Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Геометрия, 8 сынып, дидактикалық материал, 3 сабақ.

Қосымша1

Бағалау критерийлері:

• кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу формуласын біледі;
• бөлетін нүкте кесіндінің арасында жатқанда оның координатасын табуды біледі;
• кесіндіні берілген қатынаста бөлу ережесін есепті шығаруда қолдана алады.

Мысал 1

A(5;3), B(-3;-1) нүктелері берілген. АВ кесіндісін 1 : 3 қатынасындай қатынаста бөлетін M нүктесінің координаттарын табыңыз.

Мысал 2

К(-2; 1), L(5; -6) нүктлері берілген. Табу керек:

а) КL кесіндісін 2 : 5 қатынаста бөлетін M нүктесінің координаттарын табыңыз;

б) КL кесіндісін 4: 3 қатынаста бөлетін N нүктесінің координаттарын табыңыз;

Мысал 3

P нүктесі DH кесіндісінің арасында жатыр. DP кесіндісі НР кесіндісінен екі есе ұзын екені белгілі. D(2; 4), P болса, Н нүктесінің координаталарын табыңыз.

Қосымша 2

Тапсырма 1.

A(-2;5), B(4;17) нүктелері AB кесіндісінің ұштары. Осы кесіндінің арасында М нүктесі жатыр. М нүктесінен А нүктесіне дейінгі қашықтық М-нен В-ға дейінгі қашықтықтан екі есе артық. М нүктесінің координаттарын табыңыздар.

Тапсырма 2.

M(2;3) нүктесі AB кесіндісінің ортасы. А нүктесінің координаттарын табыңыз, егер B(7;5) болса.

Тапсырма 3.

AB кесіндісі C(4; 1) нүктесімен А нүктесінен санағанда қатынаста бөлінген. А нүктесінің координаталарын табыңыз, егер В(8; 5) болса.

Тапсырма 4. АВ кесіндісі тең үш бөлікке бөлінген. C(3; -1), D(1; 4). Ұштарының координаттарын табыңыз.

Қосымша 3

Теорема 1 (iшкі бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінде жатса (А және В нүктелерінің арасында) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталары мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен жасыл үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (1)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (2)

Сонда (1) және (2) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз:

m=n ерекше жағдай, онда: нүкте кесіндіні қаққа бөледі.

Теорема 2 (сыртық бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінің созындысында жатса (А мен В нүктелерінің арасында жатпаса) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста сырттай бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталарын мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен сары үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, мынадай қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (3)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (4)

Сонда (3) және (4) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз: