Коши – Буняковский теңсіздігін пайдаланып, стандартты емес есептерді шешу

Қызылорда облыстық білім басқармасы

Қызылорда қалалық білім бөлімі

№187 М.Шоқай атындағы қазақ орта мектебі

Тақырыбы:Коши – Буняковский теңсіздігін

пайдаланып,стандартты емес есептерді шешу

Бағыты: Математика

Секциясы:Математика

Орындаушы:Еркінбек Абат

№187 М.Шоқай атындағы қазақ орта мектебінің 10”ә”сыныбының оқушысы

Ғылыми жетекшілері:Тұрбаев Б.Е.

 Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінің ф.-м.ғ.к.,доцент

Жетекшісі:Ділмағанбетова С.И.

№187 М.Шоқай атындағы қазақ орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі

2013 – 2014 оқу жылы

Аннотация

 Ғылыми жобаның тақырыбы «Коши – Буняковский теңсіздгін стандартты емес есептерде қолдану». Абаттың осы тақырыпты алғандағы мақсаты жоғарғы математикада қарастыратын белгілі теңсіздіктерді мектеп математикасындағы кейбір теңдеулерді шешу үшін қолдануға болатынын көрсету. Математикадан бұл тақырыпты таңдап алуына өзінің математика пәні саласындағы жетістіктері әсер етті. Абат теңдеулердің кейбір түрлерін Коши, Коши-Буняковский теңсіздіктерді қолдану арқылы есептер шығара білді. Алға қойған мақсатына жету үшін көп еңбектенді.

Оқушының математикаға қызығушылығы артып, білімі одан әрі тереңдей түсті. Менің ойымша, Еркінбек Абат зерттеу жұмысы маңызды және оның жұмысы математиканы оқып үйренуде басқа оқушыларға да көмегін тигізеді. Абат алдағы уақытта математика әлемінде үлкен табыстарға жетеді деп ойлаймын.

Аннотация

Научный проект по теме: «Применение решений нестандартных задач неравенство Коши - Буняковского». Цель научного проекта который работает Абат рассматривалиспользивание определенных неравенства в высшей математике в рамках школьный программы.Выбору этой темы способствовало его познание и широкий кругозор в мире математики.Абат смог использовать некоторые виды неравенства Коши,Коши – Буняковского при решений задач.Чтобы достичь поставенную цель ,он много работал.Интерес к математике помог ему углубить свои знания с науке.

По – моему мнению Еркинбек Абат благодаря плодотворный исследовательской работе проявил не только интерес к математике,но и смог оказать помочь другим ученикам.В будущем Абат внесёт большой вклад в развитие научный математики.

Аnnotation

The theme of this scietificproject is “The Using of non - standart problems solving the Koshy – Bunyakovsky ‘ s ineguality.”

The purpose of the scientific project that works of Abat considered the using of certain inequalities in higher mathematics in the school curticulum.The choice of the topic contributed to his knowledge and broad visijn of the world of mathematics.Abat was able to use some of the koshy - Bunyakovsky’s inequality in the problem solving.To achieve this goal,itworked,interest in mathematics helped him to deepen his knowledge of science.In my opinion ErkinbekAbatdueing to the Fruitful research has shown not only an interest in mathematics but was able to help other students.In the future,Abat will make a great contribution to the development of scientific mathematics.

I.Ғылыми жобаның мақсаты мен міндеттері.Стандартты емес есептерге Коши – Буняковский әдісін қолдану тіпті тиімді.Әсіресе қазіргі жаңа технология заманында бұл әдісті жетік болу қажет деп есептеймін.

Көбінесе мұндай есептер Коши теңсіздігін, Бернулли теңсіздігін, Коши-Буняковский теңсіздігінжаңа әдістерді пайдалану арқылы шығарылады.Коши теңсіздігі, Коши –Буняковский теңсіздігі – нақты не комплекс сандардың шекті қосындыларына арналған теңсіздік. Егер және қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда ak және bk шексіз тізбектері үшін де Коши теңсіздігі дұрыс болып есептеледі.

Векторлар геометрияда,алгебраның кейбір есептерін шешуде:теңдеу шешу,теңдеулер жүйесін шешу,теңсіздіктерді дәлелдеу,функцияның экстремумдарын іздеу,сонымен қатар геометриялық теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы мүмкін.

Жұмыста бұл тәсілмен шешудің дәстүрлі тәсілдерге қарағанда тиімді және шешу ұзақтығының қысқа болатынын көрсетеміз.

Ол үшін біз Коши-Буняковский теңсіздігі және оның салдарын қолданамыз.Коши –Буняковский векторлық теңсіздігін қолдану есепті тез шешуге жағдай жасайды және ол арқылы шешудің жаңа әдістерін табамыз.

II.Құрылымы.«Коши – Буняковский теңсіздігін пайдаланып,стандартты емес есептерді шешу»атты жоба 3 бөлімнен тұрады.

I.Кіріспе бөлімі.Тақырыптың өзектілігі мен зерттелуі жайлы баяндалады.

II.Негізгі бөлім.

II.1. Стандарт емес есептер. Коши теңсіздігі

II.2. Коши теңсіздігін қолдану

II.3.Коши-Буняковский әдісін қолдану

II.4.Коши – Буняковский теңсіздігі

II.5. Коши – Буняковский теңсіздігін қолдану әдісі

II.6. Векторлық кеңістіктегі кейбір қолданыстар

II.8. Теңдеу және теңдеулер жүйесін шешу

II.9. Теңсіздікті дәлелдеу

II.10. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін анықтау

II.11. Геометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу

III.Қорытынды.Жалпы ғылыми жоба тақырыбына қорытынды және ұсыныс жасалған.

IV.Пайдаланылған әдебиеттер.

Мазмұны

Кіріспе .......... ..............................................................................................7

1. Стандарт емес есептер. Коши теңсіздігі ……………………….................8

1.2. Коши теңсіздігін қолдану...................................................................9

1.3.Коши-Буняковский әдісін қолдану............................................................10

1.4.Коши – Буняковский теңсіздігі.................................................................11

1.5. Коши – Буняковский теңсіздігін қолдану әдісі....................................15

1.6. Векторлық кеңістіктегі кейбір қолданыстар.........................................20

1.8. Теңдеу және теңдеулер жүйесін шешу.................................................21

1.9. Теңсіздікті дәлелдеу..................................................................................22

1.10. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін анықтау..................23

1.11. Геометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу ...........................................24

Қорытынды .................................................................................................26

Пайдаланылған әдебиеттер .........................................................................27

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі.Елбасы Қазақтың Ұлттық әл-Фараби атындағы университетінің профессорлары мен оқытушылары және студенттеріне арнап оқыған дәрісінде «Біздің ендігі міндет – қазақстандықтардың, бірінші кезекте жастардың біліділікке, интеллектіге, Отан мен халыққа қызмет етуге деген көзқарастарын өзгертуге орта білім белсенді, білімді және табыстарға бағдарланған тұлғаларды тәрбиелеуге жауап береді. Оқушылар «ешқашан бастауды тоқтатпа, ешқашан тоқтатуды бастама» деген ақиқаттан адаспаулары тиіс»

Осы тұрғыда математика пәні жан-жақты дамыған, білімді және тәрбиелі жас жеткіншектер дайындауда жалпы білім беретін мектептер алдында тұрған жалпы міндеттерді орындауға үлкен үлес қосуға міндетті.

Біздің мақсатымыз жоғарғы математикада қарастыратын белгілі теңсіздіктерді мектеп математикасындағы кейбір теңдеулерді шешу үшін қолдануға болатынын көрсету.

Тақырыптың зерттелуі.Коши теңсіздігі, Коши –Буняковский  теңсіздігі – нақты не комплекс сандардың шекті қосындыларына арналған теңсіздік. Мұны француз математигі О.Коши (1789 – 1857) дәлелдеген (1821). Егер және қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда ak және bk шексіз тізбектері үшін де Коши теңсіздігі дұрыс болып есептеледі. Коши теңсіздігінің интегралдық түрін орыс математигі В.Я. Буняковский (1804 – 1889) көрсеткен (1859), ал оны неміс математигі Л.Гельдер  (1859 – 1937) жалпылап берді

Векторлар геометрияда,алгебраның кейбір есептерін шешуде:теңдеу шешу,теңдеулер жүйесін шешу,теңсіздіктерді дәлелдеу,функцияның экстремумдарын іздеу,сонымен қатар геометриялық теңсіздіктерді дәлелдеуде қолданылуы мүмкін.

Жұмыста бұл тәсілмен шешудің дәстүрлі тәсілдерге қарағанда тиімді және шешу ұзақтығының қысқа болатынын көрсетеміз.

Ол үшін біз Коши-Буняковский теңсіздігі және оның салдарын қолданамыз.

Жалпы орта білім беретін мектеп математикасының курсына енбейтін материалдар бойынша құрылған есептер стандарт емес есептер деп аталады. Көбінесе мұндай есептер Коши теңсіздігін, Бернулли теңсіздігін, Коши-Буняковский теңсіздігін, күрделі есептерге Ньютон биномын қолдану, куб теңдеулер үшін Виет теоремасын, санның бөліктерін, комплекс сандарға амалдар қолдануды, логиканы т.б. жаңа әдістерді пайдалану арқылы шығарылады.

Стандарт емес есептер. Коши теңсіздігі

Стандарт емес есептердің анықтамасы.

Жалпы орта білім беретін мектеп математикасының курсына енбейтін материалдар бойынша құрылған есептер стандарт емес есептер деп аталады.

Көбінесе мұндай есептер Коши теңсіздігін, Бернулли теңсіздігін, Коши-Буняковский теңсіздігін, күрделі есептерге Ньютон биномын қолдану, куб теңдеулер үшін Виет теоремасын, санның бөліктерін, комплекс сандарға амалдар қолдануды, математикалық индукция әдісін, санның бүтін және бөлшек бөліктерін, комбинаторика элементтерін, математикалық орталарды салыстыруды, логиканы т.б. жаңа әдістерді пайдалану арқылы шығарылады.

ІІ. Стандарт емес есептерге мысалдар

1-мысал. Коэффициенттердің қосындысын табыңыз[14]

Шешуі: x = 1 болғанда + +…+көпмүшесінің мәні

коэффициенттерінің қосындысына тең екенін ескерсек:

= -1+1 = 0.

Жауабы: 0.

I. Кошидің ; k теңсіздігін есептер шығаруға

пайдалану [14]

II. Коши теңсіздігін пайдалануға берілген стандарт емес есептерге мысалдар

қарастыру.

Коши теңсіздігін = дәлелдеңіз. Дәлелдеуі: =

; = ;

2-мысал. Теңдеудішешіңіз(+1)() = 2;

Шешуі: Коши теңсіздігі ,бойынша: 2 екенін ескерсек,

берілгентеңсіздіктітүрлендіреаламыз:)*2 = 2. Осыдан + 1 = 1; x = 0. Жауабы: 0.

Коши теңсіздігін қолдану

теріс емес сандары үшін

теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздік Коши теңсіздігі деп аталады. Оны мына түрде жазуға болады:

Коши теңсіздігінің n=2 болғандағы дербес жағдайын қарастырайық, яғни немесе

Біз теңсіздіктерді теңдеулерді шешу үшін қолданатындықтан, бұл теңсіздіктердің қай жағдайларда теңдіктерге айналатынын білуіміз керек.

Мұны түрлендірулер арқылы анықтайық:

Бұдан болғанда болатыны шығады.

n-нің басқа мәндері үшін шарты да Коши теңсіздігін теңдікке айналдырады.

Коши-Буняковский әдісін қолдануКоши-Буняковский әдісін бірінші  сандар үшін дәлелдейміз.  және векторлары берілсін, мектеп көлемінде белгіліБұл Коши-Буняковскийдің теңсіздігі  сандары үшін орындалатын дербес жағдайы болады.Коши-Буняковскийдің теңсіздігі  сандары үшін келесі жалпы түрде жазылады:№5. Дәлелдеу керек [12] Дәлелдеуі:

Коши- Буняковский теңсіздігі

 Бұл теңсіздік арқылы көптеген теңсіздіктерді дәлелдеуде пайдалануға болады.

Мысалдар:

№1. Дәлелдеу керек а²+b²+с²≥14,егер а+2b+3с≥14

Дәлелдеуі: сандар үшін жалпы теңсіздік Коши-Буняковский теңсіздігі деп аталады.Бұл теңсіздік ≥ Бұдан

(а²+b²+с²)(1²+2²+3²)≥(а+2b+3с)²≥14²,бұдан а²+b²+с²≥14.

№2. Дәлелдеу керек ≤,бұл жерде а,б,с-кез келген үшбұрыштың қабырғалары.

Дәлелдеуі:

=.

№3. Дәлелдеу керек sinαsinβ+cosα+cosβ≤2.

Дәлелдеуі: sinαsinβ+1*cosα+1*cosβ≤

№4. Кез келген а , b ,с > 0 үшін дәлелде:

(a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥ 9(ab + bc + ac)

Дәлелдеуі: Векторлар қарастырайық:

А = (a ,, 0) , B = (b, – 1/, ) ,C = (c , – 1/, ) .

Осыдан ׀А׀ = , ׀B׀ = , ׀C׀ = екені шығады. Әрі қарай осы векторлардан құралған параллелепипедтің көлемі

ең үлкен мәнге ие болады.Бір жағынан алып қарасақ үшеуінің скаляр көбейтіндісіне тең: А*( B*C) = (a ,, 0)*

*=(a,,0)(,(b + c))=

= a + (b + c) = (a + b + c) . Солай (a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥

≥ 3(a + b + c)² = 3(a² + b² + c²) + 6(ab + bc + ac).

(a – b) ² + (b – c) ² + ( c – a) ² ≥ 0 теңсіздігінен a² + b² + c²≥ ab + bc + ac (a²+2)(b²+ 2)(c²+2) ≥ 3(ab + bc + ac) + 6(ab + bc + ac) =9(ab + bc + ac).

Мысалдар келтірейік:

1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Алдымен анықталу облысын табайық:

Теңдеудің сол жағына қарап n=3 үшін Коши теңсіздігін қолдану керектігін байқаймыз. Ал Коши теңсіздігі теріс емес сандар үшін орындалады. Теңдеудің сол жағы мен оң жағында тақ функциялар тұр. Бұдан теңдеудің түбірлері қарама-қарсы сандар екені шығады, сондықтан теңдеуде х>0 деп қарастырамыз. х>0 болғандықтан теңдеудің екі жағын х-ке көбейтейік:

Теңдеудің сол жағын бағалайық:

яғни ал шарт бойынша

Сонымен Коши теңсіздігі теңдікке айналды, ал ол немесе

болғанда орындалады.

Теңдеуге кіретін функциялардың тақтығын ескере отырып, екенін аламыз.Жауабы:

2. Теңдеуді шешу керек:

Шешуі: Теңдеудің сол жағы немесе болғанда анықталатын функция. Бұдан шығады.

болсын, Онда белгілеуге байланысты теңдеу мына түрде жазылады:

Теңдеудің сол жағындағы әрбір қосылғыш теріс емес екенін ескеріп, сол жағын бағалайық:

Берілген теңдеу

жүйесіне мәндес (шешімдері бірдей). Бұл жүйенің теңсіздігі

яғни болғанда ғана теңдікке айналады. Ендігісін символдар арқылы жеңіл жазуға болады:

Екі түбір де аралығында жатады.

Жауабы:

3. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің сол жағы екі теріс емес өрнектің қосындысы, сондықтан Коши теңсіздігін қолдануға болады.

Берілген теңдеуді ескеріп мынаны аламыз:

Соңғы теңсіздіктен теңсіздігіне жеңіл көшуге болады. Бұдан өрнегін теңдеуге қойып, мынаны аламыз.

деп белгілесек , , алдыңғы теңдеу мына түрге келеді.

Алғашқы айнымалыға : .

Онда және

Алынған х,у бүтін сандар болмайды, олай болса берілген теңдеудің бүтін шешімдері жоқ.

Жауабы: шешімі жоқ.

Енді осы пунктегі басқа есептерді шешуге қолданатынын әдісті көрсетейік. Алғашқы жағдайлардағыдай бұл әдіс те Коши теңсіздігіне негізделген. Енді ол түріндегі теңдеуді шешуге қолданылады.

Алдымен теңдеудің сол жағындағы әрбір арифметикалық түбірдің дәреже көрсеткішін ескере отырып бағаланады. Ол үшін түбірдің астындағы өрнекті саны түбірдің дәреже көрсеткіші тең көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазып алады. Содан кейін Коши теңсіздігін қолданады.

Мысалы,

Сосын шыққан бағалауларды қосып теңсіздігін алады, мұндағы

Енді тек х-тің қандай мәндерінде теңсіздігіне теңдік орындалады, соны анықтау ғана қалады. Осы әдіс қолданылатын есептерді келтірейік.

4. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Әрбір арифметикалық түбірді бағалайық:

Шыққан өрнектердің қосындысын табайық:

Берілген теңдеуді ескере отырып мына жүйені жазамыз:

Бұдан яғни

Шыққан теңсіздікте х=1 болғанда, теңдік орындалады. Олай болса, х=1 теңдеудің жалғыз шешімі.

Жауабы: х=1

5. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы әрбір арифметикалық түбірді бағалаймыз. Олар теріс емес болғандықтан

Шыққан өрнектердің қосындысын табамыз:

яғни

Екі теңдеудің оң жағын түрлендірейік:

Теңдеудің сол жағы мен оң жағының бағалауларын бірге қарастырайық:

және

Бұдан мына жүйені аламыз:

немесе

Осыдан х=3 екенін аламыз.

Енді х-тің табылған мәні белгісіздің мүмкін мәндер жиынына жата ма тексерейік:

Шартынан шығады, яғни

Жауабы х=3

Коши – Буняковский теңсіздігін қолдану әдісі

Осы параграфта кейбір теңсіздіктерді дәлелдеу үшін Коши – Буняковский теңсіздігі қолданылатын болады.

Алдымен оны сандары үшін дәлелдейік.() және () векторлары берілсін.Мектепте өтілген математикадан

= + = cos( )

екені белгілі. скалярлық көбейтіндінің модулін бағалайық:

=

Басқаша,

= = ;

Немесе

() () (4.1)

Бұл теңсіздік сандары үшін Коши – Буняковский теңсіздігінің дербес жағдайы болып табылады.

(4.1) теңдігі - = 0 болғанда және тек сонда ғана орындалатынын байқайық.Коши – Буняковский теңсіздігі деп аталатын ( 4.1) теңсіздігі сандарына жалпылануы мынадай түрде болады:

() () (4.2)

(4.2) теңсіздігін мынадай жағдайда қарастырайық:

0

Бірінші тәсіл

Мұндай жағдайда

= болсын, мұндағы k = 1,2,…

= =

Осылайша

, мұндағы k = 1,2,

Алынған теңсіздіктерді қоса отырып,

немесе

) аламыз.

Енді, сандарын кез келген нақты сан болған жағдайын қарастырайық:Бұл жағдайда

= () ()

() =

Екінші тәсіл

) - =

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал 4.1: теңсіздігін дәлелде.

Дәлелдеу: 2

Мысал: 4.2. Егер, a0 ,және болса,

теңсіздігін дәлелдейік.

Дәлелдеу:

() = + ) () + ) =

1 болғандықтан, сонда болады.

Мысал 1. Теңдеулер жүйесін шешу [14]

(1) , (2)

Шешуі: Бір қарағанда берілген жүйенің шексіз көп шешімі бар секілді көрінеді (үш айнымалы екі теңдеу) . Алайда ,мұндай ой қате болып табылады.(1) , (2) жүйесінің жалғыз шешімі бар екенін көрсетеміз:

векторларын қарастырайық.Сонда

= және = болғанда,

= 1 болады.

(3) және (4) теңдіктерді ескере отырып = аламыз.

Демек (3) негізінде ,сонымен қатар (1) ескере отырып

= аламыз.

Жауабы: ()

Мысал 2. Теңдеулер жүйесін шешу:[14]

(5), (6)

Шешуі: Бұл жүйе алдыңғы жүйеге ұқсас,бірінші қарағанда анықталмаған секілді.Алайда,алдыңғысынан айырмашылығы шешімі жоқтығында ( қояйық. Сонда = 1 , = және

= екені анық. (6) теңдеудің = шығады.

Демек, = орындалмайды.Яғни (5),(6) жүйелердің шешімі жоқ.

Мысал 3: Теңдеулер жүйесін шешу:

(1),(2),(3)

Шешуі: Берілген жүйенің ең болмағанда бір айнымалысы нөльге болатынына көз жеткізу қиын емес.. Сондықтан (1) теңдеудің екі бөлігінде бөліп,келесі жүйені аламыз.

(1,a),(2),(3)

,(x,2y,z) векторларын қарастырайық.

Сонда, = 12.(1,а) және (2),= 4 және ,=3 шығады.Осылайша,

= (4)

(4) жүйесінен ( III) негізінде

= алынады.Мұндағы, = 3 және = 3.Сонда (2) теңдеуден

+

.

Алынған мәндерінен сегіз үштік сандар құрайық.

; ;

;

Әр келтірілген үштіктен (1) және (2) теңдіктердің шешімі болып табылады.

Енді,(3) теңдіктің шешімін табу керек.Тексере отырып, тек қана екі үштік және

(3) теңдіктің қанағаттандыратын және осы жүйенің шешімі болып табылады.

(I) және (II) теңсіздіктерді дәлелдегенде қолданамыз.

Мысал 4:

(1) теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңдер.[13]

Шешуі: векторларын енгізейік.Олар үшін:

= (2)

=

=

= (3) аламыз.(2) және (3)- ден (II) негізінде (1) шығады.

Векторлық теңсіздіктердің кейбір қолданыстары

Векторлар геометрияда,алгебраның кейбір есептерін шешуде:теңдеу шешу,теңдеулер жүйесін шешу,теңсіздіктерді дәлелдеу,функцияның экстремумдарын іздеуде мүмкін.

Жұмыста бұл тәсілмен шешудің дәстүрлі тәсілдерге қарағанда тиімді және шешу ұзақтығының қысқа болатынын көрсетеміз.

Ол үшін біз Коши-Буняковский теңсіздігі және оның салдарын қолданамыз.

Ол былайша() ()

өрнектеледі.

Төмендегі қарастыратын есептерде мына түрдегі Коши – Буняковский теңсіздігі (1) (2)

қолданатын боламыз.Мұнда а) егер векторлары коллинеарлы болса (1) теңсіздік; б) егер векторлары қарама – қарсы бағытталған болса (2) теңсіздік тепе – теңдікке айналады.

n = 3 үшін Коши – Буняковский теңсіздігі мынадай түрде болады:

() () (3)

() () (4)

Бұл теңсіздікті оңай дәлелдеуге болады.

= () және = () екі векторды қарастырайық. (3)

теңсіздіктің сол жағында және векторларының скаляр көбейтіндісінің абсолю шамасы,ал оң жағында ұзындықтарының көбейтіндісі жазылған.

Векторлардың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусының көбетіндісін айтамыз; осы анықтамадан екенін ескеріп,(1) теңсіздігін аламыз.

(1) және (2) теңдікке айналған жағдайда , λ 0 теңдігі орындалады және ол сәйкесінше

болады.

Коши –Буняковский векторлық теңсіздігін қолдану есепті тез шешуге жағдай жасайды және ол арқылы шешудің жаңа әдістерін табамыз.

Енді қарастырып отырған әдісті есептер шешуде қолдануға мысалдар келтірейік.

Қорытынды

 Абитуриенттерге және жоғарғы мектеп оқушыларына математикадан стандартты емес есептерді шешу әдістері дәстүрлі емес ойлауды және ерекше талқылауларды талап етеді.Ондай әдістерді түсінбеу математикалық есептердің шешілуін азайтады.Ал осы стандартты емес есептерге Коши – Буняковский әдісін қолдану тіпті тиімді.Әсіресе қазіргі жаңа технология заманында бұл әдісті жетік болу қажет деп есептеймін.

Көбінесе мұндай есептер Коши теңсіздігін, Бернулли теңсіздігін, Коши-Буняковский теңсіздігін, күрделі есептерге Ньютон биномын қолдану, куб теңдеулер үшін Виет теоремасын, санның бөліктерін, комплекс сандарға амалдар қолдануды, математикалық индукция әдісін, санның бүтін және бөлшек бөліктерін, комбинаторика элементтерін, математикалық орталарды салыстыруды, логиканы т.б. жаңа әдістерді пайдалану арқылы шығарылады.Коши теңсіздігі, Коши –Буняковский теңсіздігі – нақты не комплекс сандардың шекті қосындыларына арналған теңсіздік. Мұны француз математигі О.Коши (1789 – 1857) дәлелдеген (1821). Егер және қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда ak және bk шексіз тізбектері үшін де Коши теңсіздігі дұрыс болып есептеледі.

Ұсыныс:10-11 сыныптарда жаратылыстану – математикалық бағыттардан сыныптар үшін С - деңгейдегі есептердегі теңсіздіктерді шешуде

Коши – Буняковский иеңсіздігін пайдалануды мектептің оқу бағдарламасына енгізсе.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Государственное издательство физико-математический литературы, 1959г., ІІ том

2. А.М.Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. – М.: Высш.шк., 1989.-383с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшя математика в упражнениях и задачах. Ч.ІІ. – М.: Выща школа, 1986

4. Еругин Н.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – Киев: Высшая школа, 1974

5. Камке Э. Справочник по обыкновенных дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971

6. Карташев А. П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1980

7. Ляшко И. И. и др. Дифференциальные уравнения. – Киев: Вища школа, 1981

8. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышейшая школа, 1970

9. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – Минск: Вышейшая школа, 1974

10. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970

11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974

12.Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері,2004жыл,Н.М.Седракян,А.М.Авоян.

13.Квант,М.,1970-1997.

14.Математика в школе,М.,1970-1996.