Үзіліссіз кездейсоқ шаманың ұғымы. Алгебра, 10 сынып, cабақ жоспары.

Мектеп:

Мұғалімнің аты-жөні:

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың ұғымы

10.3.2.12 - дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі ұғымын және оның қасиеттерін білу

Оқушылар: дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын есептей алады

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

Оқушы:

- дискреттік кездейсоқ шама туралы түсінеді;

- математикалық күтім нені білдіретінін түсінеді;

- математикалық күтімді дұрыс анықтайды;

- есептерді шығарған кезде математикалық күтімнің қасиеттерін біледі және қолданады

Оқушылар: нақты жағдайлардың ықтималдық үлгісін салу барысында бөлімнің пәндік лексикасы мен терминологиясын қолданады.

Пәнге қатысты лексика мен терминология:

Дискреттік кездейсоқ шама, варианта, ықтималдық, сынақ, үлестіру заңы; мода; медиана; орташа мән; математикалық күтім

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер:

Мүмкіндіктерді бейнелеу үшін болады, мүмкін, ықтимал сияқты модальдік етістіктерді қолдану

Академиялық шыншылдық, толеранттылық

Ж.А білу және түсіну: тұрақты даму, әлеуметтік әділеттілік және теңдік

Ж.А құндылықтары: әлемдегі және қоршаған ортадағы жағдайларды жақсартуға белсенді қатысуға шешім қабылдау

Ж.А.дағдылары: өзінің айналасындағыларға ашық, әділ қарым–қатынас және олардың құқықтарын құрметтеу

Ағылшын тілі, физика, химия, биология

Интерактивті тақтаның мүмкіндіктерін қолдану, Интернет ресурстары

Түсіну және қарапайым ықтималдықтарды есептеу

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

Ұйымдастыру кезеңі.

  I. Ұйымдастыру мезеті

 1. Сәлемдесу.

 2. Оқушыларды тексеру.

 II. Сабақтың тақырыбын хабарлау және сабақ мақсаттарын қою

 Өткен сабақтарда біз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамалардың түрлері, кездейсоқ шамалардың үлестіру қатары және үлестіру заңы сияқты ұғымдармен танысқан болатынбыз.

 Бүгін біз дискреттік кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамасы атты ұғымымен танысамыз.

 Бұл сипаттама әрі қарай ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика курсында жиі қолданылады.

 III. Негізгі білімді өзектендіру

 Ауызша сұралым:

• 1. Кездейсоқ шама дегеніміз не?
• Қандай кездейсоқ шаманы дискреттік деп атайды?
• 3. Үлестіру заңы дегеніміз не?
• 4. үлестіру заңы қатарын қалай салады?
• 5. Үлестіру көпбұрышы дегеніміз не?

 Оқушылар өз сыныптастарының ауызша жауаптарын қате болған жағдайда түзете алады, берілген жауаптан кейін жауабы бар слайд ашылады.

Кездейсоқ шама - тәжірибе нәтижесінде аталмыш немесе басқа мән қабылдай алатындай, әрі тәжірибе соңына дейін қандай мән қабылдайтыны белгісіз шама.

Дискреттік кездейсоқ шама – анықталған ықтималдықтарымен жеке, оқшауланған мәндер қабылдай алатындай шама.

Үлестіру заңы – кездейсоқ шама мәндері және оның болуы ықтималдықтары арасындағы сәйкестікті орнататындай кез келген ереже

Үлестіру заңы - x_i және оларға сәйкес p_i ықтималдықтарының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығы.

Үлестіру көпбұрышы – түйіндері (x_i;р_i) нүктелері болатын қисық сызық болатын үлестіру қатарының графиктік бейнелеуі.

Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға көңіл бөлу.

Сабақтың тақырыбын және мақсатын оқушылармен бірге анықтау.

IV. Жаңа материалды меңгеру ( презентацияның көмегімен проблемалық диалог түрінде өткізіледі, негізгі сәттерді оқушылар жұмыс дәптерлеріне жазады).

Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

 Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтынын көрдік. Көптеген практикалық мәселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың үлестіру заңын іздестірмей-ақ, сол үлестірудің маңызды ерекшелігін қамтитын кейбір сандық сипаттамаларымен қанағаттануға болады.

 Ықтималдықтар теориясында бұл сандық сипаттамалар мен оларға қолданылатын амалдардың ролі өте-мөте зор. Осы сандық сипаттамаларды білу нәтижесінде көптеген ықтималдықтар есептерін шешу жеңілденеді. Әрине, мұндай сандық сипаттамалар көп-ақ. Біз солардың ішінен математикалық күтім ұғымын қарастырамыз.

 Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз, оны деп белгілейміз, сонда

Қарапайым тілмен айтқанда, бұл сынақтардың көп рет қайталауында орташа күтілім мәні.

дискретті кездейсоқ шамасының – ойын сүйегінде түскен ұпайлар саны математикалық күтімін есептейік:

.

Алынған нәтиженің ықтималдық мәні неде? Егер ойын сүйегін көп рет лақтырсақ, онда түскен ұпайлардың орташа мәні 3,5 – ке жақындайды, сынақтарды неғұрлым көбірек жүргізгенде соғұрлым осы мәнге жақындайды.

Теорема. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі оның барлық мәндерінің жуықтап алғандағы оның арифметикалық ортасына тең (сынақтарды неғұрлым көбірек жүргізу барысында).

 Математикалық күтімнің қасиеттері

 1⁰-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық күтімі сол тұрақтыға тең, яғни .

 2⁰-қасиет. Тұрақтыны математикалық күтім таңбасының сыртына шығаруға болады, яғни .

Анықтама. Егер кездейсоқ шамалардың әрқайсысының үлестіру заңы екінші шама қандай мүмкін мән қабылдағанынан тәуелсіз болса, онда кездейсоқ шамалар тәуелсіз деп аталады.

Егер бірнеше кездейсоқ шамалардың әрқайсысының үлестіру заңы қалған шамалар қандай мүмкін мән қабылдағанынан тәуелсіз болса, онда кездейсоқ шамалар тәуелсіз деп аталады.

 3⁰-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең, яғни .

 1-салдар. .

 2-салдар. Екі кездейсоқ шама айырымының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің айырымына тең, яғни .

 3-салдар. Кездейсоқ шама мен тұрақтыны шама қосындысының (айырмасының) математикалық күтімі сол кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, яғни .

 4-салдар. сызықтық функциясының математикалық күтімі аргументтен алынған математикалық күтімнің сызықтық функциясына тең, яғни .

 4⁰-қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең, яғни .

Математикалық күтімді есептеу алгоритмі .

Олардың барлық мәндерін натурал сандармен нөмірлеуге болады; олардың әрқайсысына нольден өзге ықтималдықтарды сәйкес қойылады.

• Жұптар көбейтіледі:   .
• әрбір жұбы көбейтіндісі қосылады  Мысалы :  үшін .

Мысал. Егер және кездесоқ шамаларының математикалық күтімдері белгілі болса, яғни =3 болса, онда кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңыз.

3 және 2 қасиеттерін қолдана отыра, аламыз.

 Қандай да тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан шыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математикалық күтім мәнінің ролі зор екенін көрдік.

 V. Жаңа материалды бекіту

Есептерді шешу.

№1. Ақша лотереясында мыналар ойналды: билеттерінің жалпы саны 10000 болғанда 100000 теңгеге 1 ұтыс, 10000 теңгеге 10 ұтыс, 1000 теңгеге 100 ұтыс. Ұтудың математикалық күтімін табыңыз.

Шешуі.

Бір лотерея билетінің иесінің кездейсоқ ұтысының үлестіру заңын табайық.

Мұнда үшін мүмкін мәндер:

.

Олардың сәйкес ықтималдықтары:

.

Сондықтан, кездейсоқ ұтысының үлестіру заңы мына кестемен беріледі:

кездейсоқ ұтысының математикалық күтімін табайық. Алынған кестені қолдана отыра, мынаны аламыз:

(теңге).

теңге бір лотерея билетінің әділетті құны болатыны айқын.

№2.

үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңыз.

№3. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Оның математикалық күтімін табыңыз.

Шешуі. Жоғарыда келтірілген формула бойынша есептейміз.

Сонымен математикалық күтім 0,5-ке тең.

№4. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімін табыңыз.

Шешуі. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз.

M(X) =  = = 4×0,1 + 1×0,16 + 0×0,3 + 2×0,25 + 6×0,15 + 10×0,04 = = 0,4 + 0,16 + 0 + 0,5 + 0,9 + 0,4 = 2,36

Сонымен   M(X) = 2,36.

Жауабы: M(X) = 2,36.

№5. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Оның сандық сипаттамасын табыңыздар.   

Шешуі:

 ,

кездейсоқ шамасы жайлы немесе оның математикалық күтімі 6,4 м деп айтады.

№6. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі табыңыз.

Шешуі.

Математикалық күтімді мына формуламен табамыз:

.

Топтық жұмыс.

1-ші тапсырма.

Автомашинаның қозғалыс жолында 4 бағдаршам тұр, олардың әрқайсысы автомашинаның әрі қарайғы қозғалысына 0,5 ықтималдығымен тыйым салады. Машинаның бірінші аялдамаға дейін өткен бағдаршамдар санының үлестіру қатарын табыңыз. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтімі неге тең?

Шешуі. X – автомобильдің бірінші аялдамаға дейін өткен бағдаршамдар санына тең кездейсоқ шама болсын, ол 0, 1, 2, 3, 4 мәндерін қабылдай алады. Егер автомобиль бірінші бағдаршамда тыйым салатын сигналға тап болса, онда X кездейсоқ шамасы 0-ге тең мән қабылдайды, осы оқиғаның ықтималдығы P(X = 0) = 0,5 .

Егер автомобиль бірінші бағдаршамды өтіп, екінші бағдаршамда тыйым салатын сигналға тап болса, онда X кездейсоқ шамасы 1-ге тең мән қабылдайды, осы оқиғаның ықтималдығы P(X =1) = 0,5×0,5 = 0,25 .

Егер автомобиль бірінші және екінші бағдаршамдарды өтіп, үшінші бағдаршамда тыйым салатын сигналға тап болса, онда X кездейсоқ шамасы 2-ге тең мән қабылдайды, осы оқиғаның ықтималдығы P(X = 2) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125.

Егер автомобиль бірінші, екінші және үшінші бағдаршамдарды өтіп, төртінші бағдаршамда тыйым салатын сигналға тап болса, онда X кездейсоқ шамасы 3-ке тең мән қабылдайды, осы оқиғаның ықтималдығы

P(X = 3) = 0,5×0,5×0,5×0,5 = = 0,0625 .

Егер автомобиль барлық 4 бағдаршамдардан өтсе, онда осы оқиғаның ықтималдығы P(X = 4) = 0,0625.

Cонымен, X кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына түрде беріледі:

Есептеулер дұрыс жүргізілді, өйткені

Математикалық күтім:

.

.

2-ші тапсырма.

Аңшы жабайы құсқа бірінші рет тигізгенше дейін оқ атады, бірақ төрт ретке дейін атып үлгере алады. Егер бір атуда нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7-ге тең болса, онда нысанаға тигізе алмау санының үлестіру заңын құрастырыңыздар. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтімі табыңыздар.

Шешуі. (нысанаға тигізе алмаулар саны) дискреттік кездейсоқ шамасын енгізейік. мәндерін қабылдай алады. Сәйкес ықтималдықтарды табайық.

Егер аңшы құсқа бірінші рет атқанда тигізсе, онда , сондықтан . Егер аңшы құсқа бірінші рет атқанда тигізе алмай, ал екінші рет атқанда тигізсе, онда, сондықтан

. Егер аңшы құсқа бірінші рет атқанда да және екінші рет атқанда да тигізе алмай, ал үшінші рет атқанда тигізсе, онда, сондықтан,

Егер аңшы құсқа бірінші рет, екінші рет, үшінші рет және төртінші рет атқанда да тигізе алмаса, онда .

-тің үлестіру заңы:

кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табайық.

Математикалық күтім:

.

Өздік жұмыс

№7. Дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі табыңыз.

Шешуі.

Математикалық күтімді мына формуламен табамыз:

M математикалық күтімі: 

№8. Ойын сүйегінде түскен ұпайлардың үлестіру заңы келесі түрде берілген:

- ойын сүйегінде түскен ұпайлардың саны кездейсоқ шамасын есептеңіз.

Шешуі.

   ұпай.

Алынған нәтиженің ықтималдық мағынасы неде? Егер ойын сүйегін неғұрлым көбірек лақтырса, онда түскен ұпайлардың орташа мәні 3,5-ке соғұрлым жақынырақ болады.

№9.

дискретті кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына кестемен берілген:

Егер болса, онда -ті табыңыз. Тексеруді жүзеге асырыңыз.

Шешуі. Математикалық күтімнің анықтамасы бойынша:

.

.бөліктердің орындарын ауыстырайық та, ықшамдайық:

,

сонымен:

.Тексерейік:

, тексеру нәтижесі жауаптың дұрыстығын көрсетті. .

Жауабы:. 

№10. Үлестіру заңын біле отыра кездейсоқ шамасының математикалық күтімі табыңыз.

Шешуі: Ізделінді математикалық күтім оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысына тең: .

кездейсоқ шамасының үлестіру заңы былай жазылады:

Онда .

№11. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар келесі үлестіру заңдарымен берілген:

кездейсоқ шамаларының математикалық күтімін табыңыздар.

Шешуі: Берілген әрбір шаманың математикалық күтімін табайық:

;𝑀(𝑌)=7;

.

№12. Келесі үлестіру заңымен берілген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңыз:

Шешуі: М(X) математикалық күтімін табайық: M(X)=2•0.1+3•0.6+5•0.3=3.5

X² кездейсоқ шамасының үлестіру заңы былай жазылады:

M(X²) математикалық күтімін табайық: M(X²)=4•0.1+9•0.6+25•0.3=13.5

Үй тапсырмасы.

Рефлексия:

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау оқушылардың

Материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақт саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткенекі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?