Комбинаторика формулаларын қолдану арқылы ықтималдықты есептеу. Алгебра, 11 сынып, сабақ жоспары.

«Келісілді»

ӘБ жетекшісі:

Мектеп:

Мұғалім:

Математика пәні бойынша ҚЫСҚА МЕРЗІМДІ САБАҚ ЖОСПАРЫ

Күні

Сынып 11

Бөлім 11.1А бөлім: Ықтималды модельдер

Сабақтың тақырыбы

Комбинаторика формулаларын қолдану арқылы ықтималдықты есептеу

Оқу мақсаттары

12.4.1.1 Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар, терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

11.4.1.2 алмастыруларды, терулерді және орналастыруларды қолданып

ықтималдыққа есептер шығару;

 Бағалау

 критерийлері

Оқушылар

- Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар, терулерді есептеу үшін формулаларды қолдануды білсе;

- алмастыруларды, терулерді және орналастыруларды қолданып ықтималдыққа есептер шығара алса.

 Сабақтың мақсаты

Комбинаторика формулаларын қолдану арқылы ықтималдықты есептей білу.

Жаһандық азаматтық

Жаңа материалды игеру (комбинаторика терминін енгізген ғалым), түсіндіру кезінде жүзеге асады.

 Мектеп миссиясы

Жаңа материалды бекіту (комбинаторика маңызы) кезінде жүзеге асады.

 Мектеп

 құндылықтары

Өмір бойы білім алу. Өзіне және айналасындағы адамдарға құрмет. (тапсырма 2).

Сабақта топқа бөлу кезінде жүзеге асады.

 Тілдік мақсаттар

Пәнге тән лексика және терминология:

Оқушылар:

- теру/амалдар орындау

­алмастыру

­n-нің ішінен r элементтерін таңдау

­орналастырулар

­рет

­реттеу

­алмастыру

­қайта реттеу

­ биномдық үлестірім

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

-Мүмкіндіктерін көрсету үшін болуы мүмкін, мүмкін, істей алу, ықтимал сияқты модальды етістіктерді пайдалану.

-Орындықта отырған 5 адамды қанша түрлі тәсілдер арқылы ұйымдастыра аламын?

-Сіз оларды … әр түрлі тәсілмен ұйымдастыра аласыз, өйткені … .

-Егер менде Х қана орындық болса, не болады?

 Пәнаралық байланыс

Математика-11 сынып, дене шынықтыру (Жаңа материалды бекіту) кезінде жүзеге асады.

 АКТ-ны қолдану

 дағдылары

Қолдану дағдыларын дамыту (мәлімет іздеу дағдылары)

Жүзеге асыру кезеңі жаңа материалды игеру.

 Алдыңғы білім

11 сыныпта өтілген комбинаторика, ықтималдық модельдер

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-шаралар

Алмастырулар, орналастырулар және терулерді түсіну ықтималдықтардың үлестірім мәндерін есептеу әдістемесін өңдеуге алып келеді. Статистика мен ықтималдық бірқатар ғылыми салаларда қолданылады: биология, әлеуметтану, машина жасау және т.б. Ықтималдық модельдер әртүрлі салаларда сандық мәліметтерді талдауда, нақты және ілеуметтік ғылымдардағы зерттеулерде жағдайды бағалауда кеңінен қолданылады. Сонымен қатар, ықтималдық модельдер көмегімен нақты өмірдегі әртүрлі құбылыстарды модельдеуге болады.

Оқушылармен сәлемдесіп, назарын сабаққа аудару.

12.4.1.1 Қайталанатын және қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар, терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

11.4.1.2 алмастыруларды, терулерді және орналастыруларды қолданып

ықтималдыққа есептер шығару;

1. Оқушы әрекетін ұйымдастыру: (бірлескен)

Оқушылардан олар ықтималдық жайлы не білетіні жайлы сұрау.

Оқушыларға параққа орналастырулар, орын ауыстырулар және терулер туралы бар білетіндерін жазуды ұсыну. Алынған нәтижелерді жылпы сыныппен бірге талқылау. Кестені толтыру.

Мысалы:

Оқушыларды топтарға біріктіріп, кестеде жазылған формулаларды қолдануға бірқатар есептер шығару. Мысалға:

1) Сыныпта 25 оқушы. Старостаны, староста көмекшісін және спорт ұйымдастырушысын қанша тәсілмен таңдауға болады?

2) 6 адамды 6 орындыққа қанша тәсілмен отырғызуға болады?

3) 7 жүгірушіден жарысқа қатыстыру үшін 4 адамнан тұратын команданы неше тәсілмен құруға болады?

Оқушыларға келесі тапсырмаларды ұсыну.

Мысалға:

1) 1, 2, 3 цифрларынан неше екі таңбалы сандар құрастыруға болады, егер цифрларды қайталап жазуға болатын болса.

2) «Математика» сөзіндегі әріптердің орындарын ауыстыру арқылы неше сөз алуға болады?

3) 7 тәтті тоқаштан неше жинақ құрастыруға болады, егер сатылымда тоқаштардың 4 сорты бар болса.

Есепті шығаруда оқушыларға көрнекілікті қамтамасыз ету мақсатында цифрлар, әріптер, сонымен қатар тоқаштардың аттары жазылған карточкаларды қолдауға ұсыныс жасау. Ұсынылған идеялар мен шешімдерді талқылау.

Қайталанбалы алмастырулар

«Ортақ» сөзінің әріптерінің орындарын ауыстырғанда Р₅=5!=120 "сөз" шығады. Егер «қазақ» сөзінің әріптерінің орындарын ауыстырсақ, әр түрлі «сөздер» саны азырақ болады, өйткені «қ» әріптерінің орнын ауыстырғаннан да, «а» әріптерінің орнын ауыстырғаннан да «сөздер» өзгермейді. Бұл жерде қайталанбалы алмастырулар болады.

Анықтама. (а₁, а₂, ..., а_m) әріптерінен (k₁,...k_m) құрамды а₁ k₁ рет, а₂ k₂ рет, ..., а_m k_m рет кіретін кез келген k=k₁+k₂+...+k_m ұзындықты кортежді қайталанбалы алмастырулар деп атаймыз.

Қайталанбалы орналастырулар

Тапсырма 1. Х жиынының элементтерінен құрастыруға болатын ұзындығы k кортеждер санын табыңыз, егер ол элементтер саны m, n(x)=m болса.

Шешуі. k бірдей көбейткіштерден тұратын Х∙Х∙...∙Х декарттық көбейтіндінің элементтер санын табу керек, олардың саны n(X)∙n(X)∙...∙n(X) (k көбейткіш), яғни n(X)^k=m^k тең.

Анықтама. m-элементті Х жиынының элементтерінен құрастырылған ұзындығы k кортеждерді m элементтерден k бойынша қайталанбалы орналастырулар деп атайды. Бұл кортеждер санын деп белгілейді. (А әрпі француздың arrangement – орналастыру сөзінен. Сызықша элементтерінің қайталану мүмкіндігі бар дегенді білдіреді).

Қайталанбалы терулер

Анықтама. m түрлі заттар бар болсын және олардан k элементтен тұратын жинақ құрастырылсын. Осындай екі жинақ бірдей деп есептеледі сонда және тек қана сонда, егер олар бірдей құрамға ие болса. Мұндай жинақтарды m элементтерден k бойынша қайталанбалы терулер деп атаймыз. m элементтерден k бойынша қайталанбалы терулер санын деп белгілейміз.

Әр топ оқушыларына қайталанбалы комбинациялардың санын анықтаудың сәйкес формулаларын қорытып шығуға тырысып көрулерін ұсыну.

Ұсынылған формулалар нұсқаларын талқылау. Жұмысты аяқтаған соң кестені формулалармен толықтыру.

Мысалға:

Мұғалімнің бағалауы.

Кейде әртүрлі оқиғалардың ықтималдығын анықтау үшін алмастырулар мен терулерді қолдануға болады. Кейбір жағдайларда табуда қолданылуы мүмкін. Таңдаманың өлшемі үлкен болғанда олар әсіресе пайдалы.

 Мысал 1

 Сегіз адам A, B, ..., H бір қатарға орналастырылған.

 (а) А және В бір-бірінің жанында тұру

 (б) А және В бір-бірінің жанында тұрмау ықтималдығы қандай?

 Шешімі:

 (а) Бұл есепті шешуге көмектесетін бір қу әдіс бар. А және В желімдеп жапсырылған деп елестетіңіз (АВ тәртібінде). Онда адамдарды бір қатарға орналастырудың 7! тәсілі бар. Егер А және В ны ВА тәртібінде желімдеп жапсырсақ, онда адамдарды бір қатарға орналастырудың тағы 7! тәсілі бар. Сондықтан А және В ның бір бірінің жанында тұратындай етіп 8 адамды орналастырудың 2 ∙ 7! тәсілі бар.

 Дегенмен, шектеулер жоқ болса 8 адамды бір қатарға орналастырудың 8! тәсілі бар.

 Сондықтан, қажетті ықтималдық: .

 (б) Р (А және В бір-бірінің жанында тұрмау) = 1 ― Р (А және В бір-бірінің жанында тұру), сондықтан

 Р (А және В бір-бірінің жанында тұрмау) = 1 ―

Егер сізге екі объектінің бірге болмау ықтималдығын табу керек болса, әдетте ол екі объектінің бірге болу ықтималдығын алдымен тауып алғаныңыз жақсы.

 Мысал 2

 52 картадан тұратын стандарт колодадан кездейсоқ 5 карта таңдап алынды ("қайтарусыз"). Осы 5 картаның дәл 3-уінің түсі "Червы" ("Жүрек") болу ықтималдығын табыңыз.

 Шешімі:

 Бұл мысалдың элементар оқиғалар кеңістігі өте үлкен. Ол осы 52 картадан алынған 5 картаның барлық мүмкін болған варианттар тізімінен тұрады. Бірақ сізге ондай тізімнің қажеті жоқ.

 Бұл элементар оқиғалар кеңістігіндегі барлық 5 карталық варианттардың саны ғана қажет.

 Сіз 52 объектіден 5 объектіні таңдап аласыз, сондықтан ондай таңдаулардың варианттар саны , себебі таңдау реті сізге маңызды емес.

 А оқиғасы: таңдалған 5 картаның дәл 3-уінің түсі "Червы" ("Жүрек") болу оқиғасы болсын.

3 картаның "Червы" ("Жүрек") болуының варианттар саны: .

2 картаның "Червы" ("Жүрек") болмауының варианттар саны: .

Сондықтан, таңдалған 5 картаның дәл 3-уінің түсі "Червы" ("Жүрек") болу варианттарының саны: .

 Онда, А оқиғасының ықтималдығы: P(A) = , үш мәнді цифрға дейінгі дәлдікпен.

Оқушыларды топқа біріктіру. (топтық жұмыс)

«Детективті агенттік» ойынын жүргізу.

Оқушыларға картотека ұсыну.

Мысалға

Осындай деректер базасына ие бола отырып, қанша әр түрлі бет түзілісін құрастыруға болатынын анықтауды оқушыларға ұсыну.

1. Жоғалған заттың әр түрлі 8 түрі бар. Олардың үшеуі бір ғана адамға тиісті екені нақты белгілі. Осы заттардың барлық комбинациялары нешеу?

2. Куәгерге күдіктіні тануды жүргізу керек. Күдіктіден басқа тағы да 3 адам шақыртылды. Оларды 4 орындыққа неше тәсілмен отырғызуға болады?

Әр орындалған тапсырма бес баллдық шкаламен бағаланады және арнайы кестеге толтырылады.

Оқушыларды топтарға біріктіру. Әр топқа әрбір формуланы қолдануға бір тапсырмадан құрастыруды ұсыну.

Мысалға:

1. Қайталанбалы орналастырулар.

Театрға, циркқа және концертке бір билеттен бар. Оларды төрт оқушы арасында неше тәсілмен үлестіріп беруге болады (егер әр оқушы билеттің кез келген санын ала алатын болса)?

2. Қайталанбалы орын ауыстыру.

Кезкелген он ер адам екі үшорынды және бір төрторынды бөлмелерге орналасады. Оларды орналастырудың неше тәсілі бар?

3. Қайталанбалы терулер.

Қабырғаларының ұзындықтар келесі мәндердің бірін қабылдайтын неше үшбұрыш бар: 4, 5, 6, 7 см?

Ұсынылған шешу әдістерінің нұсқаларын оқушылармен бірігіп талқылаңыз және өзара бағалау ұйымдастырыңыз.

Оқушыларға емтихан сипатындағы тапсырмаларды ұсыныңыз:

(№11 тапсырма, 2 компонент, ЖБ-2015).

(a) Келесі сөздегі əріптердің əр түрлі алмастырулар санын табыңыз:

I S O S C E L E S. [2]

(b) Үш ‘S’ əрпі бір-бірінің қасында тұратындай, ал екі ‘E’ əрпі бір-бірінің

қасында тұрмайтындай

I S O S C E L E S

сөзіндегі əріптердің əр түрлі алмастырулар санын табыңыз. [3]

(№3 тапсырма, 3 компонент, ЖБ-2018).

Даниялық композитор Карл Нильсен алты симфония жəне үш концерт жазды.

Осы тоғыз жұмыстың үшеуі музыкалық фестиваль үшін таңдалып алынады.

(a) Үш жұмысты таңдаудың əр түрлі мүмкін болатын тəсілдерінің санын

табыңыз.[2]

(b) Екі симфония жəне бір концерттен тұратындай етіп, үш жұмысты

таңдаудың əр түрлі мүмкін болатын тəсілдерінің санын табыңыз. [2]

(c) Құрамында кем дегенде бір симфония болатындай етіп, үш жұмысты

таңдаудың əр түрлі мүмкін болатын тəсілдерінің санын табыңыз. [2]

 Мысал 3

 6 ерлі-зайыптылардан тұратын 12 адамды суретке түсіру үшін бір қатарға кездейсоқ орналастырылған. Әр әйелдің өзінің күйеуінің жанында болу ықтималдығын табыңыз.

 Шешімі:

12 адамның барлық алмастырулар саны 12!. Егер әрбір ерлі-зайыпты бірге болуы керек болса, онда сіз әрбір жұпты бір бірлік ретінде қарастыра аласыз.

Осылайша, осындай 6 бірлік бар. Бұл бірліктердің алмастырулар саны 6!.

Бірақ бірінші жұп H₁W₁ - 2! түрлі жолмен қатарда тұруы мүмкін: H₁W₁ немесе W₁H₁. Бұл 2, 3, 4, 5 және 6 шы жұптарға да бірдей тиісті.

Сондықтан әр жұп бір-бірінің жанында тұратын варианттар саны 6! ∙ (2!)⁶. Демек:

Р(әр жұп бір-бірінің жанында тұр) = , үш мәнді цифрға дейінгі дәлдікпен.

Жеке жұмыс

 Мысал 5

5 адамнан тұратын комиссия 8 ер бала мен 6 қыздан кездейсоқ таңдап алынды. Осы комиссияда кем дегенде 3 ер бала болатынының ықтималдығын табыңыз.

Бағалау критерийлері ұсынылады.

Оқушылар бағалау критерийлері бойынша өздерінің жұмыстарын бағалайды.

3.ҚБ (өзара бағалау,өзін-өзі бағалау) мұғалімнің критерий бойынша бағалауы

Оқушылардың рефлексиясы, кері байланыс.

Оқушылар үшін рефлексия сұрақтары:

Не білдім?

Неге үйрендім?

Не түсініксіз болды?

Нені жақсартуым керек?

 Мысал 4

 Сөреде математика бойынша үш кітап, химия бойынша үш кітап және физика бойынша екі кітап бар. Барлық математика бойынша кітаптар бір-бірінің жанында тұру ықтималдығы қандай?

Оқушыларға емтихан сипатындағы тапсырманы ұсыну:

(№10 тапсырма, 2 компонент, ЖБ-2016).

(a)

1 2 2 3 3 4 5

цифрларын пайдаланып, қанша əртүрлі жеті таңбалы сан құруға болатынын табыңыз. [2]

(b)

1 2 2 3 3 4 5

цифрларын пайдаланып, қанша əртүрлі жеті таңбалы жұп сан құруға болатынын табыңыз. [2]

(c) Қайталамалы таңдау əдісімен (b) бөліміндегі жеті таңбалы сандардың екеуі

кездейсоқ алынды. Алынған сандардың екеуі де 4-ке еселі болуының

ықтималдығын табыңыз. [4]

Сабақ бойынша рефлексия

Сабаққа рефлексия жасау кезінде берілген сұрақтарға жауап беруге тырысыңыз.

Сұрақтың құрылымын жабасаңыз болады.

• Оқушылардың барлығы оқу мақсатына жетті ме? Жетпесе, неліктен?
• Қолданылған дифференциация сабақтың мақсатына жетуге қалай ықпал етті?
• Сабақ кезеңдері уақытқа сай жүзеге асты ма?
• Сабақ жоспарында қандай ауытқулар болды? Неліктен?
• Сабақты жақсартуда не ықпал етер еді (оқыту мен оқу туралы ойланыңыз)?