Қолданбалы есептерді шығару үшін квадраттық функцияны қолдану. Алгебра, 8 сынып, қосымша материал.

• топ

Тас жоғарыға тігінен лақтырылған. Тас жерге түскенге дейін оның жерден биіктігі

h = -5t² + 12t формуласымен беріледі, мұнда h – метрмен берілген биіктік, t – лақтырылғаннан кейін өткен секундпен берілген уақыты.

а) Қанша секундтан соң тас жерден 4 м биіктікте болады?

б) а) сұрағының жауабын пайдаланып тас қанша скундтан соң ең үлкен биіктікке жететінін анықтауға бола ма?

в) Осы есепке сұрақ құрастырып, оның жауабын беріңіз.

 Шешуі.

 а) Теңдеу құрастырамыз: -5t² + 12t = 4. Теңдеудің түбірлері – 0,4 және 2.

  0,4 және 2 секундтан соң тас жерден 4 м биіктікте болады .

2- топ

Физика курсынан білетініміздей тігінен жоғары лақтырылған заттың t уақытта жеткен h биіктігі формуласымен беріледі, мұндағы - заттың алғашқы биіктігі, - заттың лақтырылғандағы биіктігі, g – еркін түсу үдеуі, .

Допты 3 м биіктіктен 9м/с бастапқы жылдамдықпен тігінен жоғары лақтырды. Доп ең үлкен қандай биіктікке жетті және жерге қашан құлады?

 Шешуі.

 Формулаға және мәндерін қойсақ, шығады. Парабола төбесінде ең үлкен биіктікке жетеді, яғни

 (м).

 Доптың қай уақытта жерге түскенін анықтау үшін h=0 болғандағы t мәнін табу керек, теңдеуін шешеміз.

  ; ; .

 Доп жерге 2,1 с өткен соң түсті.

  функциясының графигі суретте көрсетілген.

3- топ

Санақ басталғаннан бастап табиғат қорығындағы бұғылардың саны N келесі формула бойынша модельденген

• Алғашқы 10 жылдың ішінде бұғылар саны қаншаға өскенін анықтаңыз.

Бастапқы санын табамыз:

10 жылдағы саны

80-50=30 ға өскен.

• Санақ басталғаннан бастап қанша жылдан кейін бұғылардың саны ең көп болған және қанша болған?

Берліген параболаның төбесінің абсциссасын анықтаймыз: t = 20 жыл, осыны функцияның аргументіне қоямыз, бұғы

• Қанша жылдан кейін қорықтағы бұғылар популяциясы жойылған?

t = 50 жыл.

Үйге тапсырма

Биіктігі 5 м және ені 4 м болған жүк көлігі суреттегідей парабола тәрізді туннельден өтуі тиіс. Өлшеу бірлігі-метрмен.

а) Туннельдің пішінін бейнелейтін квадраттық функцияны табыңыз.

б) Жүк көлігі туннельден өте ала ма?

Шешуі:

а)

(0; 8) нүктесі графикте жатады, онда

 ,

 .

б) , жүк көлігі көпірдің астынан өте алмайды.

Қосымша тапсырма

• Тас тігінен жоғарыға лақтырылған. Тас жерге түскенге дейін оның биіктігі h(t) = – 5t² + 39t заңдылығымен сипатталады, мұндағы h-биіктік, t- лақтырылғаннан бастап санағандағы секундпен берілген уақыт. Тас неше секунд 28 метрден кем емес биіктікте болды?

Шешуі:

Теңдеу құрастырамыз: – 5t² + 39t = 28,

Осы теңсіздікті шешеміз:

5t² + 39t – 28 = 0, t₁ = 0,8, t₂ = 7.

28 метрден кем емес биіктіктегі уақыты 7 – 0,8 = 6,2 секунд

Жауабы: Тас 6,2 секунд 28 метрден кем емес биіктікте болды.

• Көпірді тіреу үшін парабола пішінді метал конструкция жасау керек. Ол (-50, 0), (0, 30), (50, 0) нүктелері арқылы өту керек. Көпір арқылы пайда болған параболаның формуласын жаз.

 .

 Шешуі.

  болсын. (-50, 0), (0, 30) и (50, 0) нүктелері осы функция графигінде жататындықтан, осы нүктенің координаталары парабола теңдеуін қанағаттандырады:

 ;

 ;

 .

 Бұдан, ; , парабола теңдеуінің түрі .

 Жауабы: .

• Футболист допты тігінен жоғарыға тепті. t секунд ұшқаннан кейінгі доптың (h) биіктігі , мұндағы g ≈ 10 (м/с²) формуласымен беріледі. Неше секундтан кейін доп жерге құлайды?

 Шешуі.

 t = 0, t = 3.

 Жауабы: 3 с кейін

• Өзен көгалмен қисық жасай отырып ағады (ұзындығының бірлігі – 1 км). Түзу сызықты тас жолы ОХ осі бойымен өтеді және өзенді екі рет қиып өтеді. Өзен бойына салынған көпірдің арақашықтығын табыңыз.

 Шешуі.

 Функция нөлдерін табайық:

 Шыққан нәтиже өзен мен тас жолының қиылысу нүктелері (0; 0) және (5; 0) екенін білдіреді, яғни ізделінді арақашықтық 5 км.

 Жауабы: 5 км.