Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Геометрия, 9 сынып, дидактикалық материал.

Середина отрезка

На плоскости

Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: если концы отрезка – A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты его середины –

В пространстве

Есть две произвольные точки A1(x₁;y₁;z₁) и A2(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

Деление отрезка в заданном отношении

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если ,  то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) вычисляется по формуле.

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

Кесіндіні берілген қатынаста бөлу Егер М₁ (х₁, у₁) және М₂ (х₂, у₂) нүктелері берілсе, онда сол екі нүктемен анықталатын түзудің бойында жататын кез келген М(х, у) нүктесі М₁М₂ кесіндісін λ =

қатынасында бөледі . Егер М нүктесі М₁ және М₂ нүктелерінің аралығында жатса, λ > 0, өйткені М₁М мен М М₂ кесінділерінің бағыттары бірдей. Ал егер М нүктесі М₁М₂ кесіндісінің сыртында жатса, М₁М және ММ₂ кесінділерінің бағыттары қарама – қарсы, сондықтан λ< 0 болады. Бөлуші М нүктесінің координаталары берілген М₁, М₂ нүктелерінің координаталары және λ арқылы

х=, у=

формулаларымен өрнектеледі. Егер М нүктесі М₁ және М₂ нүктелерінің қақ ортасында жатса, М₁М = ММ₂, онда λ = 1 болады сондықтан:

х=, у=

болады. 

Формулы деления отрезка в данном отношении

Понятие деления отрезка в данном отношении

Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек  и, очевидное невероятное – отрезок :Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально.

Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок  делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём:

В данном примере точка  делит отрезок  ТАКИМ образом, что отрезок  в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка  делит отрезок  в отношении  («один к двум»), считая от вершины .

На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: .

Пропорцию несложно составить и в другом порядке:  – сия запись означает, что отрезок  в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так.

Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример:Здесь справедливо соотношение: . Если составить пропорцию наоборот, тогда получаем: .

После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач.

Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок  в отношении , выражаются формулами:

Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Такая вот универсальная задача.

Пример 1

Найти координаты точки , делящей отрезок  в отношении , если известны точки 

Решение: В данной задаче . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку :

Ответ: