Функцияның ойыс/дөңестігі. Алгебра, 10 сынып, презентация. 5 сабақ.

Функцияның ойыс/дөңестігі

Оқу мақсаттары:

10.3.1.18 - туындының көмегімен функция қасиеттерін зерттеу және оның графигін салу;

у = f (x) функциясы берілген

(а, b) аралықтағы

у = f (x) функциясы үздіксіз және дифференциалданады,

мұндағы f '(x) > 0

(а, b) аралықтағы

у = f (x) функциясының графигінің сұлбасын салыңыз.

а b

у

Қисықтардың қандай айырмашылығы бар?

Олардың біреуі – түзудің бөлігі кесінді болып табылады.

Екіншісі кесіндіге қарағанда жоғары орналасқан.

Үшіншісі кесіндіге қарағанда төмен орналасқан.

Төртіншісі – бір бөлігі кесіндіге қарағанда жоғары, екінші бөлігі төмен орналасқан.

а b

у

у = f (x) функциясы берілген

Математикада осы айырмашылықтарды ажырату үшін арнайы ұғымдар енгізілген:

ойыс / дөңестігі.

Функцияның

Екінші туындының

геометриялық мағынасы

Дөңес

Қисық х = а нүктесінде дөңес

деп аталады,

егер ол осы нүктенің белгілі бір маңында өзінің жанаманың

астында

орналасады.

у

а х

Ойыс

Қисық х = а нүктесінде дөңес

деп аталады,

егер ол осы нүктенің белгілі бір маңында өзінің жанаманың

үстінде

орналасады.

у

а х

Интервалдағы дөңес қисық

у

0 a b х

у

0 a b х

Интервалдағы ойыс қисық

Ойыс/дөңес болу аралықтарын қалай табуға болады?

м1

м2

м3

α1

α2

α3

у = f (х) функцииясының графигі – ойыс қисық

α1, α2, α3 бұрыштарының шамалары өседі, олардың тангенстері де өседі.

М1, М2, М3 нүктелерінде жанамалар жүргізілген.

α1 < α2 < α3 < …

м1

м2

м3

α1

α2

α3

α1 < α2 < α3 < …

α1, α2, α3 бұрыштарының тангенстері өседі.

tgα = f ′ (х) ,

сондықтан f ′ (х) функциясы өседі.

Егер функция өседі, онда оның туындысы оң мәндерді қабылдайды.

f ′ (х) функциясының туындысы – бұл туындының туындысы

(f ′(х))′ = f ′′(х) және f ′′(х) >0

Қорытныды:

Егер функцияның графигі – ойыс қисық, онда осы функцияның екінші туындысы оң мәндерді қабылдайды.

у = f (х) функцииясының графигі – ойыс қисық

М1, М2, М3 нүктелерінде жанамалар жүргізілген.

α1

tgα = f ′ (х) , сондықтан f ′ (х) функциясы кемиді.

y = f ′ (х) функциясының туындысы

(f ′(х))′ = f ′′(х) - теріс, яғни

f ′′ (х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

α1, α2, α3 бұрыштарының тангенстері кемиді.

у = f (х) функцииясының графигі – дөңес қисық

М1, М2, М3 нүктелерінде жанамалар жүргізілген.

Қорытныды:

Егер функцияның графигі – дөңес қисық, онда осы функцияның екінші туындысы теріс мәндерді қабылдайды.

Дөңестікті – ойыстыққа немесе керісінше ауыстыратын нүктелер иілу нүктелері деп аталады.

Фунцкия графигінің ойыс/дөңес болу аралықтарын табу алгоритмі:

Табыңыз:

Екінші туындыны

Екінші туынды нольге тең немесе анықталмаған нүктелерді

Осы нүктелермен шектелетін аралықтарды

Әрбір аралықтағы екінші туындының таңбасын

Егер f '‘(х) < 0, онда қисық дөңес,

егер f '‘(х) > 0 – ойыс.

Екінші туындының көмегімен функцияны зерттеу

Дөңес аралықтары:

(-3, 0) и (2, 5)

Ойыс аралықтары:

(-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞)

-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – иілу нүктелері

+ - + - + f‘‘

Функцияның графигі

у = f (х) –

ойыс қисық

Функцияның графигі

у = f (х) –

дөңес қисық

«+»

«-»

Берілген функциялардың ойыс/дөңес аралықтары мен иілу нүктелерін табыңыз.

1-нұсқа

у = х³ - 12х + 4

2-нұсқа

у = ¼ х4 – 3/2 х²

Тексеру

у = х³ - 12х + 4

х – кез келген сан

f ‘ (х) = 3х² - 12

f '‘ (х) = 6х

6х = 0

х = 0

Дөңес аралықтары:

(-∞, 0)

Ойыс аралықтары:

(0, +∞)

- + f ‘‘

0 f

х = 0 – иілу нүктесі

Тексеру

у = х4 – х²

х – кез келген сан

f ‘ (х) = х³ - 3х

f ''(х) = 3х² - 3 =

3(х – 1)(х + 1)

х = 1

х = -1

Дөңес аралықтары:

(-1, 1)

Ойыс аралықтары :

(-∞, -1) және (1, +∞)

+ - + f‘‘

-1 1 f

х = 1 және х = -1 – иілу нүктелері

Назарларыңызға рахмет!