Функцияның шегі. Функцияның нүктедегі шегі. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Шымкент қаласындағы физика-математика бағытындағы

Назарбаев Зияткерлік мектебі

Айтуреев Б.А., Кулажанов Г., Доскулов Е.

Функция шегі

11 - сынып

ШЫМКЕНТ 2014

Айтуреев Б.А., Кулажанов Г., Доскулов Е.

11.3B Функциялардың шегі және үздіксіздігі Назарбаев Зияткерлік мектебінің 11-сынып мұғалімдеріне арналған / 1-басылым – Шымкент: 2014.- 56 бет.

Әдістемелік құрал Кіріктірілген бағдарлама бойынша Назарбаев Зияткерлік мектебінің математикадан сабақ беретін 11-сынып мұғалімдеріне арналған. Мұнда 11-сыныптағы «Функциялардың шегі және үздіксіздігі» 11.3В бөлімін толық түсіндірмелік лекция жинағы. Әр тақырыпшаға мысалдар көрсетілген. Сондай-ақ әдістемелік құралда тақырыпқа байланысты біраз қосымша есептер көрсетілген. Сонымен бірге тақырыпқа байланысты тест үлгілері де қарастырылған.

Мазмұны

• Алғы сөз
• Функцияның нүктедегі шегінің екі анықтамасы
• Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар.
• Функцияның оң жақтық және сол жақтық шектері.
• Функцияның шектелмеген шектері.
• Функцияның шексіздіктегі шектері.
• Функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және бөліндісінің шектері туралы теоремалар.
• Теңсіздіктермен берілетін функциялардың шектері туралы теоремалар.
• Бірінші тамаша шек.
• Екінші тамаша шек.
• Шексіз аз және үлкен функцияларды салыстыру.

Алғы сөз

 Назарбаев Зияткерлік мектептерінде сабақ беру мен оқытудың алуан стратегияларын қолдану арқылы мұғалімдер қалай білім алуды үйренуді білетін, дербес, ынталы, қызушылығы жоғары, сенімді, жауапты, анализ жасай алатын оқушыны тәрбиелейді.

  Ол үшін мұқият таңдалған тапсырмалар мен іс-әрекет түрлерінің көмегімен оқушыларды ынталандыра отырып, оқушылардың жеке пікірін тыңдау және қолда бар білім мен түсініктерді дамыту арқылы оқушыларға түсінікті жолмен есептерді шығару стратегиясын моделдеу және көрсету маңызды.

Тілдік мақсат –айнымалының мәні белгілі нүктеге жақындаған кездегі функцияның әрекетін сипаттайды.

Негізгі мақсат – функцияның нүктедегі шегін таба алады және үздіксіздік анықтамасын біледі.

Оқушы білуге тиіс – функция, нүкте, жоғарыдан (төменнен) жақындау, өсімше, асимптота, үзіліс нүктесі.

Оқушы істей алуға тиіс – Оқушылар функцияның нүктедегі шегінің және шексіз алыстағы нүктенің ұғымымен танысады, шектерді есептей алатын болады, және оларды кейбір функциялардың асимптотикалық әрекетін сипаттауға пайдаланатын болады.

 Әрбір сабақты өту үшін алдын ала дайындалған сабақтың үлгі жоспары қаншалықты қажет десек те оның барлық сынып, барлық мұғалім үшін мінсіз болып шығатын жалпы түрін ұсыну мүмкін емес. Сондықтан да әрбір мұғалім өзінің біліміне, шеберлігіне, игерген әдіс-тәсіліне, қиял-болжамына, оқытып жүрген оқушыларының біліміне, өтейін деп отырған материалының ауыр-жеңілдігіне байланысты әрбір сабаққа нақтылы жоспар жазуы тиіс.

 Әдістемелік құрал соңында сызықтық теңсіздіктер тақырыбына тест тапсырмалары және күнделікті сабаққа пайдалану үшін шекке байланысты қосымша есептер қарастырылған.

ФУНКЦИЯ ШЕГІ

1.Функцияның нүктедегі шегінің екі анықтамасы. Айталық f(x) функциясы белгілі бір Х жиынында анықталсын және немесе болсын. Х жиынынан -ден өзгеше және -ге жинақты болатын

(1)

нүктелері жиынын алайық. Бұл жиын нүктелеріндегі функция мәндерінің жиыныда сандық тізбек болады:

(2)

Енді бұл тізбек шегі туралы мәселе қояйық.

А н ы қ т а м а - 1. Егер аргумент мәндерінің нүктесінде жинақты кез келген (1) тізбегіне сәйкес келетінін функция мәндерінің (2) тізбегі А санына жинақты болса, онда А санын f(x) функциясының х= нүктесіндегі (немесе х-дағы ) шегі деп атайды. Оны былай белгілейді:

немесе х да f(x)А.

f(x) функциясы х= нүктесінде бір ғана шекке ие болады. Бұдан

Енді функция шегі анықтамасын қолданып, бір қатар нақтылы функциялардың шектерін анықтайық.

М ы с а л-1. Тұрақты функциясының шегі осы тұрақтыға тең болатынын дәлелдейік.

Дәлелдемесі.Айталық нүктесі жататын аралықтың барлық х мәндері үшін f(x)=С болсын. Сонда болатын кез келген {x} тізбегі үшін f(x)=С және болады. Сондықтан, .

М ы с а л-2. f(x)=x функциясы үшін болатынын дәлелдейік.

Дәлелдемесі. Кез келген {x_n} тізбегі үшін n да болғандықтан, болады. Сондықтан, функцияның нүктедегі шегі анықтамасынан .

М ы с а л-3. f(x)=sin функциясының x=0 нүктесінде шегі болмайтынын дәлелдейік.

Дәлелдемесі.Аргумент мәндерінің үш түрлі тізбектерін қарастырайық:

Сонда болатыны анық. Бірінші тізбек үшін ал 2-тізбек үшін

болатынын, соныңда 3-тізбек үшін , яғни функция мәндері тізбегі

-1,1,-1,1,-1,1,... түрінде жазылатыны шығады. Соңғы тізбектің n дағы шегі жоқ. Жоғарыда айтылғандардан функция шегі анықтамасына сәйкес

f(x)=sin функциясының x=0 нүктеде шегі болмайды.

Функцияның шегіне екінші анықтама беруден бұрын, бірнеше мысал қарастырайық..

М ы с а л - 4. болсын. Егер х аргументі 2 санына жинақталатын қатар мәндерін қабылдайтын болса, онда функциясы 4 санына жинақталатын қатар мәндеріне ие болады. Мұны функциясының жуық мәндерінің мынадай кестесін қарастыру арқылы байқауға болады:

Аргумент х-тің мәні 2 санына неғұрлым жуық болса, айырмасының абсолют шамасы соғұрлым аз болады.

Бұдан кестелік иллюстрацияны пайдаланбай-ақ, таза математикалық жолмен де көз жеткізуге болады. Біз қандай да бір аз оң санын алсақ та, ішінде нүктесі болатынжәне оның барлық нүктелері үшін < теңсіздігі орындалатын интервалды әрқашан да көрсетуге болады.

Шынында да, < теңсіздігі << қос теңсіздігіне эквивалентті, бұдан: 4<<4+, болып шығады.

(функциясының нүктесінің маңындағы сипатына ғана назар аударылып отырғандықтан, біз х-тің тек оң мәндерін ғана ескереміз).

Сонымен, < теңсіздігі ішінде нүктесі бар интервалында орындалады.

Мысалы, <0,1 теңсіздігі. немесе 1,98<<2,02 интервалында орындалады; <0,01 теңсіздігі немесе 1,998<<2,002 интервалында орындалады.

Демек, егер аргумент х-тің мәнін 2-ге мейлінше жуық етіп алсақ, онда функциясы мәнінің 4-тен айырмашылығы мейлінше аз болады. Мысалы, мынадай теңсіздіктер орындалатындай етіп алуға болады:

<0,001; <0,0001 т.с.с.

Бұл жағдайда 4 санын функциясының, х аргументі 2-ге ұмтылғандағы шегі деп атаған орынды.

М ы с а л - 5. функциясының нүктесінің мәндерінің кестесін қарастырайық:

нүктеде біздің функциямыз анықталмайды: бөлшектің алымы мен бөлімі нольге айналады.Егер де х-тің 3-ке мейлінше жуық (бірақ 3-ке тең болмайтындай) етіп алсақ, онда у-тің оғон сәйкес мәндері 6-ға соншалықты жуық болады.

Бұл фактіні кестемен көрсетіп ғана қоймай, таза математикалық жолмен дәлелдейік, атап айтқанда: кез келген оң саны үшін, ол қаншалықты аз болса да, ішінде нүктесі болатын және оның осы нүктеден басқа нүктелері үшін

теңсіздігі орындалатын интервалды әрқашан да көрсетуге болады.

Шынында д, егер болса, онда

болады. Енді (1) теңсіздікті былай жазайық: немесе Соңғы теңсіздік мына қос теңсіздікке эквивалентті: бұдан шығатыны:.

Сонымен, х-тің интервалындағы мәнінен басқа, барлық мәндері үшін (1) теңсіздік орындалады.

Егер, мысалы біз у мәнінің 6-дан айырмашылығы =0,01-ден кем болсын десек, онда х-тің мәнін 3-0,01-ден 3+0,01-ге дейінгі интервалда, яғни (2,99; 3,01) интервалында, қарастыруымыз керек. Сондай-ақ =0,001 болғанда

(3-0,001; 3+0,001) немесе (2,999; 3,001) интервалы табылар еді т.с.с.

Сонымен, егер аргумент х-тің мәндерін 3-ке мейлінше жуық, бірақ 3-ке тең болмайтындай етіп таңдай алсақ, функциясы мәндерінің 6-дан айырмашылығы соншалықты аз болады.

Мысалы айырмасы 0,1; 0,01; 0,001-ден т.с.с. аз болатындай етіп алуға болады. Қарастырылып отырған функция мәнінде анықталмайтын болғанмен, жағдайда оның шегі бар және ол 6-ға тең деп есептеген дұрыс.

Жоғарыдағы масылдарды қарастыра келк, біз функцияның шегіне мынадай екінші түрде анықтама бере аламыз:

А н ы қ т а м а - 2. Кез келген оң саны үшін нүктесі бар ашық интервал болып және оның нүктесінен басқа нүктелері үшін (мүмкін үшін де)

теңсіздігі орындалса, онда А саны, функциясының х-тің -ға ұмтылғандағы шегі деп аталады.

функциясының х-тің -ға ұмтылғандағы шегі А-ге тең болатындығын былай жазып көрсетеді:

(мұны былай оқиды: функциясының х-тің -ға ұмтылғандағы шегі А-ге тең).

Жоғарыда келтірілген нәтижені енді былай жаза аламыз:

Мысалы,

М ы с а л-6. функцияның нүктеде 1-ге тең шегі бар екенін дәлелдеңдер. Егер саны 1,1/2 және 1/100 болса, сәйкес -лерді қалай таңдап алуға болады?

Шешімі. Кез келген >0 санын аламыз. Біздің мақсатымыз сол бойынша сондай >0 табу, сонда < болғанда, теңсіздігі орындалуы керек. Бұл соңғы теңсіздіктен немесе . Мұнан етіп алуға болатыны көрініп тұр. Бұл жағдайда теңсіздігіміз болатынын көрсетеді, да бұл соңғыдан келіп шығады. Дербес жағдайда, егер болса, онда , егер болса, онда , ал егер болса, онда болады.

М ы с а л-7. Функция шегінің анықтамасын пайдаланып, нүктеде функциясының 10-ға тең шегі бар екенін дәлелдеңдер. теңсіздіктен <0,01 теңсіздігі шығатындай етіп, -ні қалай таңдап алу керек?

Шешімі. Кез келген >0 аламыз да, нүктенің қандай да бір маңайы үшін х-тің мәндері теңсіздігін қанағаттандыратынын байқайық. Соңғы теңсіздікті былайша түрлендіруге болады:

Берілген бойынша нүктесінің қажет маңайын біліп алу үшін, яғни сәйкес -ні анықтау үшін былай ой қорытамыз, егер болса, теңсіздігі орындалуы тиіс. Әуелі бастан-ақ санын 1-ден үлкен етпей таңдап алуға болады /өйткені табылған -ні, керек жағдайда, әрқашанда кемітуге болады/, ал ол уақытта теңсіздікті қанағаттандыратын х-тің мәндері 1<х<3 аралықта болады. Сондықтан деп санауға болады. Енді қандай х-тар үшін теңсіздігі орындалатынын білсек, /ал бұл болғанда болады/, онда х-тің бұл мәндері үшін теңсіздігі сөзсіз орындалады. Сонымен деп алуға болатынын көрсеттік /егер болса/. Егер , яғни >15 болса, онда теңсіздігі шартты қанағаттандыратын барлық х үшін орындалған болар еді де, біз деп алуымызға мүмкіндік туады: болса, онда шығады.

М ы с а л - 8. Функция шегiнiң анықтамасын пайдаланап, x = 4 нүктесiнде f(x) = x - 3х + 2 функциясының 6-ға тең шегi бар екенiн дәлелдеңдер.

Шешiмi. Алдын ала e > 0 саны берiлсiн .Оған сәйкес х-тiң

0 < | x – 4 | < d (А) теңсiздiгiн қанағаттандыратын барлық мәндерi үшiн | ( х- 3х + 2 ) – 6 | < e (Б) теңсiздiк , яғни

| (х + 1) ( х – 4 ) | < e теңсiздiгi орындалатын d > 0 санын табайық.

Ал (А) –дан | x + 1 | < 5 + d теңсiздiгi шығады .

Демек , | (х + 1) ( х – 4 ) | < d ( 5 + d ). (В)

(Б) мен (В)-дан мына қорытындыға келемiз. Егер d санын d ( 5 + d ) = e теңдiгiн қанағаттандыртындай етiп алсақ, (А) теңсiздiгi орындалысымен (В)-да орындалады.

Сонымен, (х-3х + 2 ) = 6 екендiгi дәлелденедi.

Функция шегінің 1-анықтамасы сандық тізбектің шегі ұғымына негізделіп берілетін болғандықтан, оны «тізбек тілінде», ал 2-анықтамасын «» тілінде берілген анықтама дейді.

Бұл келтірілген екі анықтама бір-біріне баламалы болатынын көрсетуге болады.

2.Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар.

А н ы қ т а м а. Егер болса, онда f(x) функциясын x= нүктесінде шексіз аз функция немесе шексіз аз деп атайды.

Осы сияқты х, х+, х-, х -0 және х +0 болғанда да, шексіз аз функциялар анықталады.

1- т е о р е м а. теңдігі орындалуы үшін х -да

функциясының шексіз аз болуы қажетті және жеткілікті.

Қажеттілігі.Айталық болсын. айырымын қарастырайқ және оның х да шексіз аз функция екенін көрсетейік. Шынында, әрбір функцияларының х -дағы шегі А-ге тең, сонда жоғары дәлелденген теорема бойынша болады.

Жеткіліктігі. Айталық (мұнда (х) функциясы х -да шексіз аз) болсын. Енді болатынын көрсетейік. Ал теңдігінен шекке көшсек

Бұл теоремадан, х= нүктесіндегі шегі А санына тең f(x) функциясын мынадай түрде жазуға болатыны шығады: мұнда

.

Бұл жағдайда, f(x) функциясы x нүктесі төңірегінде А санынан шексіз аз функцияға өзгеше болады деп айтады.

Шексіз аз функциялардың қасиеттеріне тоқталайық. Мынадай теорема орын алады.

2 - т е о р е м а. х= нүктесіндегі саны шектеулі аз функциялардың алгебралық қосындысы және көбейтіндісі, сондай-ақ шексіз аз функциясының шектелген функцияға көбейтіндісі х= нүктесінде шексіз аз функция болады. Бұл теореманы функция шегінің 1-анықтамасымен сан тізбектері үшін дәлелденген теоремаларға сүйеніп дәлелдеу қиын емес.

х= нүктесіндегі шексіз аз функцияға айтылған тұжырымдардың барлығы х, х-, х+, х -0 және

х+0 болғанда да орын алады.

А н ы қ т а м а. Егер кез келген >0 саны үшін саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда f(x) функциясы х да шексіз үлкен функция деп аталады. Оны былай жазады: .

Осыған ұқсас түрде нүктесінің сол жағындағы, не оң жағындағы тұрақты таңбалы шексіз үлкен функция анықтамасын тұжырымдауға болады. Оларды былай жазады: Мынадай ұйғарым дұрыс болады: егер х да f(x) функциясы шексіз аз және нүктесінің белгілі төңірегіндегі х үшін

f(x) 0 болса, онда х да 1/ f(x) функциясы шексіз үлкен болады.Бұл ұйғарымға кері ұйғарым да дұрыс: егер х да f(x) функциясы шексіз үлкен болса, онда х да функциясы шексіз аз болады. Мысал үшін, х- да шексіз үлкен, ал х 0 да шексіз аз болатын f(x)=x функциясын қарастырайық. Сонда f(x) функциясы х- да шексіз аз, ал х 0 да шексіз үлкен.

М ы с а л-9.Анықтамаға сүйеніп, жағдайда функциясы шексіз аз болатынын дәлелдеу керек.

Шешімі.Айталық, >0 кез келген оң сан болсын, 0<< теңсіздігін қанағаттандыратындай барлық х үшін, >0 таңдап алуға болатын болса, теңсіздігі орындалатындығын дәлелдеу керек. Егер болса, онда және теңсіздігі орындалу үшін, болуын талап ету жеткілікті ( >0 болатындықтан екінші түбір алынбайды.)

Сонымен кез келген >0 үшін, 0<< теңсіздігінен теңсіздігі шығатындай табылады. Олай болса, функциясы жағдайда шексіз аз екен.

3.Функцияның оң жақтық және сол жақтық шектері. Жоғарыда берілген функцияның нүктедегі шегінің анықтамасында аргумент х-тің нүктесіне ұмтылу заңы көрсетілмеген. Сондықтан х айнымалысы нүктесіне қандай заңмен жақындаса да функцияның шегі ылғи бір ғана В санына тең болып отыруы керек. Сонда ғана функцияның нүктесіндегі шегі бар болады. Ал кей жағдайларда функция шегінің бар болуы х-тің -ге ұмтылу заңына да байланысты болады. х айнымалысы өзінің шегі -ге түрліше заңмен ұмтылғанда функция мәндері де түрліше сандарға ұмтылуы мүмкін. Мұндай жағдайларда жоғарыда көрсетілген мағанадағы шектің дербес түрлері шығады. Енді осындай шектерді қарастырайық.

Енді нүктесінің сол жағында жатқан барлық х-терде, яғни мына аралығында анықталған функциясын қарастырайық. Бұл функцияның нүктесінде айқын мәні болмауы да мүмкін.

А н ы қ т а м а. Егер алдын ала берілген санына сәйкес саны табылып, келесі

теңдіктерді қанағаттандыратын барлық х-терде мына теңсіздік

орындалса, онда В санын функциясының нүктесіндегі сол жақ шегі деп атайды және мұны былай жазады:

нүктесінің оң жағындағы барлық х-тер үшін, яғни аралығында анықталған функциясын қарастырайық.

А н ы қ т а м а.Алдын ала берілген оң мейлінше аз санына сәйкес саны табылып мына

теңсіздіктерді қанағаттандыратын барлық х-тер үшін келесі теңсіздік

орындалса, онда С санын функциясының нүктесіндегі оң жақ шегі деп атайды және оны былай белгілейді:

М ы с а л - 10. ұмтылғандағы функциясының оң жақ және сол жақ шектерін табайық.

Шешуі.

Оң жақ немесе сол жақ шекті біржақты шек деп атайды. Функцияның нүктедегі шегі мен оң жақтың және сол жақтың шектерінің арасында мынадай байланыс бар:

3-т е о р е м а. функциясының нүктесіндегі шегі бар болу үшін, оның осы нүктедегі оң жақтық, сол жақтық шектерінің бар брлып, олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті. Сонымен қатар бұл үш шектің мәндері бір-біріне тең болады.

Мысал ретінде, f(x)=sgnx функциясын қарастырайық (16-суретті қараңыз). Бұл функцияның x=0 нүктесінде солжақты шектері болады:

Шынында, {x_n} –тізбегі бұл функция аргументінің нөлге жинақты болатын мәндері жиынын және мүшелері x_n>0 болса, онда x_n=1 және болады. Сондықтан, . Осы сияқты болатыны дәлелденеді.

М ы с а л-11.

функциясының x=0 нүктесіндегі біржақты шектерін анықтайық. Бұл функциясының x=0 нүктесінде шегі бола ма?

Шешімі. Функцияның x=0 нүктедегі біржақты шектерін есептейік:

Сонда

Сондықтан, x=0 нүктеде функциясының шегі болмайды.

М ы с а л-12. функциясының жағдайдағы оң жақ және сол жақ шектерін табу керек.

Шешімі. жағдайда, яғни х 3-ке 3-тен кіші бола отырып, ұмтылғанда, функция х-3 теріс мәнге ие болатын шексіз аз шама болады. Бұған кері функция шексіз үлкен болып, ол да теріс мәнге ие болады. функциясы да осындай қасиетке ие. Сондықтан, жағдайдағы және айнымалыларының өзгерісі мына таблицадағыдан көрінеді.

М ы с а л-13. және шектерін табу керек.

Шешімі.Айталық, , онда оң шексіз аз, ал оң шексіз үлкен болады. функциясының анықтамасын еске алып, және жағдайда болатынын ескерсек шек мынаған тең болады:

Егер болса, теріс шексіз аз, ал теріс шексіз үлкен болады. жағдайда болғандықтан,

функциясының бір жақты шектері тең болмағандықтан, ол функцияның шегі болмайды. ▲

М ы с а л-14. нүктеде

Осы функцияның бір жақты шегін табыңдар. Бұл функцияның нүктеде жай /екі жақтық/ шегі бола ма?

Шешімі.Бізде бар. Ал , сондықтан функциясының нүктеде екі жақтық шегі жоқ.

4.Функцияның шектелмеген шектері. Х жиыныда анықталған функциясы беріліп, нүктесі осы жиынның шектік нүктесі болсын.

А н ы қ т а м а. Қандай болмасын мейлінше үлкен саны үшін, Х жиынынан алынған және

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін функцияның сәйкес мәндері

теңсіздігін қанағаттандыратындай саны табылса, функциясының нүктесіндегі немесе ұмтылғандағы шегі шексіздікке тең деп, былай жазамыз:

.

А н ы қ т а м а. Қандай болмасын мейлінше үлкен саны үшін Х жиынынан алынған және теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін функцияның сәйкес мәндері теңсіздігін қанағаттандыратындай саны табылса, функциясының нүктесіндегі шегі плюс шексіздікке тең деп, былай жазамыз:

.

Геометриялық тұрғыдан қарағанда бұл анықтама былай кескінделеді: болатындай х-тің мәндеріне сәйкес графигінің нүктелері түзуінің үстінде жатуы керек (2-сурет). Мұндағы М кез келген үлкен сан, оған сәйкес табылған сан.

А н ы қ т а м а. Қандай болмасын мейлінше үлкен саны үшін,Х жиынынан алынып және теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндеріне сәйкес функциясының мәндері теңсіздігін қанағаттандыратындай саны табылса, функциясының нүктесіндегі шегі -ке теңдеп, былай жазамыз:

.

Геометриялық мағынасы мынадай: абсциссалары теңсіздігін қанағаттандыратын функция графигінің нүктелері түзуінен төмен жатады (3-сурет).

М ы с а л - 15 . жағдайда функциясының шегі шексіздікке тең болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі. Кез келген санын алайық. Енді осы М саны бойынша х-тің теңсіздігін қанағаттандыратын мәндерінің жиынын, яғни М саны бойынша санын табуға болатындығын көрсетуіміз керек. Ол үшін теңсіздікті түрлендіріп

немесе (А)

теңсіздіктерін аламыз. Ал (А) теңсіздіктен үшін санын алуға, яғни берілген М саны бойынша санын табуға, болатындығын байқаймыз. Сонымен (А) шартты қанағаттандыратын х-тер үшін теңсіздік орындалатын болады. Олай болса,

Бұдан функциясы бас нүктеде шексіз үлкен шамаға тең екендігін

байқаймыз.

5.Функцияның шексіздіктегі шектері. Біз функцияның белгілі нүктедегі шегін қарастырдық. Енді функцияның аргумент шексіздікке ұмтылғандағы шегінің анықтамасын берейік. Айталық, шектелмеген D жиынында функциясы берілсін.

А н ы қ т а м а. Егер алдын ала берілген санына сәйкес N саны табылып, х-тің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндері үшін

теңсіздігі орындалатын болса, онда А санын функциясының х шексіздікке ұмтылғандағы шегі дейді және оны

түрінде жазады.

Кейде А санын функциясының шексіздіктегі шегі деп атайды. функциясының шексіздіктегі шегін геометрияша кескіндеуге болады. Ол үшін теңсіздігі өзіне пара-пар

қос теңсіздік түрінде жазып, координаталар жүйесінде түзулерін жүргізейік (х оң мәндер қабылдайды). Сонда анықтамадағы теңсіздігіне байланысты

теңсіздігі орындалады. Басқаша айтқанда, функциясының -дағы шегі А саны болу геометриялық тұрғыдан алғанда, ох осіндегі N нүктесінің оң жағында және N нүктесінің сол жағында жатқан барлық х-терге сәйкес келетін функция графигінің нүктелері және түзулерінің арасында жататындығын көрсетеді (4-сурет).

М ы с а л - 16. болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі. саны алдын ала берілсін. Енді

(А)

теңсіздігі орындалады деп ұйғарсақ, онда одан теңсіздігін алуға болады. Бұдан N саны үшін теңсіздігін алуға болатындығын байқаймыз. Сонда х-тің шартты қанағаттандыратын мәндері үшін (А) теңсіздік орындалады. Олай болса, анықтама бойынша

6.Функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және бөліндісінің шектері туралы теоремалар.

Бұл теоремалар шектерді есептеуді жеңілдетеді. Олар тізбектердің шектері туралы теоремалар тәрізді.

4-т е о р е м а. Егер f(x) және функцияларының нүктесіндегі шектері бар болса, онда олардың алгебралық қосындыларының шегі бар және

теңдігі орындалады.

5-т е о р е м а. Егер f(x) және функцияларының нүктесіндегі шектері бар болса, онда олардың көбейтіндісінің де шегі бар және

теңдігі орындалады.

С а л д а р-1. Тұрақты көбейткішті шек белгісінің алдына шығаруға болады, яғни .

С а л д а р-2. Егер функциясының -дағы шегі болса, онда

. (1)

Шынында да, 2-теореманы шегі бар n функция үшін былай жазуымызға болады:

. (2)

Енді нүктесінің аймағында

болады деп ұйғарсақ, онда (2) теңдіктен (1) шығады.

6-т е о р е м а. Егер және шектері бар болса, онда

шегі бар болады.

Дәлелдемесі. Айталық f(x)=A және болсын. Сонда нүктедегі функция шегі анықтамасынан және болатын аргумент мәндерінің {x} тізбегі үшін f(x)=A және болады. Бұл теңдіктерді және жинақты тізбектің бөліндісі шегі туралы теоремадан теңдігі шығады. Бұдан , яғни . Теорема дәлелденді.

 4-ші және 5-ші теоремалар да осыған ұқсас дәлелденеді.

Функциялардың шегін табуда төмендегі ережелер де ескерілуі керек:

1) болса, онда (1) болады.

Шынында, шексіз аз функция болғандықтан шексіз үлкен, олай болса

2) 2) Егер болса, онда (2) болады.

Шынында, -шексіз үлкен функция болса, онда функциясы шексіз аз болады. Сондықтан

• 3) Егер және болса, онда

болады. Шындығында шексіз аз функция, ал шексіз үлкен, бірақ шексіз аз, сондықтан

Сонымен қатар, барлық негізгі элементар функциялар үшін, олардың анықталу облысындағы кез келген нүктеде мына теңдіктін дұрыс болатынын да ескеру керек.

(5)

М ы с а л -17. Шектерді табу керек.

1)2)

Шешімдері.1) Қосындысынан, айырымның және көбейтіндінің шектері туралы теоремаларды қолдансақ:

2) Шектердің қасиеті бойынша

3) және болғандықтан (5) формуланы пайдалансақ, болады.

4) (4) формула бойынша

5) болғандықтан, (1) формулаға сәйкес болады.

6) болғандықтан, (2) формуланы пайдалансақ,

7) және болғандықтан (3) формулаға сәйкес, болады.

Есептің шығарылуы, шектерді табу үшін, берілген өрнекке аргументтің шектік мәндерін қою керек екендігін көрсетеді. Алайда, өрнекке аргументтің шектік мәнін қою, көпшілік жағдайда түріндегі анықталмағандықтарға алып келеді. Мұндай жағдайлардағы шекті табу, анықталмағандықты айқындау деп аталады. Анықталмағандықты айқындау үшін, шекке көшуден алдын, берілген өрнекті түрлендіріп алады. Енді осы анықталмағандықтарды айқындау тәсілдерін қарастырайық.

Келесі мысалдарды қарастырмастан бұрын, анықталу обылыстары ортақ жиынды тең болатын, ал ортақ емес жиында олар тең болмайтын екі функцияның шектеріне тоқтала кетейік.

Айталық, нүктесі Д: обылысының шекті нүктесі болсын да, функциясы осы нүктеде анықталмасын. жиынының нүктесінде анықталған және ол нүктеде шегі А-ға тең болатын басқа функциясын құрастырайық, ал Д обылысында болсын.

Онда былай болады: .

Шынында, саны бойынша саны табылып, шартты қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады. болғандықтан, . Сондықтан теңсіздік теңсіздігі қанағаттандыратын Д обылысының барлық х-тері үшін де орындалады. Осы х-тер үшін теореманың, шарты бойынша . Олай болса, бұл х-тер үшін теңсіздігі орындалады, яғни

.

Сонымен, біз мына теореманы дәлелдедік.

7-т е о р е м а. Егер функциясы Д обылысының шектік нүктесінде анықталмаса, бірақ осы обылыста болатын функциясы табылса, ал обылысының нүктесінде функциясы анықтавлатын және оның сол нүктедегі шегі А-ға тең болатын болса, онда

. (6)

Бұл теоремадан нүктесінде анықталмаған функциясының шегін табу үшін, сол нүктеде анықталғн және Д обылысында өз ара тең болатын жаңа функция құрып, оның шегін табу керек екендігін байқаймыз. Практикада осы функциясын қалай құруға болатындығын келесі мысал мен түсіндірелік.

М ы с а л -18. функциясының -дағы шегін табу керек.

Шешуі: Аргументтің 1-ге тең шектік мәнінде бөлшектің алымы мен бөлімі нольге айналғандықтан, анықталмағандығы шығады. Сондықтан бөлшектің шегі туралы теореманы бірден пайдалануға болмайды. Берілген функцияны түрлендірелік;

.

, болмағандықтан, -ге қысқартуға болады. Сонымен, нүктесі болмайтын кез келген облыста пен функциялары өз ара тең.

7-теорема бойынша, олардың шектері де өз ара тең.

= 8.

1. немесе -да функциясы екі шексіз аз шамалардың қатынасы түрінде болатын жағдай.

М ы с а л - 19. Шектерді табу керек.

Шешімдері.1) Бұл жерде және болғандықтан, шектер туралы теореманы бірден қолдануға болмайды. Себебі, түріндегі айқындалмағандық болып тұр. Сондықтан функциясын түрлендіруіміз керек. Бөлшектің алымын да, бөлімін де формыласы бойынша көбейткіштерге жіктейміз. Мұндағы мен квадрат үш мүшеліктің түбірлері. Сонда берілген функциясы мына түрге келеді:

болған жағдайда, бөлшектің алымын да, бөлімін де (х-2) -ге қысқартсақ, функциясын аламыз. Сондықтан, нүктесі болмайтын кез келген облыста пен функциялары өзара тең. Демек, олардың -дегі шектері де өзара тең.

Бұл берілген шекті қысқаша былай жазады:

Осы шекті табуда қолданылатын тәсілді түсіндірсек:

Түсіндірме. болғанда бөлшек рационал функцияның алымы да, бөлімі де нөлге айналатын жағдайда шекті табу үшін: 1) бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіші болатындай көбейткіштерге жіктеу; 2) бөлшекті осы көбейткішке қысқарту; 3) қысқартқаннан кейінгі пайда болған өрнектің шегін табу.

2) болса, бөлшектің алымы да, бөлімі де нөлге айналады, демек, түріндегі анықталмағандық болып тұр. Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктейміз:

Бөлшектің алымы 300-ге, ал бөлімі нөлге ұмтылады, яғни бөлімі шексіз аз шама, олай болса қарастырылып, отырған бөлшек-шексіз шама және

3) болғанда, бөлшектің алымы мен бөлімі нөлге айналады. Бөлшекті түрлендіреміз. Ол үшін оның алымын және бөлімін көбейткіштерге жіктейміз. Алымының көбейткіштерге жіктелуі көпмүшелігін -ге бөлу нәтижесінде шығады. Бөлшектің алымын да, бөлімін де қысқартып, шекке өтеміз:

М ы с а л - 20. Шектерді табу керек.

Шешімдері.1) және элементар функциялары болғанда анықталған. Олардың шектері

екендігін анықтаймыз. бөлшегі жағдайда түріндегі анықталмағандық болып тұр. үшін, функциясын теңбе-тең түрлендіру нәтижесінде шегін табуға болатын функциясына көшуіміз керек. Бөлшектің алымын иррационалдықтан құтқару үшін бөлшектің алымы мен бөлімін алымындағы иррационал өрнектің түйіндісіне көбейтеміз.

болғанда бөлшектің - ке қысқартсақ, болады. (6) формула бойынша шекті тапсақ болады. Демек,

Түсіндірме. жағдайда бөлшектің алымы және бөлімі нөлге ұмтылған иррационал өрнектердің анықталмағандықтарын ашу үшін:

1) бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтқарады (немесе алымындағы); 2) ықшамдау арқылы бөлшектің алымында көбейткіші бөліп алынады; 3) бөлшектің алымы мен бөлімін өрнегіне қысқартып, шек табуға көшу.

2)Бұл жерде де түріндегі анықталмағандық екендігін көреміз. Анықталмағандықты айқындау үшін бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтіндісіне көбейтеміз де, одан соң, бөлшекті

-қа қысқартамыз . Сонда шек мынаған тең болады:

3)Мұнда да түріндегі анықталмағандық. Бөлшектің алымын да, бөлімін де қосындынығ болымсыз квадратына көбейтеміз:

Бұл шекті айнымалыны алмастыру арқылы да өрнектеуге болады:

десек, жағдайда

немесе жағдайларда функциясы екі шексіз үлкен функциялардың қатынасы болатын жағдай (жағдай).

М ы с а л - 21. Шектерді табу керек.

1)Бөлшектің шегі туралы теореманы қолдану үшін, бөлшектің алымы және бөлімінің шегі бар болып, бөлімінің шегі нөлге тең болмау керек. Берілген шектегі бөлшектің алымы мен бөлімінің шегі болмағандықтан бұл теореманы қолдануға болмайды. жағдайда бөлшектің алымы да, бөлімі де шексіз үлкен шама. Мұндай шекті есептеу үшін бөлшектің алымын да бөлімін де белгісіздің ең үлкен дәрежесіне бөліп, шекті табуға көшеді:

Себебі:

2) Бөлшектің алымын да және бөлімін -ке бөлеміз:

немесе жағдайда функциясы екі оң шексіз үлкен функциялардың айырмасы түрінде болады (жағдай).Бұл жағдайдағы функцияның шегін табу үшін түрлендіру арқылы немесе біріне келтіреді.

М ы с а л -22 . Шектерді табу керек.

Шешімдері.1) Бұл мысалда түріндегі анықталмағандық болып тұр. Шек таңбасындағы өрнекті өрнегіне көбейтіп және бөлейік:

2) Бөлшектерді шегереміз:

3) Берілген функцияны бөлшек түрінде жазып, одан соң бөлшекті -қа қысқартамыз:

7.Теңсіздіктермен берілетін функциялардың шектері туралы теоремалар.

8-т е о р е м а (аралық функцияның шегі туралы теорема). Егер және нүктесінің белгілі бір төңірегінде, мүмкін х= -тен өзгеше нүктеде, теңсіздіктері орындалатын болса, онда болады.

9-т е о р е м а. Егер f(x) функциясының х= нүктесінде шегі бар және -дің белгілі бір төңірегіндегі барлық х үшін болса, онда болады.

Бұл теоремалар тізбектер туралы теоремалардан келіп шығады.

8. Бірінші тамаша шек.

теңдігін дәлелдейік.

Басқаша айтқанда, 0 санының төңірегінде жататын барлық х үшін теңсіздігі орындалатынын көрсетейік (мұндағы -алдын ала берілген мейлінше аз оң сан). Ол үшін радиусы R-ге дөңгелекте радиандық өлшемі х-ке тең АОВ сүйір бұрышын қарастырайық.

АВ хордасын жүргізейік. А нүктесіндегі жанаманы ОВ радиусымен қиылысқанша созайық. Қиылысу нүктесін С деп белгілейік (24-сурет). Енді ОАВ –ның, ОАВ секторының және ОАС-ның аудандарын салыстырайық.

Олар және болғандықтан, теңсіздіктері орындалады. Теңсіздіктердің барлық мүшелерін санына бөлсек, (1) теңсіздіктері алынады. Мұнда болғандықтан Енді (1) теңсіздіктердің барлық мүшелерін

sin x –ке бөлсек, немесе теңсіздіктері алынады. Соңғы теңсіздіктерді -1-ге көбейтіп, алынған теңсіздіктердің әр бөлігіне 1-ді қоссақ: . Енді 1-cos x өрнегін түрлендірейік:

Бұдан, (1) теңсіздіктерге сәйкес sin x<x болғандықтан 1-cosx=2sin. Сонда Осыдан . х айнымалысы нөлге ұмтылатындықтан, яғни шамасын алдын ала берілген мейлінше аз санынан кіші, яғни болатындай етіп таңдап алуға болады. Демек, Мұнан шектің анықтамасына сәйкес Ал функциясы жұп болғандықтан, бұл шек теңсіздіктерін қанағаттандыратын х-тің мәндері үшін де дұрыс болады.

Бірінші тамаша шектің жәрдемімен басқа да шектерді анықтауға болады.

М ы с а л-23. табу керек.

Шешімі : Берілген бөлшектің алымы мен бөлімін 3-ке көбейтсек,

шығады. 3х-ті у арқылы белгілейік. деген шарт орындалғанда, әрине болады. Сондықтан

М ы с а л-24. табу керек.

Шешімі : Берілген бөлшектің алымы мен бөлімін m-ге көбейтіп, y=mx деп белгілесек, былай болып шығады:

М ы с а л-25. шегін анықтайық.

Шешімі. Бөлшекті түрлендірейік:

М ы с а л-26. шегін есептейік.

Шешімі. Бөлшекті түрлендірейік:

М ы с а л-27. шегін есептейік.

Шешімі. Бөлшектің бөлімінің шегі х0 да нөлге тең. Сондықтан, бөліндінің шегі туралы теореманы қолдана алмаймыз. Берілген бөлшектің шегін анықтау үшін оны түрлендірейік:

Мысал-28. табу керек.

Шешімі : теңбе-тең теңдігін пайдалансақ, сонда былай болады: Жаңадан айнымалы шама енгіземіз. Сонда және

болады. Сонымен,

Мысал-29. табу керек.

Шешімі :

Мысал-30. Шектерді табу керек.

• Шешімдері. 1) Екі бұрыштың косинустарының айырымы және қос бұрыштың синусы үшін формулалардың көмегімен түрлендіреміз. . Сонда, 2) Бұл жерде бірінші тамаша шекті пайдалану үшін, айнымалыны алмастырамыз.

М ы с а л -31. Мына шектерді табу керек.

Шешімдері.1) Бұл өрнек түріндегі анықталмағандық болады. Оны айқындау үшін оны жаңа айнымалы енгізу арқылы түрлендіріп түріндегі бөлшекке келтіреміз: 9. Екінші тамаша шек. Мынадай теңдікті дәлелдейік:

(1)

Мұндағы х шексіз аз, сондықтан шексіз үлкен, демек, (1) теңдіктің сол жағы

анықталмағандығын береді. Бұл теңдікті дәлелдеу үшін, деп алып, мынадай шекті дәлелдеу керек:

. (2)

Бұл теңдікті және жеке-жеке дәлелдейік. Алдымен

теңдігін дәлелдеу керек. Ол үшін әрбір айнымалының мәндерін екі бүтін санның арасына орналастырамыз, яғни . Осы сандардың кері шамалары үшін немесе теңсіздіктерін қанағаттандырады. Енді осы теңсіздіктердің сәйкес бөліктерін теңсіздігін қанағаттандыратын сәйкес сандарымен дәрежелейміз:

.

болғандағы теңсіздіктердің шеткі және мүшелерінің шегін табайық.

Бұдан, болғанда теңсіздіктердің шеткі мүшелерінің шектері өзара тең және е санына ұмтылады, сондықтан тізбектің негізгі теоремасы бойынша теңсіздіктің ортаңғы мүшесі де сол санға ұмтылады, яғни

.

Егер осы теңдікте деп алсақ, онда

түрінде жазуға болады. Бұл шекті екінші тамаша шек деп атайды.

Шек белгісі астындағы өрнектегі х-тің орнына аргументтің шектік мәні қойсақ, дәрежесін аламыз. Орта мектеп математикасында бірдің кез келген, бірақ тұрақты дәрежесі қарастырылатындықтан,бірдің кез келген дәрежесі 1-ге тең деген жағдайды дәрежесіне қолдануға болмайды. дәрежесі 1-ге де, одан басқа да санға тең болатынын төменде көрсетеміз. Сондықтан дәрежесін анықталмағандық дейді. Шек іздегенде осы сияқты анықталмағандық болғанда ғана (1) шекті пайдаланады.

Ескету. (1) теңдік формула болғандықтан, х-тің орнында кез келген -да нольге ұмтылатын функциясы тұрса да дұрыс болады, яғни

(3)

(1) формуланы қолданғанда мыналарды ескеру қажет:

1. формула тек қана не ұмтылғанда дұрыс. х саны басқа санға (х шексіздіктен басқа санға) ұмтылса қолдануға болмайды. Мысалы,

болады.

2. (1) формуланы дәл мағынасында ұғыну керек: жақшаның ішінде шамасы, оның дәрежесі тура х болуы қажет.

М ы с а л-32 .Төмендегі шектерді табу керек.

1)

2)

3)

мұндағы .

4)

мұндағы

М ы с а л - 33. табу керек.

Шешімі :болғандықтан, (3) формулаға сәйкес:

М ы с а л - 34. табу керек.

Шешімі : Өрнекті түрлендіреміз

(3) формуласы бойынша

Сонымен

М ы с а л -35. табу керек.

Шешімі : Жаңадан айнымалы шама енгіземіз. Сонда . Бұдан -да , сондықтан

Сонымен

М ы с а л -36. табу керек.

Шешімі : Бөлшектің алымын және бөлімін 3-ке бөлеміз де, екінші тамаша шек бойынша

М ы с а л - 37. Мына шектерді табу керек:

Шешімдері. 1) десек, болғанда

Себебі,

2)

3)

• 4)

Ескерту: Егер түріндегі мысалдарды шешуде, , ал болып қалса, онда мынадай түрлендірулер жасау ұсынылады:

М ы с а л -38. Шектерді табу керек.

Шешімдері. деп белгілесек, (4) формуланы пайдалансақ:

2) 10. Шексіз аз және үлкен функцияларды салыстыру. нүктесінің аймағында анықталған шексіз аз функциялары берілсін және шексіз аз шамасы нүктесінің аймағында нольге айналмайтын болсын. және функцияларының нольге ұмтылу сипаты әр түрлі болуы, басқаша айтқанда, біреуі екіншісіне қарағанда нольге тезірек ұмтылуы мүмкін. Мысалы -да шексіз аз шамасы шексіз аз шамасына қарағанда нольге тезірек ұмтылады.

 Кейбір зерттеулерде нүктесінің аймағында және шексіз аз шамаларының нольге ұмтылу сипатын өзара салыстыру қажет болады. Оларды салыстыру негізіне

шегі алынады.

А н ы қ т а м а. Егер болса, онда және функцияларын нүктесінің аймағында бірдей ретті шексіз аз шамалар дейді.

Мысал. функциялары нүктесінің аймағында шексіз аз шамалар болады. Ал болғандықтан, олар бірдей ретті шексіз аз шамалар болады.

А н ы қ т а м а. Егер , онда функциясын функциясына қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама дейді немесе функциясы функциясына қарағанда төменгі ретті шексіз аз шама болады. Оны былай белгілейді:

Мысал., функциялары нүктесінің аймағында шексіз аз шамалар болады, ал

болғандықтан, функциясы функциясына қарағанда нүктесінің аймағында жоғарғы ретті шексіз аз шама болады.

Кейбір жағдайлрда шексіз аз шамаларды тек сапа жағынан (жоғарғы, төменгі, бірдей ретті) бағалау (салыстыру) жеткіліксіз болып, оларды сан жағынан да (қанша жоғары немесе төмен) салыстыру қажет болады.

А н ы қ т а м а. Шексіз аз функциясының реті шексіз аз шамасының ретімен бірдей болса (мұндағы және -оң сан), онда ол функциясын, (дәреженің негізі) шексіз аз шамасына қарағанда, -шы ретті шексіз аз шама дейді.

Мысал. функциясы нүктесінің аймағында шексіз аз шама болады. Оны сол нүктенің аймағында шексіз аз шама -нен салыстырайық.

.

Сонымен, шексіз аз шамасы х-ке қарағанда екінші ретті шексіз аз шама болады. (мұндағы ).

А н ы қ т а м а. Егер екі шексіз аз функциялардың -дағы қатынасының шегі бірге тең, яғни

болса, онда ол шексіз аз екі функциялар эквивалент (мәндес) деп аталады. Эквивалент шексіз аз функцияларды былай жазады: (~ -эквиваленттік).

Мысал. нүктесінде және функциялары эквивалент шексіз аз шамалар екендігін дәлелдеу керек.

Шешуі. Мынадай шекті есептейік.

Сонда

Бұдан болатындығын байқаймыз.

Мысал. болғандағы және шамаларын салыстырайық.

Шешуі. Берілген шексіз аз шамалар қатынасының шегін қарастырайық.

Бұдан, шамасы -ке қарағанда жоғары ретті шексіз аз шама болатынын көреміз.

Егер және шексіз аз шамалары қатынасының шегі жоқ болса, онда және салыстыруға болмайтын шексіз аз шамалар.

Мысал. болғанда және шамаларын салыстырайық.

Шешуі. Берілген шексіз аз шамалардың қатынастарының шегі

шектеулі де, шектеусіз де болмайды, сондықтан бұл шамалар салыстыруға келмейді.

Жаттығулар мен есептер:

Шектің анықтамасын пайдаланып, мынадай қатынастарды дәлелдеңіздер(1-10):

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Мына шектерді табыңыздар (11-60):

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. . 48.

49. . 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. . 60..

Жауаптары:

11. 0. 12. –10. 13. 1. 14. . 15. . 16. 0. 17. .18. 0. 19. . 20. - 21. 0. 22. . 23. –2. 24. .25. –2. 26.. 27. . 28. 4. 29. 4. 30. . 31.

32. 33. 2. 34.+. 35. 0. 36.+. 37. . 38. 5/6. 39. –10. 40. 41. 42. 43. 44. 5. 45. –9/10.46. 48. 47. 1/. 48. –1/4. 49. 1/2. 50. . 51. е. 52. . 53. 1. 54.е. 55.е. 56.е. 57. е. 58. е.59.4. 60.

Т Е С Т Т А П С Ы Р М А Л А Р Ы

1.<4 теңсіздігін қанағаттандыратын х айнымалысының өзгерту

облысы қандай?

А) (-4;4) В) (-2;2) С) Д)(-2;2] Е)[-2;4]

2. теңсіздігін қанағаттандыратын х айнымалысының өзгерту облысы

қандай?

A) (0;3) B) [-3;3] C)(- Д)(-9;-9) E)(-3;-3)

3. теңсіздігін қанағаттандыратын х айнымалысының өзгерту облысы

қандай?

A)(- B)(-3;3) C)(- Д) E)[-3;3]

4. теңсіздігін қанағаттандыратын х айнымалысының

өзгерту облысы қандай?

А) [0;4) B)(0;4) C) [0;4] Д) [-2;2) E) (-2;2]

5. функциясының анықталу облысын тап:

А) (;0) В) С)  [ ; +)

Д) Е) (0;+)

6. функциясының анықталу облысын тап:

А) В) С)[2; +) Д) Е)

7. функциясының анықталу облысын тап:

А) В) C)

Д) E)

8. y=ln(-x) функциясының анықталу облысын тап:

А(;0) В)(0;+) C)(-;+) Д) Е)

9. функциясының анықталу облысын тап:

А)(-;+) В) С) Д)(;0) Е)(0;+)

10. функциясының анықталу облысын тап:

А)(;0) В) С) Д)(-;+) Е)(0;+)

11. функциясының анықталу облысын тап:

А)(0;+) В) С) Д)(;0) Е)

12. функциясының анықталу облысын тап:

А) В) С) Д)(;0) Е)(0;+)

13. функциясының анықталу облысын тап:

А) В)(0;+) С) Д)(;0) Е)(-;+)

14. функциясының анықталу облысын табыңыз:

А) В)[0;1] С) [-1;1] Д) Е) (-;+)

15. функциясының анықталу облысын табыңыз:

А)(-;+) В)(-;4] С)[0;+ ) Д)[4;+ ] Е)[1;+ ]

16. функциясының анықталу облысын табыңыз:

А) (-;1/2) В)(-;+) С)(-;1/2] Д)[1/2;+ ] Е) (1/2;+)

17. функциясының анықталу облысын табыңыз:

А) В) С)

Д) Е) Ø

18. функциясының анықталу облысын тап:

А) В) С)[2; +) Д) Е)

19. Шегі бар тізбек:

А)өспелі В)шектелмеген С)шектелген Д)кемімелі Е)монотонды

20. Егерде f(x) функциясы шексіз үлкен болса, онда функциясы:

А)шексіз үлкен В)шексіз кіші С)5-ке тең Д)10-ға тең Е)25-ке тең

21. Тізбектің шегі бар болса, онда ол:

А) төртеу В) екеу С) үшеу Д) жалғыз Е) көп

22. f(x) функциясы өзінің анықталу облысындағы кез келген х үшін

жұп деп аталады, егер:

А)f(-x)=f(x) В)f(-x)=-f(x) C)f (-x)  - f(x) Д)f(x) = 0 E)f(x )

23. f(x) функциясы өзінің анықталу облысындағы кез келген х үшін

тақ деп аталады, егер:

А)f(x) В)f(-x)=f(x) С)f (-x)  - f(x) Д)f(x) =0 Е)f(-x)=-f(x)

24. Бірінші тамаша шектің формуласы:

A) B) C)

Д) E)

25. шегін тап:

А) 0 В) 1 С) 5 Д) 3 Е) 2

26. шегін тап:

А) е В) 0 С) 1 Д) 3 Е) 4

27. шегін тап:

А)3/2 В)3 С)5/2 Д) 7/2 Е)-1/2

28. шегін тап:

А)3 В) 5/3 С) 1 Д) 0 Е) -1/3

29. шегін тап:

А) 2 В) 3 С) 1 Д) 0 Е) 10

30. шегін тап:

А) 27 В) 0 С) 4 Д) 3 Е) 1

31. шегін тап:

А) 16 В) 12 С) 13 Д) 14 Е) 15

32. шегін тап:

А) 0 В) 2 С) 1 Д) 3 Е) 5

33. шегін тап:

А) 7 В) 23 С) 15 Д) 18 Е) 19

34. шегін тап:

А) -1 В) 1 С) 0 Д) -2 Е) 2

35. шегін тап:

А) -1/2 В) -1 С) 1/2 Д) 1 Е) 0

36. шегін тап:

А) 3 В) 0 С) -5 Д) -1/3 Е) 1

37. шегін тап:

А) 0 В) 1/5 С) 2/3 D) 1/8 E) 1

38. функциясының үзіліс нүктелерін тап:

A) x=-2 ,x=2 B) x=4, x=-4 C) x=0, x=1

D) x=3, x=-3 E) x=-1, x=1

39. y= функциясы қай нүктеде үзіліске ұшырайды?

A) x=9 B) x=8 C) x=10 D) x=2 E) x=3

40. y = функциясының үзіліс нүктесін тап:

А) 3 В) 1 С) 2 Д) 4 Е)5

41. у=функциясының үзіліс нүктесін тап:

А)=4,=3 В)=-3, =2 C)=0,=1 Д)=3, =1 E)=0,=0

42. y= функциясының үзіліс нүктесін тап:

А) x=4 B) x=1 C) x=3 Д) x=2 E) x=0

43. шегін тап:

A) 6/5 B)5/6 C) 6 Д) 5 Е)

44. шегін тап:

A) 1/3 B) 2 C) 3 Д) 1/4 E) 2/3

45. шегін тап:

A) -1/2 B)3 C) -2/3 Д)-1/3 E)1/2

46. шегін тап:

A) 2 B) C)3 Д) 0 E) 1

47. шегін тап:

A) 3 B)1 C)2 Д) 0 Е)1/2

48. шегін тап:

A) 6 B)5 C)4 Д)7 E)3

49. шегін тап:

A) - 1 B)-5 C)-3 Д)-2 Е)- 4

50. шегін тап:

А) 2/3 B)3 C) 3/2 Д)1 Е)0

51. шегін тап:

А)- 8 В)- 6 С)5 Д)3 Е)-1

52. шегін тап:

А) 2/3 В)3 С)2 Д) 3/2 Е)1/3

53. шегін тап:

А)3/2 В)3 С)2 Д)1/2 Е)1/3

54. шегін тап:

А) 1/6 В)-1/5 С)1/3 Д)1/5 Е) – 1/6

55. шегін тап:

А) 3/2 В)2 С) 2/3 Д)1/2 Е)1/3

56. шегін тап:

А) 2/5 В)5/2 С)2 Д)1/5 Е)1/2

57. шегін тап:

А) 3 В)2 С) 0 Д) 1 Е) 4

58. шегін тап:

А)3 В)2 С) 1 Д) 0 Е)4

59. шегін тап:

А) 4 В)1 С)3 Д)0 Е) 2

60. шегін тап:

А) 3 В)1 С) 0 Д)2 Е)6

61. шегін тап:

А)1/2 В)1/3 С)1/4 Д)З3 Е)4

62. Функцияның нүктедегі үздіксіздігінің анықтамасын табыңыз:

А) В) С)

Д) Е) Дұрыс жауабы жоқ

63. Функцияның нүктедегі үздіксіздігінің шартын табыңыз:

А) В)

С) Д)

Е)

64. шегін тап:

А) е^3/2 В) е^3/2 С) 2/3 Д) е^-6 Е) 1/8

65. шегін тап:

А) 4 В) -2 С)- 4 Д) 2 Е) 0

66. шегін тап:

А) 0 В) 1 С) 1/6 Д) 1/4 Е) 1/2

67. шегін тап:

А) е В) 0 С) 1 Д) 1/е³ Е) е³

68. есептеңіз:

А)1 В) С) е² Д) е^-1 Е) е

69. шекті есептеңіз:

А) 4 В)4/3 С) -16/3 Д) 0 Е) Болмайды

70. шегін есептеңіздер:

А) 1/4 В) 1/3 С) 1/2 Д) Е) 3

71. шегін есептеңіздер:

А) В) е^х С) е^3х Д) 0 Е) е⁶

72. шегін есептеңіздер:

А) е В) 4 С) е³ Д) е⁴ Е) е^-3

73. шегін есептеңіздер:

А) 0 В)1/2 С) 1/8 Д)1/4 Е) 1

74. шегін есептеңіздер:

А) 0 В) 1 С) - Д) + Е) болмайды

75. Бірінші тамаша шекті тап:

А) В) С)

Д) Е)

76. Төмендегі формулалардың қайсысы дұрыс:

А) В)С)

Д) Е)

77. Берілген функциялардың қайсысы тақ?

А)y=x³cosx В) С)y=sin²x Д)y=x²+sinx Е)y=xsinx

78.Функцияның үзіліс нүктесін тап :

А) үзіліс нүктесі жоқ

В) x=-2 – бірінші текті үзіліс нүктесі

С) x=2 – екінші текті үзіліс нүктесі

Д) x=2 – бірінші текті үзіліс нүктесі

Е) x=0 – үзіліс нүктесі

79.А{1;5;9;10} и В{3;5;9;11} жиындарының бірігуін(қосындысын) табыңыз.

А) В) {5;9} С) {3;11} Д) {1;10} Е) {1;3;5;9;10;11}

80. Шексіз үлкен шаманың шегі нолге тең емес функцияға

көбейтіндісі неге тең?

А) Шексіз үлкен шамаға В) Тұрақты шамаға С)Нольге

Д)Шексіз аз шамаға Е)Айнымалы шамаға

81. y=3x-1сызықтық функция үшін х аргументі 1 шамасына өскенде у

функциясының өзгеруін анықтаныз.

А) -1 В) 3 С) 1 Д) 2 Е) -1/3

82.Екі шексіз аз шамалар эквиваленті деп аталады, егер олардың

қатынасының шегі ... болдса.

А) В) const С) 1 Д) e Е) 0

83. Екінші тамаша шекті көрсетіңіз:

А) В) С)

Д) Е)

84. х аргументы нольге ұмтылғанда функциясының

шегі:

А)1 В) е² С) шексіздік Д) е саны Е) ноль

85. k-ның қандай мәнінде f(x)=(k-2)x+3k-4 функциясы жұп болады:

А) В) 2 С) Д) Е) 4

86. {a_n}тізбегі шексіз үлкен болады,егер…

А) В) С)

Д) Е)

87. Саны ақырлы шексіз аз шамалардың алгебралық қосындысы неге

тең?

А)Айнымалы шамаға; В)Шексіз аз шамаға;

С)Шексіз үлкен шамаға; Д)Тұрақты шамаға; Е)Нольге

88.Айталық f(x)=x², .Күрделі функция құрыңыз

А) x³-1 В) x²-1 С) x²(x-1)² Д) x²+x-1 Е) x²-2x+1

89. Х обылысында функция өспелі деп аталады, егер кез келген

х₁,х₂үшін х₁<х₂ теңсіздігінен

А) f(x₁) f(x₂) В) f(x₁)f(x₂) С) f(x₁)< f(x₂)

Д) f(x₁) >f(x₂) Е) f(x₁) f(x₂)<0

90. шегін тап:

А) 2 В)10,5 С) 0 Д) 5,5 Е) Болмайды

91. Шексіз үлкен шаманы табыңыз:

А) В)

С) Д)

Е)

92. шегін тап:

А) 2/3 В) - 2/3 С) 0 Д) Е) Болмайды

93. болса, f(0)-ді табыңдар:

А) 4 В) 2 С) 2/5 Д) 3 Е) 1

94. шегін тап:

А) 1/2 В) 1 С) 1/3 Д) 2 Е) 8

95. функциясының үзіліс нүктелерін табыңыз:

А) х₁=-3; х₂=2 В) х₁=--2; х₂=-3 С) х₁=1; х₂=0

Д) х₁=-3; х₂=1 Е) х₁=1; х₂=2

96. шегін есептеңіз:

А) 1/14 В) 1/4 С) 1/16 Д) 0 Е) Болмайды

97. шегін тап:

А) 1/2 В) 0 С) 2 Д) Е) Болмайды

98. шегін тап:

А) 0 В) С) 1 Д) 3 Е) 4

99. болса, f(1/2)-ді табыңдар:

А) 3/4 В) 0 С) 1 Д) 0,5 Е) -1

100. функциясының үзіліс нүктелерін табыңыз:

А) х₁=-2; х₂=3 В) х₁=-3; х₂=-2 С) х₁=-2

Д) х₁=2; х₂=-3 Е) х₁=0; х₁=3

101. шегін тап:

А) 5/8 В) 3/4 С) 3/8 Д) 2/3 Е) 1

102. шегін есептеңдер:

А) 2/3 В) С) -1 Д) 0 Е) Болмайды

103. {d_n} –шексіз кіші шама болса,онда

А) В) С)

Д) Е) шек Болмайды

104. {a_n}тізбегі шенелген деп аталады,егер М саны табылып, кез

келген nN үшін төмендегі теңсіздік орындалады:

А) В) С) Д) Е)

105. табыңыз, егер А 1; 4; 12; 37; 40, В 4; 11; 12; 40

болса

А) 1; 4; 12; 37 В) 1; 4; 40 С) 4; 12; 40

Д) 12; 37; 40 Е) 4; 11; 1; 12; 40

106. табыңыз, егер А 5; 9; 12; 30, В 1; 7; 12 болса

А) 5; 12; 30 В)5; 9; 12 С) 9; 12; 30

Д) 5; 9; 30 Е) 5; 30

107. табыңыз, егер А 1; 5; 9; 10, В 3; 5; 9; 11 болса

А)1; 3; 5; 10; 11 В)1; 3; 5; 9; 10; 11 С)3; 5; 9; 10; 11

Д)1; 3; 9; 10 Е)1; 5; 10; 11

108. Шекті табыңыз:

А) -4 В) -3 С) -2 Д) 3 Е) 4

109. Шекті табыңыз:

А) 0 В) 3 С) 2 Д) 1 Е) 4

110. Шекті табыңыз:

А) 3 В) 0 С) 1 Д) 2 Е) 1/2

111. Шекті табыңыз:

А) -1/4 В) 1/2 С) 4 Д) 1/4 Е) 1

112. Шекті табыңыз:

А) е³ В) е⁴ С) е² Д) е^-4 Е) е^-3

113. Шекті табыңыз:

А) е³ В) е⁴ С) е^-3 Д) е^-4 Е) е

114. Шекті табыңыз:

А) -1/8 В) 1/7 С) 8 Д) 7 Е) 1/8

115. Шекті табыңыз:

А)4 В) -3 С) -4 Д) 3 Е) 1

116. Шекті табыңыз:

А) -1 В) 1 С) -2 Д) 2 Е) 0

117. Шекті табыңыз:

А) 1/15 В) 1/16 С) 16 Д) 15 Е) 1/3

118. Шекті табыңыз:

А) е^-3 В) е^-2 С) е Д) 1/е Е) 1

119. Шекті табыңыз:

А) 16/3 В) -16 С) 3 Д) 15/3 Е) -16/3

120. Шекті табыңыз:

А) е² В) е С) 1/е Д) Е) 1

121. Шекті табыңыз:

А)7 В) С) Д) 5 Е)

122. Шекті табыңыз:

А) В) С) Д) Е) 3

123. Шекті табыңыз:

А)  В) ½ С) 1 Д) 2 Е) 4

124. Шекті табыңыз:

А)0 В) 2 С) 3 Д) 3/2 Е) 

125. Шекті табыңыз:

А) 1 В) 2 С) 0 Д) 1/2 Е) -1

126. Шексіз үлкен шаманың шегі нөлге тең емес функцияға

көбейтіндісі неге тең?

А) Шексіз үлкен шамаға В)Айнымалы шамаға;

С)Шексіз аз шамаға; Д) Тұрақты шамаға; Е) Нольге.

127. Шекті табыңыз:

А) 2 В) -1 С) 1 Д) -2 Е) 1/2

128. Шекті табыңыз:

А) -2 В) 2 С) -3 Д) 3 Е) 1

129. Шекті табыңыз:

А) 1 В) 3 С) 5 Д) 5/3 Е) 3/5

130. Шекті табыңыз:

А) 1/4 В) 1 С) -1/4 Д) -1 Е) 0

131. теңсіздігінің өзгеру облысын табыңыз ?

А) В) С) Д) Е)

132. Шекті табыңыз:

А) 6,5 В) 5,5 С) 4,5 Д) 3,5 Е) 2,5

133. Шекті табыңыз:

А) -1 В) 1 С) 1/2 Д) 0 Е) -1/2

134. Шекті табыңыз:

А) е^-6 В) е^-5 С) е^-4 Д) е^-8 Е) е

135. Шекті табыңыз:

А) 1/е⁵ В) 1/е² С) 1/е Д) 1/е⁴ Е) 1/е³

136. Сызықты f (x) функцияны табыңдар, егер

болса

А)-х/3+2 В)х/5 С) х/2 -4 Д) 5х+10 Е) -х/2+2

137. Келесі тізбектердің қайысы шектелген?

1).2).3).4).5)n

А) 1,2,4. В) 1,5 С) 2,3 Д) 3,5 Е) 3,4,5

138. Жинақты сан тізбегіне мына теңдік орындалады:

А)

В)

С)

Д)

Е)

139. А саны функциясының шегі деп аталады, егер

кезкелген саны үшін саны табылып , мына теңсіздік

орындалады:

А) болса болады.

В) болса болады.

С) болса болады.

Д) болса болады.

Е) болса болады.

140. y = 2x+3 функциясына кері функцияны тап?

А) В) С) x = y-3. Д) y+3. Е) x = 2y+3.

141. Шекті табыңыз:

А) 3 В) 3/8 С) 8/3 Д) 8 Е) 16/5

142. Шекті табыңыз:

А) -3 В) +1/3 С) -1 Д) -1/3 Е) 3

143. Шекті табыңыз:

А) 6 В) -5 С) 2 Д) -2 Е) 5

144. Шекті табыңыз:

А) 5 В) 7 С) 2 Д) 4 Е) 0

145. функциясына кері функцияны тап?

А) В) С)

Д) Е) 6

146. -тің қандай мәнінде f (x) = (-2) x+3 - 4 функциясы жұп

болады?

А) 1 В) 2 С) -2 Д) -1 Е) 0

147. функциясы қай нүктеде анықталмаған.

А) 1 В) 0 С) 2 Д) -2 және 2 Е) -1

148. функциясы үздіксіз болатын интервалын табыңыз.

А)(-; 4) В) (4; + ) С) (-; 4)  (4; +)

Д) (-; +) Е) (0; 4)

149. функциясы үздіксіз болатын интервалын табыңыз.

А) (-1; 1) В) (-; -1)  (-1; +) С) (-; +)

Д) (-; -1) Е) (0; 1)

150. функциясы үздіксіз болатын интервалын табыңыз.

А) (-1; 1) В) (1; +) С) (-; -1)

Д) (-; -1)  (-1; 1)  (1; +) Е) (0; 1)

151. функциясы қай нүктеде анықталмаған.

А) 0 В) 1 С) -1 Д) 2 Е) -2

152. Шекті табыңыз:

А) е² В) е^-2 С) -2 Д) 2 Е) 1

153. Шекті табыңыз:

А) 1 В) е С) е² Д) 2 Е) 0

154. Шекті табыңыз:

А) 1 В) е^2/3 С) 2 Д)  Е) 0

Д ұ р ы с ж а у а п т а р ы:

1.А 2.В 3.А 4.С 5.Д 6.Е 7.В 8.А 9.С 10.Д 11.Е 12.А 13.В 14.С 15.Д 16.Е 17.А 18.Е 19.С 20.В 21.Д 22.А 23.Е 24.С 25.В 26.А 27.Д 28.Е 29.С 30.В 31.А 32.Д 33.Е34.С 35.В 36.А 37.Д 38.А 39.Е 40.С 41.В 42.Д 43.А 44.Е 45.С 46.В 47.Д 48.А49.Е 50.С 51.В 52.Д 53.А 54.Е 55.С 56.В 57.Д 58.А 59.Е 60.С 61.В 62.А 63.Е 64.Д65.С 66.В 67.А 68.Е 69.Д 70.С 71.В 72.А 73.Е 74.Д 75.С 76.В 77.А 78.С 79.Д80.А 81.В 82.Е 83.С 84.Д 85.А 86.А 87.В 88.Е 89.С 90.Д 91.А 92.В 93.Е 94.С95.А 96.Д 97.В 98.Е 99.С 100.А 101.Д 102.В 103.А 104.Е 105.С 106.Д 107.В108.А 109.Е 110.С 111.Д 112.В 113.А 114.Е 115.С 116.Д 117.В 118.А 119.Е120.С 121.Е 122.В 123.А 124.Е 125.С 126.А 127.В 128.Д 129.Е 130.С 131.А132.В 133.Д 134.А 135.Е 136.С 137.А 138.А 139.В 140.С 141.С 142.Д 143.Е 144.А 145.Д 146.В 147.А 148.С 149.В 150.Д 151.Е 152.А 153.С 154.В

Пайдаланылған әдебиеттер

• Қаратаев Ж.Жұмабеков Л.Рахымбек Д. Қолдасов Т.Анализге кіріспе және бір айнымалы функция дифференциалының есептерін шығаруға жетекші оқу құралы. Шымкент, Облтипография, 1994, 167б.
• Қаратаев Ж. Досыбеков Қ. Жоғары математика (Дифференциалдық есептеулер).Шымкент, 1997, 136 б.
• Есмұханов. М.Е. Функцияның нүктедегі шегі. Алматы, «Мектеп», 1971.
• Төлегенов. Б.Т. Математикалық анализден лекциялар курсы. 1-бөлім. Алматы, 1973.
• Байбазаров М.Б.Ершібаев.Ө.Д.Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. Алматы «Білім» 1995.
• Жәутіков. О.А. Жоғары математикаға кіріспе. Алматы, 1984.
• Қабдықайров Қ. Есембаева. Р. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. Алматы, «Мектеп», 1985.
• Темірғалиев Н. Математикалық анализ, Алматы, «Мектеп», 1987.
• Кручкович Г.И идр. Сборник задач по курсу высшей математики.
• Москва, «Высшая школа», 1973.
• Әжібеков Қ.Ж.Әшірбаев Н.Қ. Қаратаев Ж. Жоғары математика есептері мен жаттығулары. Шымкент, ОҚМУ, 2005ж.276.
• Шипачев В.С. Задачник по высшей математике.Москва, «Высшая школа», 2002, 248с.
• Писккнов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. т.1, Москва, «Наука», 1968, 552с.
• Көпеш Б.Әшірбаев Н.Қ. Жоғара математика курсының негіздері. Шымкент, Нұрлыбейне баспасы, 2005, 282б.
• А.П. Рябушко и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Минск «Высшая школа» 1990.