Функция графигінің ойыс-дөңестігі және иілу нүктелері. Алгебра, 10 сынып, презентация.

Оқыту мақсаты

10.4.1.31 - функция графигінің иілу нүктесінің анықтамасын және функция графигінің аралықтағы дөңестігінің (ойыстығының) қажетті және жеткілікті шартын білу,

10.4.1.32 - функция графигінің дөңес (ойыс) аралықтарын таба білу;

Функция графигінің ойыс-дөңестігі және иілу нүктелері

Жетістік критерийлері

- Кез-келген функцияның туындысын таба алады, интервалда функция графигінің дөңес (ойыс) болуының қажетті және жеткілікті шарттарын біледі;

функция графигінің дөңес (ойыс) болу аралықтарын, иілу нүктесін анықтауға берілген есептерді шығара алады.

1.Функция өсуінің

жеткілікті белгісі

2. Функция кемуінің

жеткілікті белгісі

3. Функция

максимумының

жеткілікті белгісі

4. Функция

минимумының

жеткілікті белгісі

D. Нүктеден өткенде

туынды таңбасы

(-)-тен (+)-ке

өзгереді

А. Нүктесіден өткенде

туынды таңбасы

(+)-тен (-)-ке

өзгереді

Б. Аралықтың әр

нүктесінде f ′(х)> 0

С. Аралықтың

әр нүктесінде f′(х)< 0

у = f (x) фунуциясы берілген

(а, b) интервалында

у = f (x) функциясы үзіліссіз және туындысы бар және f '(x) >0 болса,

у = f (x) функциясының

(а, b) аралығындағы графигінің сұлбасын салыңыз

а b

у

у = f (x) функциясы берілген

Қисықтардың бір-бірінен қандай айырмашылығы бар?

Олардың бірі– кесінді түзу

Екішісі кесіндінің астынан өтеді

Үшіншісі кесіндінің үстінен өтеді

Ал, төртіншісі кесіндінің жартылай астынан, жартылай үстінен өтеді

а b

у

Дөңес қисық

Қисық х = а нүктесінде жоғарға дөңес деп аталады,

егер ол а нүктесі маңында өзінің осы нүктедегі жанамасынан төмен жатса.

у

а х

Ойыс қисық

Қисық х = а нүктесінде төменге ойыс деп аталады,

егер ол а нүктесі маңында өзінің осы нүктедегі жанамасынан жоғары жатса.

у

а х

Аралықта дөңес

у

0 a b х

Аралықта ойыс

у

0 a b х

м1

м2

м3

α1

α2

α3

у = f (х) функциясының графигі– ойыс қисық

α1, α2, α3…

бұрыштары шамасы өсіп келеді,

олардың тангенстері де өсуде

М1, М2, М3… нүктелерінде жанамалар жүргізілген

α1 < α2 < α3 < …

м1

м2

м3

α1

α2

α3

у = f (х) функциясының графигі– ойыс қисық

М1, М2, М3… нүктелерінде жанамалар жүргізілген

α1 < α2 < α3 < …

α1, α2, α3… бұрыштарының тангенстері өсуде

tgα = f′(х) , ендеше функция өспелі

Егер функция өспелі болса, онда оның туындысы оң.

f′(х) функ циясының туындысы– бұл туындының туындысы, яғни екінші ретті туынды.

(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0

Қорытынды:

Егер функцияның графигі ойыс болса,

Онда оның екінші ретті туындысы оң.

α1

у = f (х) функциясының графигі–дөңес қисық

tgα = f′(х) , ендеше функция кемімелі

М1, М2, М3… нүктелерінде жанамалар жүргізілген

y = f ′(х) функциясының туындысы теріс

(f ′(х))′ = f ′′(х) - теріс , яғни

f ′′(х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

α1, α2, α3… бұрыштарының тангенстері кемуде

Қорытынды:

Егер функцияның графигі дөңес болса,

Онда оның екінші ретті туындысы теріс.

Егер у = f (х) функциясының екінші ретті туындысы берілген аралықта оң болса, онда оның графигі осы аралықта ойыс,

ал теріс болса, осы аралықта қисық дөңес болады.

Функцияның графигінің ойыстықтан дөңестікке, немесе керісінше, дөңестіктен ойыстыққа ауысатын нүктесін иілу нүктесі дейді.

Функция графигінің дөңес-ойыстығын анықтау ережесі:

Табу керек:

Екінші ретті туындыны

Оның нөльге тең болу немесе жоқ болу нүктелерін;

Анықталу обылысының осы нүктелермен бөліну аралықтарын;

Әр аралықта екінші ретті туындының мәнін;

Егер f '‘(х) < 0, онда қисық дөңес,

егер f '‘(х) > 0 – ойыс.

Функцияны екінші ретті туынды арқылы зерттеу

Графиктің дөңес аралықтары:

(-3, 0) и (2, 5)

Графиктің ойыс аралықтары :

(-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞)

-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – иілу нүктелері

+ - + - + f‘‘

Материалды алғашқы бекіту:

Функцияның ойыс, дөңес болу аралықтарын және иілу нүктелері табыңыз:

Есеп 1

у = х³ - 12х + 4

Есеп 2

у = ¼ х4 – 3х²/2

1- есеп

у = х³ - 12х + 4

х – кез-келгке сан

f'(х) = 3х² - 12

f''(х) = 6х

6х = 0

х = 0

Дөңес аралықтары:

(-∞, 0)

Ойыс аралықтары :

(0, +∞)

- + f ‘‘

0 f

х = 0 – иілу нүктесі

2 - есеп

у = ¼ х4 – 3х²/2

х – кез-келген сан

f'(х) = х³ - 3х

f''(х) = 3х² - 3

3(х – 1)(х + 1)=0

х = 1, х = -1

Дөңес аралықтары:

(-1, 1)

Ойыс аралықтары :

(-∞, -1) и (1, +∞)

+ - + f‘‘

-1 1 f

х = 1 и х = -1 – иілу нүктелері

Жұппен жұмыс

Функция графигінің ойыс-дөңес аралықтарын және иілу нүктелері табыңыз:

«GeoGebrа»-да тексеру, 1-5

Дескриптор

Үй жұмысы

Функциялардың ойыс және дөңес аралықтарын табыңыздар.

Рефлексия

Мен білдім…

Мен үйрендім…

Маған ұнады…

Маған қиын болды…