Мәтіндік есептерді квадрат теңдеу көмегімен шығару. Алгебра, 8 сынып, қосымша материал. 2 сабақ.

 «Мәтіндік есептер шығару» тақырыбына арналған №2 сабаққа әдістемелік нұсқаулық.

 Оқу мақсаты:

8.5.2.1

 Квадрат теңдеулер көмегімен мәтіндік есептер шығару.

Сабақ мақсаттары: сабақ мәтіндік есептің математикалық моделін құруға және оларды квадрат теңдеудің көмегімен шешуге арналған.

Сабақ түрі: Практикум сабақ.

 Негізгі терминдердің анықтамасы: Математикалық модельдеу шартты түрде келесі кезеңдерден құралады:

 І кезең – нақты жағдайды немесе ол жағдайдың сипатымен танысу және оқып қарастыру.Оқуда бұл мәтіндік есептің шартын оқып, түсіну.

 ІІ кезең – есептің мазмұнын математикалық терминдер тіліне ауыстыру, яғни математикалық модель құру. Бұл кезеңде теңдеулер, теңдеулер жүйесі немесе теңсіздіктер, басқа абстрактылы математикалық объектілер пайда болады.

 ІІІ кезең – математикалық модельдің ішінде есепті шешу, яғни құрастырылған теңдеуді, теңдеулер жүйесін, теңсіздіктерді немесе т.б. шешу.

 ІV кезең – интерпретация кезеңі, яғни алынған нәтижелерді нақты қарастырып отырған объектіге ауыстыру.Бұл кезде алынған нәтижелерді есеп шартымен салыстырып, бөгде түбірлерін (есеп шартын қанағаттандырмайтын) алып тастайды.

Сабақ кезеңдері:

Сабақтың басында мұғалім сабақтың тақырыбын жариялайды және оқушылармен бірге сабақтың мақсаттарын, оқушылардың «жақын даму аймағы», бағалау критерийлерін анықтайды, сонымен қатар оқушыларды сабақ кезеңдерімен таныстырады.

 Білімдерін белсендендіру кезеңінде мәтіндік есептердің ең қарапайым математикалық модельдерін құрастыру дағдыларын дамытуға бағытталған «Көпір» қосалқы жаттығуы жүргізіледі. Оқушылар мұғаліммен бірге презентация слайдтарында ұсынылған жаттығуларды орындайды, кестелерді толтырады. Оқушылар шешімдер мен жауаптарды талқылайды, баламалы шешімдер ұсынады және жаттығу алгоритмдері туралы сұрақ қояды. Жұмыстың бұл түрі оқушыларға мәтіндік есептердің математикалық моделін одан әрі дамытуға көмектеседі.

Ары қарай оқушыларға практикум орындау ұсынылады. Оқушылар квадраттық теңдеулерді пайдалана отырып, типтік есептерді шешеді. Жұмыстың бұл түрі қарапайым тапсырмаларды шешу дағдылары мен қабілеттерін қалыптастыруға көмектеседі. Жұппен жұмыс істеу. Сынып дайындығы жоғары оқушы мен дайындығы аз оқушы бірге жұмыс істейтін етіп жұпқа бөлінеді. Әрбір оқушы дәптерге есептерді өз бетінше шешеді. Содан кейін оқушылар жұптарда дәптерлерімен алмасып өзара бағалау жүргізеді (мұғалім берген жауаптар бойынша). Оқушылар шешімдер мен жауаптарды талқылайды, қателіктер түзетеді, балама шешімдерді ұсынуы мүмкін, проблемалар туралы сұрақтар қоюы мүмкін. Мұғалім ескертеді, түсіндіреді, қажет болса, шешімдер мен жауаптарды түзейді, оқушыларға кері байланыс береді.

 Қабілеті жоғары оқушыларға деңгейлік тапсырмалар ұсынылады. Оқушылар өздері есеп шартын пайдаланып, белгісіз элементтерді анықтайды.

Қабілеті төмен оқушыларға консультация түрінде көмек көрсетіліп отырылады.

Сабақта ауызша және жазбаша жұмыс түрлері сәйкестендіріп отырылады. Өзін өзі тексеру мақсатында барлық тапсырмалардың жауаптары ұсынылады. Оқушылардың іс әрекеттерінің нәтижесі ретінде есептерді шешу біліктілігі болып табылады.

 Жауаптар мен шешімдер.

Қосымша №1. Есептер шығару практикумы.

1. Тік бұрышты үшбұрышта катеттердің біреуі екіншісінен , ал гипотенуза кіші катеттен артық. Үшбұрыш қабырғаларын табыңыз.

Шешуі: Айталық х см – кіші катеттің ұзындығы, онда

х² + (х + 7)² = (х + 8)².

Алынған теңдеуді шешеміз х² – 2х – 15 = 0,

х = - 3 - есеп шартын қанағаттандырмайды.

х = 5 (см) - кіші катет. Онда 5 + 7 = 12(см) – үлкен катет,

5 + 8 = 13(см) – гипотенуза.

Жауабы: , және .

2. Көбейтіндісі 210 ға тең тізбектес екі натурал санды табыңыз.

Теңдеу: х(х+1)=210

Жауабы: 14 и 15.

3. Бірнеше дос шахматтан турнир өткізгілері келді. Олардың біреуінің санауы бойынша, егер әрқайсысы бір бірімен бір партиядан ойнаса, онда барлығы 36 партия ойналады екен. Ойынға неше дос қатыспақ?

Шешуі:Айталық х турнирге қатысқан достар саны, онда әр дос (х – 1) партия ойнайды, бірақ бұл жағдайда әр жұптың ойыны екі рет болатындығы ескерілген, сондықтан барлығы

 0,5х(х – 1) партия, шарт бойынша 36. Теңдеу құрамыз және шешеміз:0,5х(х– 1) = 36,х(х – 1) = 72,х² – х – 72 = 0,D = 1 + 288 = 289,х = ,х₁ = 9,х₂ = – 8 – есеп шартын қанағаттандырмайды.

Турнирге 9 дос қатысқан.

Жауабы: 9 дос.

4. Тіктөртбұрыштың периметрі 46 см, ал диагоналі – 17 см. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

Жауабы: 8 см және 15 см.

5. Біреуі екіншісінен 5 ке артық сандардың көбейтіндісі 104 ке тең. Осы сандарды табыңыз.

Решение. Пусть х – меньшее из данных чисел, тогда (х + 5) – большее из данных чисел. По условию задачи х · (х + 5) = 104. Решим полученное уравнение х² + 5х – 104 = 0,D = 441, х = - 13 - не удовлетворяет условию задачи (натуральные числа); х = 8 - меньшее число. Тогда 8 + 5 = 13 - большее число.

Жауабы: 8 және 13.

Сабақтың келесі кезеңі - қолданбалы міндеттерді шешу.

   Квадрат теңдеулерді қолдану арқылы қолданбалы есептерді шешу сабақтың маңызды сәттерінің бірі болып табылады. Қолданбалы есептерді шешу функционалдық сауаттылықты дамытуға, оқушылардың сыни ойлауына ықпал етеді және математиканы оқуға ынталандырады. Оқушылар дәптерлеріне қолданбалы тапсырмаларды орындайды.

Мұғалім шешімді ескереді, көмектеседі, түсіндіреді. Сосын, презентация слайдтарында дұрыс шешім қабылданады, оқушылар жұмыстарды бағалайды, қателіктер жібереді, шешімдер мен жауаптарды түзейді және талқылайды, тапсырмалар туралы сұрақ қояды. Мұғалім, егер қажет болса, түзетеді және бағыттайды, сыныпта әрі қарай жұмыс істеуді жоспарлауға және білім түзету бойынша жеке жұмыстарды жоспарлауға қателіктер жіберетін оқушыларды анықтайды.

Қосымша №2.

1. Теңізде екі корабль кездесті. Біреуі шығыс бағытта, екіншісі – солтүстік бағытта жүзді. Біріншісінің жылдамдығы екіншісінен 10 ға артық. 2 сағаттан кейін олардың ара ұашықтығы 100 миллға тең болды. Әр кораблдің жылдамдығын табыңыз.

Шешуі:

Айталық х – екінші корабль жылдамдығы, онда (х – 10) – бірінші корабльдің жылдамдығы, 2 сағатта олар сәйкесінше 2х және 2(х –10) миль, олар перпендикуляр бағытта қозғалғандықтан, Пифагор теоремасын қолданамыз, теңдеу құрамыз және шешеміз:

(2х)² + (2(х + 10))² = 100²4х² + 4(х² + 20х + 100) = 100002х² + 20х + 100 = 2500х² + 10х + 50 – 1250 = 0х² + 10х – 1200 = 0= 25 + 1200 = 1225х = – 5 + 35х₁ = – 40 – есеп шартын қанағаттандырмайды,х₂ = 3030 – солтүстікке бара жатқан корабль жылдамдығы, онда 30 + 10 = 40 (узлов) – шығысқа бара жатқан корабль жылдамдығы.

Жауабы: 30 және 40.

2. 40м/с вертикаль жоғары лақтырылған дененің бастапқы жылдамдығы. Неше секундтан кейін дене 60м биіктікте болады?

Шешуі:  физика курсынан белгілі, егер ауа кедергісін ескермесек, онда t(с) кейін вертикаль жоғары лақтырылған дене h(м) биіктікте болады және h=V₀ t-gt²/2 формуласымен есептелінеді, мұндағы V₀(м/с) - бастапқы жылдамдық, g – еркін түсу үдеуі жуық шамамен 10 м/с².

60=40t-5t².

Бұдан 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0.

Алынған теңдеуді шешеміз, және t₁= 2 , t₂ = 6. h тың t дан тәуелділігі, мұндағы

h= 40t-5t². Графиктен көріп отырғандай, жоғары вертикаль лақтырылған дене бастапқы 4 с уақытта 80м дейін көтеріледі, ссоысн төмен түседі. Жерден 60 м биіктікте ол екі рет болады: лақтырылғаннан кейін 2 с және 6 с кейін. Есеп шартын екі түбір де қанағаттандырады.

Сабақтың соңында мұғалім оқұшыларды қорытындылауға, қиындықтарға назар аударуды, қиындықтардың себептерін анықтауды сұрайды.

Үй тапсырмасы мәтіндік есептерді шешу дағдылары мен қабілеттерін нығайтуға бағытталған.

Әдебиеттер:

Алгебра.8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под редакцией С.А. Теляковского. – М.:Просвещение, 2013.