын біледі.

 Жетістік

 критерийі

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

• үлкен сандар заңының тұжырымдамасын біледі;
• үлкен сандар заңын қолданып есептер шығарады.

 Тілдік мақсаттар

Пәндік лексика мен терминология

- биномдық үлестірім;

- геометриялық үлестірім;

- гипергеометриялық үлестірім;

- үлкен сандар заңы

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

- биномдық үлестірім дегеніміз …;

- геометриялық үлестірім дегеніміз …;

- гипергеометриялық үлестірім дегеніміз …

- үлкен сандар заңы деп ...

Құндылықтарды дарыту

Құрмет (баға беру кезінде кері байланысты қамтамасыз ету арқылы)

Негізгі дағдылар

Өзін-өзі бағалау арқылы өзін-өзі реттеу дағдылары, топтық жұмысты ұйымдастыру, әрекет жоспарын / бағалау критерийлерін жасау

 Пәнаралық

 байланыстар

Физика, экономика, информатика (жалпы негізгі дағдыларды дамыту арқылы)

 АКТ қолдану

 дағдылары

Интерактивті тақта мүмкіндіктері, Интернет-ресурстар

Бастапқы білім

Кездейсоқ шама; дискретті кездейсоқ шама ; үзіліссіз кездейсоқ шама ұғымы; дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

Сабақтың барысы

Сабақтың жоспарланған кезеңдері

Оқушылармен бірлесіп сабақтың/оқытудың мақсаттарын анықтау.

Жаңа материалды игеру.

Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болатындығын атап өткенбіз. Міне бұл "үлкен сандар заңының" бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз.

 Чебышев теоремасы.

  Егер тәуелсіз    кездейсоқ шамаларының тұрақты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса, онда кез-келген  ε>0 саны үшін

 Яғни, кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы мен олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда (n ) өте аз шама болады.

 Чебышев теоремасы Чебышев теңсіздігі арқылы дәлелденеді.

 Бұл айтылғанның практикалық маңызын әрі қарай түсі-ну үшін үлкен сандар заңының тағы басқа теоремасын 

 қарастырайық.

 Бернулли теоремасы. Егер Р әрбір тәжірибе 

 жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және кездейсоқ шамасы – А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны m болса, онда 

 кез келген   ε  >0 саны үшін

 Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді.

 Бернулли ҮСЗ (үлкен сандар заңы)—ол тек Бернулли сызбасына ғана қатысты тұжырымдама.

Теорема (Бернулли ҮСЗ).  — Бернулли сызбасындағы сынақтар ішіндегі ықтималдығы -ға тең жетістіктер саны болсын.

Онда   Мұнда кез келген ε > 0 үшін

Немесе эквивалентті түрде

Дәлелдеуі: – параметрі -ға тең (сәйкес сынақта жетістік орын алды дегеннің көрсеткіші) Бернулли үлестірімі бар тәуелсіз, бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалардың қосындысы: , мұнда

.

. Енді Чебышев түрінде берілгенҮСЗ-ын және келесі теңсіздікті қолдансақ жеткілікті:

.

1-мысал. Дұрыс монета 10000 рет лақтырылады. Елтаңбалар саны 5000-нан 100-ге кем болатындай өзгешеленуі ықтималдығын бағалайық. - cынақтардың ішінде елтаңбалар түсуінің саны болсын. Оқиға ықтималдығын бағалау қажет.

Шешуі:

.

болғандықтан, ізделінді бағалау мына түрде жазылады:

Бекітуге берілген тапсырмалар:

Топпен жұмыс.Тапсырмаларды орындап болған соң, жаңа топтар құрылып есептер талдалынып дұрыс шешімді анықтайды.

Тапсырма 1. Ойын сүйегін 300 рет лақтырғанда, алты ұпайдың түсуінің салыстырмалы жиілігі осы оқиға ықтималдығынан 0,01-ден аспайды деген болжамды бағалаңыз.

Шешуі: оқиғасын бағалау үшін Бернулли теоремасының дәлелдеуіндегі теңсіздікті қолданайық, мұнда 

Тапсырма 2. Өнім сапасының ықтималдығы 0,9. Ықтималдығы 0,95 -тен кем болмайды деп тұжырымдайтындай, сапалы өнімдердің 0,9-дан ауытқуының абсолюттік мәні 0,1-ден аспайтындай шамамен қанша өнімдерді тексеру керек?

Шешуі:

теңсіздігін қолданамыз.

 Шарт бойыша .

Жоғарыда келтірілген теңсіздіктің оң жағына осы мәндерді қоялық:

.

Жауабы: .

Өзара бағалаумен жұптасып есептер шешу.

2-мысал.

Өндірілген құрылғыларды тексергенде орташа есеппен 100-ден 15 данасында белгілі бір ақаулар пайда болатыны анықталды. Өндірілген 400 құрылғылардың ішінен ақаулары бар құрылғылардың үлесі абсолюттік мәнде осы үлестің математикалық күтімінен 0,05-тен аспауының ықтималдылығын бағалаңыз.

Шешуі:

теңсіздігін қолданамыз.

Шарт бойыша . Р ретінде ақау үлесін тексеру барысында алынған шамасын аламыз. Сонымен,

Жауабы: . 

 Келесі тұжырымдар мен теоремалар да Үлкен сандар заңдары деген жалпы атаумен біріккен заңдар тобының негізгі мазмұнын айқындайды.

 1-лемма (Марков теңсіздігі). Х — теріс емес кездейсоқ шама болсын, яғни . Онда кез келген үшін ,

 мұнда М(Х) —Х-тің математикалық күтімі.

 1-салдар. және қарама-қарсы оқиғалар болғандықтан, Марков теңсіздігін былай жазуға болады:

  .

 3-мысал. Таяу күні тұрғылықты жердегі суға деген қажеттілік 150 000 литрден асуының ықтималдығын бағалаңыз, егер орташа тәуліктік қажеттілік 50 000 литр болса.

 Шешуі: түріндегі Марков  теңсіздігін қолдана отырып, бағалауын аламыз.

  Жауабы: .

 4-мысал. Берілен аймақта жылына ашық күндердің орташа саны 90-ға тең. Осы аймақта жыл бойы ашық күндердің санының 240-тан аспауының ықтималдығын бағалаңыз.

 Шешуі:   теңсіздігіне сәйкес,

  теңсіздігі орындалады.

 Жауабы: .  .

 2-лемма. (Чебышев теңсіздігі). Ақырлы дисперсиясы бар кез келген Х кездейсоқ шамасы үшін және кез келген үшін .

 2-cалдар. Ақырлы дисперсиясы бар кез келген Х кездейсоқ шамасы үшін және кез келген үшін

 .

Өзара тексеру арқылы тапсырмаларды жеке шешу.

Мұғалім әлсіз оқушыларға көмек көрсетеді.

 5-мысал.  Өндірілген бөлшектердің ұзындығы - орташа мәні 50 мм болатын кездейсоқ айнымалы. Бұл мәннің стандартты ауытқуы - 0,2 мм. Өндірілген бөлшектердің орташа ұзындығының абсолюттік мәннен ауытқуы 0,4 мм-ден аспауы ықтималдылығын бағалаңыз.

 Шешуі: Ықтималдықты бағалау үшін Чебышев теңсіздігін қолданамыз:

 .

 .

 Жауабы: .

 6-мысал. Елді мекендегі орташа тәуліктік электр қуаты 20 000 кВт / сағат, ал стандартты ауытқу - 200 кВт / сағ. Осы елді мекенде электр энергияның келесі күні қандай тұтынуының ықтималдығы 0,96-нан кем болмауы мүмкін?

 Шешуі: Ықтималдықты бағалау үшін Чебышев теңсіздігін қолданамыз:

 .

Жоғарыда келтірілген теңсіздіктің оң жағына -тің орнына мәнін қойып, оны 0,96-дан үлкен немесе тең деп алайық:

.

 Демек, бұл елді мекенде электр энергияның тұтынуының ықтималдығы 0,96-нан кем болмауы мүмкін аралығы , яғни

Жауабы: 19 000 –нан 21 000-ға дейінгі аралық.

Үй тапсырмасы

№1. Картоп түйнегінің орташа салмағы 150 граммды құрайды. Кездейсоқ түрде алынатын картоп түйнегінің салмағы 500 граммнан аспауының ықтималдығын бағалаңыз?

Жауабы: .

№2. Берілген елді мекен жеріндегі желдің орташа жылдамдығы 16 км / сағ. Осы елді мекенде желдің жылдамдығы (бір байқаудағы) 80 км / сағаттан аспауының ықтималдығын бағалаңыз.

Жауабы: .

Рефлексия

Оқушылар рефлексия жасайды:

- не білдім, неге үйрендім;

- не түсініксіз болып қалды;

- немен жұмыс жасау қажет.

Негізгі дағдылар мен құндылықтарды талқылау.

Мұғалім сабақты қорытындылайды

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау, оқушылардың материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Өздік жұмыс дәрежесі бойынша оқушылардың жұмысын саралау (әлсіз оқушылар мұғалімнің басшылығымен тапсырмаларды орындайды)

Оқу материалдарының көлемін саралау (2-ші сабақта қабілетті оқушыларға қосымша тапсырмалар)

Өзін-өзі бағалау, өзара бағалау (бағалау парағын толтыру)

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақты саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы бағалау

Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:.

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?