Функцияның нүктедегі шегі. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

  Функцияның шегі мен функцияның үзіліссіздігі ұғымдары математиканың мектеп курсындағы қабылдауға өте күрделі ұғымдарына жатады. Әдістемені жетілдіру мақсатында аталған бөлімдерді баяндаудың әртүрлі нұсқалары ұсынылады. Бұл баяндау тәртібіне және материалдың мазмұнына қатысты болады.

 Кейбір оқу құралдарында алғашқыда үзіліссіздіктің анықтамасы беріледі. Бұл жағдайда белгілі бір формада жуықтап есептеудің мағлұматтары қолданылады. Ал, функцияның шегі ұғымы үзіліссіздік анықтамасына сүйеніп беріледі. Баяндаудың мұндай жолы үзіліссіздік ұғымының қарапайымдылығы және практикада жиі қолданылатындығымен

түсіндіріледі.

Бірақ,жиібаяндаудыфункцияныңшегіанықтамасынберуден

бастайды, ал үзіліссіздік оның негізінде енгізіледі. Шектің анықтамасы әртүрлі формада беріледі. Мысалы: «Егер кез-келген оң саны үшін оң

теңсіздігі орындалатын болса b саны fфункциясының xa -

ға ұмтылғандағы шегі деп аталады,.

 Тақырыпты ашу үшін біз функцияның нүктедегі шегінің аталған анықтамасына сүйенеміз. Функцияның шегін негізгі ұғым деп қарастырамыз, ал үзіліссіздікті функцияның шегі негізінде береміз.

 Оқушыларды функцияның шегі ұғымы мен функцияның үзіліссіздігі ұғымын үйренуге дайындау үшін, осы тақырыпты зерттегенде қандай ұғымдарға тап болатынын талдау керек. Функция ұғымымен байланысты мәселелердің тобын бөліп көрсетеміз. Оқушылар функцияның анықтамасын, функцияның берілу тәсілдерін білуі керек. Олар функцияның графигін тұғызуды білу керек (сызықтық, квадраттық, бүтін көрсеткішті дәрежелік функциялардың және т.б.).

 Анықтаманы құрғанда оқушыларға модулі бар теңсіздіктер жайлы білім қажет болады.

Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасымен жұмыс.

 Оқушыларды анықтаманың мәтінін түсінуге дайындайтын мысалдар қарастырамыз.

 Мысалға мынадай жағдайлар қарастырылады. Функцияның a нүктесіндегі шегі функцияның a нүктесіндегі мәнімен сәйкес келеді (бұл-жетекші жағдай); функцияның a нүктесіндегі шегі бар, бірақ функцияның a нүктесіндегі мәнімен сәйкес келмейді; функцияның a нүктесіндегі шегі бар, ал бірақ функция a нүктесінде анықталмаған.

1-мысал. 2-мысал. .

3-мысал. , .

нүктесіндегі функцияның мәнін табамыз, ол 5-ке тең. Абцисса осінен 1 нүктесін, ал ордината осінен 5 нүктесін белгілейміз. x айнымалысына 1 санына жақын мәндерді беріп, сәйкес функцияның мәндерін ордината осінен белгілеп, y осінде белгіленген нүктелердің 5 нүктесіне жақындағанына көз жеткіземіз. Абцисса осінен алынған нүктелер неғұрлым 1 нүктесіне жақындаған сайын, ордината осіндегі сәйкес нүктелер соғұрлым 5 нүктесіне жақындай береді. Басқаша айтқанда, y –тің мәні соғұрлым функцияның 1 нүктесіндегі мәнінен айырмашылығы аз болады.

2-мысал жеңілірек болғандықтан, келесі осы мысалды қарастырамыз.

саны функциясының , шегі болып табылады.

 2 және 3 мысалдарын салыстырсақ, 2 мысалда функция 2 нүктесінде анықталған және шек функцияның осы нүктедегі мәнімен сәйкес келеді, 3 мысалда функция 2 нүктесінде анықталмаған, бірақ ол шекке әсер еткен жоқ.

 4-мысалды қарастырамыз. Бұл мысалда, функция 2 нүктесінде анықталған, мәні 3-ке тең. 2 нүктесінен басқа нүктелерде функция алғашқы

геометриялық кескіндеме беруге болады. Осы айтылғандардан мынадай қорытынды жасауға болады: егер a - ға шексіз жақындаса (ұмтылса), функциясының мәні b санына шексіз жақындайды (ұмтылады).

Осы қарастырылған мысалдардан кейін, оқушы функцияның үзіліссіздігі туралы мағлұматтар ала алады. Шектіңанықтамасынбергенненкейін функцияныңүзіліссіздігіне

.

Анықтаманың үш негізгі шарттары бар: 1) функциясы a нүктесінде анықталады, 2) функцияның a нүктесіндегі шегі бар болады, 3) Осы шек функцияның a нүктесіндегі мәніне тең болады. Егер осы үш шарттың біреуі орындалмаса, функция үзіліссіз болмайды.

 Ұсынылған оқу-әдістемелік құрал функцияның үзіліссіздігі тақырыбын талдап, синтездеп, бекітуге арналған, негізгі базалық білімді қамтиды және төмендегі функциялардың үзіліссіздігін таба алады:

1; 2 ; 3 4

5; 6

Баяндалатын териялық материал графикалық иллюстрациялармен беріледі, бұл оқушыларға өз бетімен тнегізгі анықтамалар мен түсініктерді үйренуге көмектеседі, дәлірек айтқанда функцияның нүктедегі үзіліссіздігін тапқанда.

Бұл көмекші құралды «Функцияның шегін үзіліссіздікке зерттеу. Үзіліс нүктелерін классификациялау» тақырыбында практикалық жұмыстарды орындау үшін және студенттердің өзіндік жұмыстары ретінде қолдануға болады.

Осы көмекші оқу-әдістемелік құралмен жұмыс жасау барысында келесі теориялық материалдармен және мынадай түсініктермен таныс болуы керек:

- функцияның нүктедегі үзіліссіздігі;

- функцияны үзіліссіздікке зерттеудің алгоритмі;

- үзіліс нүктелері

- І және ІІ текті үзіліс нүктелері.

Осы жұмыс барысында, студенттер оқу және анықтамалық әдебиетке қарауға мүмкіндігі бар: Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебник/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., исправленное и дополненное – М.: Наука, 1973. – 720с. с ил.. Глава 2 Предел. Непрерывность, §2 Непрерывные функции, п.32-35;

Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі

 Үзіліссіздік – маңызды қасиет, яғни бірнеше функцияларда орындалады, ал кейбіреулерінде әрқашан орындала бермейді. Кез келген үзіліссіз функцияларды графикалық суреттерінде «үзіліссіз нүктелерінсіз», немесе тек қана «толық» сызықтар деп кескіндеуге болады..

 Мысалы, функциясының графигі(1-сурет.)

1-сурет

 Айталық, функциясы нүктесінде анықталған және осы нүктенің маңайында да анықталсын.

  функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер функцияның шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни келесі теңдік орындалса

  (1)

  (1) теңдігі төмендегі 3 шартты қанағаттандырады:

1 функциясы нүктесінде және оның маңайында анықталған

2 функциясы нүктедегі мәні бар

3 Функцияның нүктедегі шегі мен функцияның сол нүктедегі мәні тең болады, яғни жоғарыдағы (1)теңдік орындалады.

 Айталық , функциясы интервалында анықталған болсын. Осы интервалда жататын кез келген бір нүктені

 алайық Кез келген айырымы . Х аргументтің нүктесіндегі өсімшесі деп аталады және арқылы белгіленеді.(«дельта х»): . Осыдан. Осы аргументтерге тәуелді функциялардың айырмасы функцияның нүктесіндегі өсімшесі деп аталады және былай белгіленеді :немесе

  (Сурет-. 2)

• Теңдеуді қарастырайық:

 ,т.к. ,осыдан алатынымыз:

 =0. Функциялардың айырмаларының шегі шектерінің айырмаларына тең.

 .

 Мына теңдікті аламыз:

  (2)

 Бұл да функцияның нүктедегі шегі ұғымының анықтамасы бола алады.

Функцияның аралықта және кесіндіде үзіліссіздігі

функциясы мына аралықта үзіліссіз деп аталады, егер осы аралықтағы барлық нүктелерде функция анықталса.

 Егер функция мына аралықта үзіліссіз және нүктесінде оң жақты үзіліссіз (т.е. ), нүктесінде сол жақтан үзіліссіз (т.е.)болса , онда функциясы кесіндіде үзіліссіз деп аталады

Үзіліссіз функция қасиеттері.

функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады және

.

• Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады.

 Анықтама. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни , функция нүктесінде үзілісті функция деп, ал нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды.

 Біржақты шектер ұғымын енгізейік.

 Айталық және , онда деп жазады, ал осы жағдайдағы шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның оң жақты шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты шектерін біржақты шектер дейді.

 Енді үзіліс түрлерін ажыратайық.

 Анықтама. Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды.

 Анықтама. Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады (10б-сурет).

 Мысал. а) функциясы нүктесінде үзіліссіздікке зертте.

Шешуі.

 ,

яғни сол жақты шегі –1, ал оң жақты шегі 1, ақырлы сандар, өз-ара тең емес, олай болса нүктесі І-текті үзіліс нүктесі болады (10а-сурет).

б) функциясын үзіліссіздікке зертте.

Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.

,

яғни сол жақты шегі 0, ал оң жақты шегі шексіздік. Олай болса нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады (10б-сурет).

в) функциясын үзіліссіздікке зертте.

Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.

,

яғни сол жақты де, оң жақты шегі де шексіздік. Олай болса нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады.

Алынбайтын үзіліс Алынбалы үзіліс ІІ текті үзіліс

Бір жақты үзіліссіздік

Біржақты үзіліссіздікті енгізейік.

 f(x) функциясы x₀ нүктесінде оң(сол) жақтан үзіліссіз деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

(x) функциясы x₀ нүктесінде анықталған,

2. ,шек бар болады

3. = f(x₀) .

Оң жақтан үзіліссіз Сол жақтан үзіліссіз

ТЕОРЕМА. f(x) функциясы x₀ нүтесінде үзіліссіз болуының қажетті және жеткілікті шарты, функция оң жақтан да сол жақтан да үзіліссіз болуы қажет.

Шексіз аздарды салыстыру. Екі шексіз аз шамаларды салыстыру үшін олардың қатынасын қарастырады. - ш.а.ш. болсын, яғни және .

1. Егер болса, онда ұмтылғанда ш.а.ш.-ның аздық реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда ұмтылғанда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады және деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар ұмтылғанда эквивалентті, бұл бірінші тамаша шектің қасиетінен шығады.

Теорема. ұмтылғанда ш.а. болсын, онда:

1. ;2. ;

3. ;4. ;

5. ;6. , ;

Теорема. Егер ш.а.ф. –ды оларға эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. қатынасының шегі өзгермейді.

4-мысал. ,

себебi, .

Функцияның үзіліссіздігі.

Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нүктесінде анықталған (яғни мәні бар);

2. ( шамасы -ге ұмтылғанда) болғанда функциясының ақырлы шегі бар;

3. шегі функцияның нүктесіндегі мәніне тең:

1−анықтама. Егер функциясы келтірілген үш шартты қанағаттандырса, онда оны нүктесінде үзіліссіз дейді. Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамасының формуласын былай жазуға болады: Функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда оның графигін нүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай) болады. Енді үзіліссіздіктің екінші анықтамасын берейік. аргументіне өсімшесін берсек, функциясы өсімшесін алады. Ол формуласымен анықталады.

2−анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталса және теңдігі орындалса, онда ол функцияны нүктесінде үзіліссіз дейді. Үзіліссіздіктің осы екі анықтамасы өзара эквивалентті. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда бұл нүкте функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Үзіліс нүктесінің екі түрі бар. Егер функциясың нүктесінде оң жақты және сол жақты шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда нүктесі функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер оң жақты және сол жақты шектердің ең болмағанда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда нүктесі функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер нүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса, онда нүктесі функциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

5-мысал. функциясы үшін нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі болады, себебі

Егер функциясы аралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны аралығында үзіліссіз дейді. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болып, ал нүктесінде оң жақтан (яғни ), ал нүктесінде сол жақтан (яғни ) үзіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде үзіліссіз дейді.

Kесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері

1. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде ақырлы (шенелген)

2. Вейерштрасс теоремасы Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде өзінің ең кіші және ең үлкен мәндерін қабылдайды.

3. Больцано-Коши теоремасы Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және және , нүктелеріндегі мәндері әртүрлі таңбалар қабылдаса (), онда теңдігі орындалатындай кесіндісінің ең болмағанда бір нүктесі бар.

2 ҮЗІЛІС НҮКТЕЛЕРІНЕ ГРАФИКАЛЫҚ ИНТЕРПРЕТАЦИЯЛАУ

І текті үзілс нүктесі

Сурет-3

І текті үзіліс нүктесі

Сурет-4

ІІ текті үзіліс нүктесі

Сурет-5

Сурет-6

ФУНКЦИЯНЫҢ ҮЗІЛІССІЗДІГІН ЗЕРТТЕУГЕ АРНАЛҒАН ҚҰРЫЛЫМДЫҚ СХЕМА

Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігін табу схемасы

Иә Жоқ

Сурет-7

3 ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ

1-мысал. .

Функция басқа -тің барлық мәндерәнде анықталған. Сондықтан, бұл функция элементар болып саналады, онда ол өзінің анықталу облысында анықталған болады, анықталу облысы келесі екі интервалдан тұрады . Сол сияқты, үзіліс нүктесі (тек осы нүктеде ғана функцияның мәні болмайды). Үзіліс нүтелерінің тегін анықтау үшін оң және сол жақтағы шектерін есептейміз:

, .

Соныменен, болғанда, функция шексіз үзілісті, яғни - ІІ текті үзіліс нүктесі . Бұл функцияның графигі арқылы тексеруге болады (Сурет-8).

Сурет-8

2-мысал.

функциясы нүктесінен басқа барлық -тер үшін анықталады. Сондықтан, бұл функция элементар болып саналады, онда ол өзінің анықталу облысында анықталған болады, анықталу облысы келесі екі интервалдан тұрады . Сол сияқты, үзіліс нүктесі . Үзіліс нүтелерінің тегін анықтау үшін оң және сол жақтағы шектерін есептейміз.

,

.

Функция нүктесінде анықталмайды, бірақ сол жақ шегі мен оң жақ шегі мәндері тең, сондықтан - І текті үзіліс нүктесі – алынбалы үзіліс нүктесі.

Функцияның графигін салу үшін :

.

Сурет-9

3-мысал.

Сан осіндегі үш аралықта функциясының анықталу облысы, -тің барлық құрамдас элементар функцияларын:

, , . Көрсетілген барлық аралықтағы ішінде бұл функциялар анықталған. Солайша, функциясын үзіліссіздікке зерттеу қажет, функциясына кіретін және функцияның анықталу облысы.

нүктесі берілген анықталу облысының аралығына кірмейді, – функциясы бұл нүктеде анықталмайды, яғни - үзіліс нүктелері, солайша бұл функция осы нүктенің аймағында анықталады, бірақ, дәл сол мәнде анықталмайды. Үзіліс нүктелерінің сипаттап, ретін анықтау үшін оң жақ және сол жақ шектерін есептейміз.

Алғанымыз, нүктесінде оң және сол жақ шектері өзара тең, сондықтан – І текті үзіліс нүктесі – алынбалы үзіліс нүктесі.

нүктеде функция анықталған, болса, . Оң және сол жақ шектерін табамыз.

Алатынымыз, ,демек, функция нүктеде үзіліссіз. Берілген функцияның графигін салу арқылы дәлелдеуге болады (Сурет-10).

Сурет-10

4-мысал.

Сан осіндегі үш аралықта функциясының анықталу облысы, -тің барлық құрамдас элементар функцияларын:

, , көрсетілген барлық аралықтағы ішінде бұл функциялар анықталған. Солайша, функциясын үзіліссіздікке зерттеу қажет, функциясына кіретін , функцияның анықталу облысы.

нүктесі берілген анықталу облысының аралығына кірмейді, – функциясы бұл нүктеде анықталмайды, яғни - үзіліс нүктелері, солайша бұл функция осы нүктенің аймағында анықталады, бірақ, дәл сол мәнде анықталмайды. Үзіліс нүктелерінің сипаттап, ретін анықтау үшін оң жақ және сол жақ шектерін есептейміз.

Алғанымыз, нүктесінде оң және сол жақ шектері өзара тең, сондықтан – І текті үзіліс нүктесі – алынбалы үзіліс нүктесі.

нүктеде функция анықталған, болса, . Оң және сол жақ шектерін табамыз.

,

.

Алатынымыз, , шектелген, демек - І текті үзіліс нүктесі – «секіру» нүктесі.

Функция , анықталған. Оң және сол жақ шектерін табамыз:

,

.

Осыдан, , демек функция нүктесінде функция үзіліссіз.

функциясы тің барлық мәндері үшін анықталған, нүктеден басқа аралықта анықталған, демек үзіліс нүктесі. оң және сол жақ шектерін табамыз.

,

.

Сонымен, функция шексіз үзіліске ие, яғни - ІІ текті үзіліс нүктесі.

Функция графигін саламыз:

Сурет-11

Нәтижелерін суретпен тексеріп көр. (Сурет-11).

5-мысал.

Функцияны үзіліссіздікке зерттеу үшін модуль таңбасын ашамыз модуль анықтамасы бойынша

Онда, анықтама бойынша ашып шығайық:

Ықшамдаймыз:

Берілген функцияның анықталу облысын табамыз. Ол мына үш аралықтан тұрады . Көретініміз, функция және нүтелерінен басқа -тің барлық мәндері үшін анықталады. Солайша, бұл нүктелер үзіліс нүктелері болып табылады. нүктесіндегі сипаттамасын алу үшін, болғандағы оң және сол жақ шектерін табамыз.

,

.

Алғанымыз, ,демек , - І текті үзіліс нүктесі – секіру нүктесі.

нүктесіндегі үзіліссіздікті есептейміз, сондай-ақ оң және сол жақ шектерін табамыз.

;

.

Алғанымыз, нүктесінде шексіз үзіліске ие болады, яғни - ІІ текті үзіліс нүктесі.

Функцияның графигін салуды орындаймыз

Сурет-12

Нәтижелерді функция графигімен тексереміз. (Сурет-12).

Ескерту! Практикалық тапсырмаларды орындау кезінде есептің шешімі нақты әрі қысқа болуы керек. 6-мысалды қарастырамыз.

6-мысал.

Зерттеу үшін модульді ашамыз , анықтама бойынша:

;

Алынған өрнекті ықшамдаймыз:

,

,

Түрлендіру жүргізгеннен кейінгі функцияның аналитикалық түрде бейнелейміз:

: , , нүктелерінде зерттейміз.

1

2

3 –

Қорытынды: , І текті үзіліс нүктесі

1

2

3 –

Қорытынды: , ІІ текті үзіліс нүктесі.

1

2

3

Вывод: , үзіліссіз нүктесі

Функцияның графигін салуды орындаймыз

Ескерту! функциясының графигін толық квадратқа келтіру арқылы оңай салуға болады.

.

Сурет-13

 Қорытынды

 Дифференциалдық есептеу элементтерін оқытуға қатысты кіріспеде баяндалған болжамға сүйене отырып, біз осы тақырыптың баяндалу тұрғысынан ең көп қолданыстағы оқулықтарды талдадық. Баяндалған тәжірибелік оқытуды пайдаланып, келесі қорытындыларды жасадық:

 Дифференциалдық есептеу элементтерін оқыту тиімді болады, егер төмендегілер орындалатын болса:

•  Туынды ұғымын енгізуден алдын функцияның шегі және үзіліссіздігі ұғымдарымен жеткілікті кең көлемде пропедевтикалық жұмыстар жүргізілсе;
•   Функцияның шегі және үзіліссіздігі тек өзіндік обьект ретінде ғана емес, сондай–ақ диффернциалдық есептеудің негізгі алғашқы элементі ретінде де қарастырылса;
•   Негізгі элементар функциялардың кестелік туындылары және қасиеттері шек және үзіліссіздік ұғымдары арқылы түсіндіріліп, қасиеттері графикпен кескінделсе;
•  Шек және туынды ұғымдарының әрбір қасиеті анық негізделген және олардың барлығы бір жүйеге келтірілсе.
•  егер оқушылар шек және функцияның үзіліссіздігі ұғымдарын саналы түрде меңгерсе, онда олардың туынды және туындыны функцияны зерттеуге қолдану тақырыптарын толық деңгейде игереді.

 Жұмыс барысында мынадай зерттеу әдістері қолданылды: зерттеу проблемасы бойынша философиялық, психологиялық, педагогикалық әдістемелік, математикалық әдебиеттерді талдау, студенттердің оқу танымдық қызметіне, ұстаздардың, студент практиканттардың сабақтарына қатысу, әңгімелесу, сабақтың талдауына қатысу, жаңашыл педагогтардың іс-тәжірибелерімен, арнайы пәндерден дәрістерді тыңдау, бақылау, әңгіме, анкеталық сұрақтар қою, тәжірибелік жұмыс жүргізу.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

• Әбілқасымова А.Е., Шойынбеков К.Д., Есенова М.И., Жұмағұлова З.А. Алгебра және анализ бастамалары, 10-сынып ,Жаратылыстану-математика бағыты, Алматы: Мектеп, 2006.
• Әбілқасымова А.Е., Шойынбеков К.Д., Есенова М.И., Жұмағұлова З.А. Алгебра және анализ бастамалары, 10-сынып, Қоғамдық-гуманитарлық бағыты, Алматы: Мектеп, 2006.
• Шыныбеков Ә.Н.. Алгебра және анализ бастамалары: ЖББМ-ң 10-сыныбына арналған оқулық – 2-басылымы , Алматы:«Атамұра», 2011
• А.Е. Әбілқасымова, М.И. Есенова, З.А. Жұмағұлова Алгебра және анализ бастамалары «Әдістемелік нұсқау» Алматы: Мектеп, 2006
• Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Алматы, 1991.
• Фихтенгольц Г.М. Математикалық анализ негіздері. Алматы, 1972.
• Қабдықаиров Қ., Есельбаева Р. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. Алматы, «Мектеп».
• Тупиков В.А. Ошибки в решение задач по высшей математике. Минск: «Вышейшая школа» 1976.
• И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. М., 1970
• Стефан Банах. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука 1966
• Я.С.Бугров., С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.; Наука. 1988
• Н.А.Менчинская. Психологические проблемы неуспеваемости школьников. М.,1971.
• Қасқатаева Б.Р, Математиканы оқытудың әдістемесі мен технологиясы, Алматы 2011.
• Көбесов А, Математика тарихы, Оқу құралы, Алматы «Қазақ университеті» , 1993.
• Дорофеев Г.В, Потапов М.К, Розов Н.Х, Пособие по математике для поступающих в вузы, Издательство «Наука» , Москва, 1972.
• Колмогоров А.Н, Абрамов А.М, Дудынцин Ю.П, Ивлев Б.М, Шварцбурд С.И, Алгебра және анализ бастамалары, орта мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық, Алматы «Рауан», 1998.
• Айдос Е.Ж, Балықбаев Т.О, Математика пәні бойынша ЖОО-на түсушілерге арналған оқу құралы, Алматы 2006.
• Қаңлыбаев Қ, Кокажаева А.Б, Цхай Т.А, Шалбаев Е.Б, Алпысов А.Қ, Есептер шығару практикумы, Алматы 2011.
• КущенкоВ.С, Сборник конкурсных задач по математике с решениями, Издательство «Судостроение», Ленинград 1986г.
• Рылов А.С, Сапожников А.А, Все домашние работы класс 10-11, Издательство «Экзамен» Москва 2005.