Айналу денесінің көлемі. Алгебра, 11 сынып, презентация.

Айналу денесінің көлемі

Оқыту мақсаты

11.5.1.26 айналу денелерінің көлемін есептеу үшін анықталған интегралды қолдану;

Бағалау критерийлері

анықталған интегралдың көмегімен айналу дененің көлемін есептеу формуласын біледі

айналу денесінің көлемін есептеу формуласын есептер шығаруда қолданады

Анықталған интеграл

Егер f(x) функциясы х=а және х=b нүктелерді қамтитын сан осі аралығында үзіліссіз болса, онда F(b)-F(a) айырмасының мәні (мұндағы F(x) функциясы f(x) функция үшін берілген аралықта алғашқы функция ) а-дан b-ға дейінгі f(x) функциясының анықталған интегралы деп аталады.

Қисықсызықты трапецияны табаны арқылы айналдырғанда пайда болған денені

айналу денесі дейді

Проблема:

https://urokimatematiki.ru/urok-vichislenie-obemov-tel-s-pomoschyu-opredelennogo-integrala-1011.html

ВИДЕО

У

х

y=f(x)

O

a

b

Алгебра

Қисықсызықты трапецияның анықтамасы.

Егер y = f(x) - [a; b] кесіндісінде теріс емес және үзіліссыз функция болса, у=f(x) функциясының графигімен [a; b] кесіндісінде , OX осі және x = a, x = b түзулерімен құрылған фигура қисық сызықты трапецияны береді . Осы қисық сызықты трапецияны ОХ осінен айналдырғанда пайда болған денені қарастырайық және оның көлемін табайық.

У

х

y=f(x)

O

[a;b] кесіндісін n бөлікке бөлейік , әр бөліну нүктелері арқылы ОХ осіне перпендикуляр жазықтық жүргізейік және шыққан көлденең қиманың ауданын табайық

Айналу денесінің кез келген көлденең қимасы – дөңгелек

Барлық аралықтарда , жасаушысы ОХ осіне параллель, ал табанының қимасы – дөңгелек болатындай цилиндрлік денені салайық

. Дөңгелектің радиусы функцияның хс нүктесіндегі мәніне тең.

Осы дөнгелектің ауданы –

S(x) = π f 2 (xс)

Цилиндрдің көлемі –

V=S(x)∙ Δx

y=f(x)

f(xс)

y

xс

r

Әр цилиндрдің көлемі табаны S(x) және биіктігі Δx болатын S(x)∙ Δx көбейтіндісіне тең, ал барлық баспалдақты дененің көлемі цилиндрлардің көлемінің косындысына тең

онда ОХ осінен айналдырғанда пайда болған айналу денесінің көлемі:

Егер дене қысық сызықты трапецияны, [a; b] кесіндісінде y = f(x) функциясымен, ОХ осінен айналдырғанда пайда болса , онда оның көлемін келесі формула арқылы есептеуге болады:

Шықан интегралдық қосындының шегі, n → ∞ болғанда анықталған интегралға тең

x

y=f(x)

y

Ескерту !

Егер қисық сызықты трапецияны ОУ осі арқылы айналдырса

Айналу денесінің көлемін формулалардың бірімен есептеуге болады

Егер қисық сызықты трапецияны ОХ осі арқылы айналдырса

Есепті шешу алгоритмі :

Айналу кезінде айналу денесі шығатын жазық фигураны құрайтын, берілген функциялардың графиктерін жобамен салу;

Интегралдау шектерін табу;

Бұл жағдайда қандай формула ыңғайлы болатынын анықтау;

Айналу денесінің көлемін есептеу

Есеп1. у=х2 параболаны [0;2] кесіндісінде ОХ осінен айналдырғанда пайда болған дене болсын.

Айналдырғанда шыққан дененің көлемін табыңдар.

у=х2

у

О

х

2

А-деңгейі

Есеп 2. у=0,5x функцияны [0;4] кесіндісінде ОХ осінен айналдырғанда пайда болған дене болсын.

Айналдырғанда шыққан дененің көлемін табыңдар.

y

O

x

4

А-деңгейі

А-деңгейі

Жұптық жұмыс

(Әлемдік ресурстардан алынған есептер)

1-ші тәсіл

2-ші тәсіл

В-деңгейі

Жұптық жұмыс

(Әлемдік ресурстардан алынған есептер)

Көмек:

В-деңгейі

Үй жұмысы:

Кері байланыс.

Мен білдім…

Мен үйрендім…

Маған ұнады…

Маған қиын болды…