Қарапайым тригонометриялық теңдеулер (Алгебра, 10 сынып, I тоқсан)

Пән: Алгебра
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: Кері тригонометриялық функциялар
Сабақтың тақырыбы: Қарапайым тригонометриялық теңдеулер
Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме): 10.2.3.8 қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешеді;
Сабақтың мақсаты: Қарапайым тригономатриялық теңдеулерді шеше алады, шешімдерін дұрыс негіздей алады;

I.Ұйымдастыру кезеңі.
Оқушылармен сәлемдесу. Оқушылардың сабаққа әзірлігін тексеру.

І. «Ой қозғау
Санның арксинусын, арккосинусын, арктангенсін және арккотангенсін есептеу дағдыларын пысықтау үшін оқушыларға әртүрлі формадағы есептерді жеткілікті көлемде ұсыныңыз.

Мысалы, «true, false» тапсырмасы.(Ақиқат-жалған)

ІІ. Жаңа ұғымды ұғындыру:
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУ – белгісіз аргументтің тригонометриялық функциясына қатысты алгебралық теңдеу. Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін тригонометриялық функциялардың арасындағы әр түрлі қатынастарды пайдалана отырып, тригонометриялық теңдеулерді ізделініп отырған аргументтің тригонометриялық функциялары біреуінің мәнін анықтауға болатындай түрге келтіру керек. Осыдан кейін тригонометриялық теңдеудің түбірлері кері тригонометриялық функциялардың көмегі арқылы табылады
Анықтама: sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a түрінде берілген теңдеулерді қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп атайды.
sinx = a теңдеуі
⃓a⃓>1 болғанда sinx = a теңдеуінің шешімі болмайды

⃓a⃓≤1 болғанда sinx = a теңдеуінің жалпы шешімі: 〖x=(-1)〗^n arcsina+ πn nϵ Z
x_1=arcsina+2πn x_2=π- arcsina+2πn nϵ Z


Дербес жағдайда sinx = a теңдеуінің шешімі :
sinx = 1 x= π/2+ 2πn nϵZ

sinx = -1 x=- π/2+ 2πn nϵZ

sinx = 0 x=πn nϵZ

Мысалы: Теңдеуді шешіңіз: sinx=√2/2
x_1=arcsin √2/2+ 2π n nϵZ x_1=π/4+ 2π n nϵZ

x_2= π-arcsin √2/2+ 2πn nϵ Z x_2=π- π/4+ 2π n nϵZ

x_2=3π/4+ 2π n nϵZ

Шешімдерін біріктіріп жазатын болсақ:
x= 〖(-1)〗^k π/4+ πk kϵ Z
cosx = a теңдеуі
⃓a⃓>1 болғанда cosx = a теңдеуінің шешімі болмайды

⃓a⃓≤1 болғанда cosx = a теңдеуінің жалпы шешімі: x=±arccosa+2πn nϵ Z
x_1=arccosa+2πn x_2=- arccosa+2πn nϵ Z

Дербес жағдайда cosx = a теңдеуінің шешімі :
cosx = 1 x=2πn n ϵ Z

cosx = -1 x=π+ 2πn n ϵ Z

cosx = 0 x=π/2+ πn n ϵ Z

Мысалы
cosx= - 1/2 x=±arccos(-1/2)+2πn n∈Z
жауабы: x= ±2τ/3+2πn n∈Z

tgx = a теңдеуі
а-ның кез –келген мәнінде tgx = a теңдеуінің шешімі:
x=arctga+πn n∈Z

Дербес жағдайда tgx = 0 теңдеуінің шешімі :
x=πn n ϵ Z

ctgx = a теңдеуі
а- ның кез –келген мәнінде ctgx = a теңдеуінің шешімі:
x=arcctga+πn n∈Z

Дербес жағдайда ctgx = 0 теңдеуінің шешімі :
x=π/2+πn n ϵ Z

Мысалы:
ctgx+1=0
ctgx=-1 x=arcctg(-1)+ πn n∈Z
жауабы: x=- π/4+ πk k∈Z .....