Функцияның нүктедегі шегі. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ................................................................................................................3

1 ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК ЖОЛДАРЫ..............................................................................6

2 ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ МАҒЫНАСЫ.......................................................................................................13

3 Элементар функциялардың шегін табу...............................21

ҚОРЫТЫНДЫ...................................................................................................28

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ..............................................29

 КІРІСПЕ

 Шек ұғымы– өте терең ұғым. Шек ұғымы математикада кеңінен ХVІІ ғасырдан бастап қолданылса да, оның дәл анықтамасы ХІХ ғасырда ғана (дәл айтқанда, 1821 жылы) берілген еді. Бұның бір себебі әуелі тәуелсіз айнымалыны, сосын тәуелді айнымалыны қарастыру қажет деп жаңылыс ойлау болды.

 Lim белгіленуі – латынның limes (меже, шекара) деген сөзінің қысқарған түрі: мысалы, -ті кеміте отырып, біз мәнін «шекарасына» ұмтыламыз. «Шек» терминін Ньютон енгізген. Бұл ұғым интуитивті деңгейде XVII ғасырдың екінші жартысында ағылшын физиктерінің, математик және атроном И.Ньютонның, XVIІІ ғасырда неміс және орыс математиктерінің, Л.Эйлердің, француз математигі Жозеф Луи Лагранждың еңбектерінде кездесті. Алғаш рет шек ұғымының қатаң анықтамасын берген 1810 жылы чеш ғалымы математик, философ Бернард Больцано (1781-1848) және 1821 жылы Огустен Коши (1789-1857) берді. Қазіргі кезде шектер теориясы экономикалық есептеулерде, қаржылық мәселелерде, сондай-ақ банк жүйесінде де үлкен сұранысқа ие болап, қарқынды қолданылуда. Шекті қолдану арқылы кез келген үзіліссіз процестерді есептеуге болады.

Кейбір жағдайларда, қосылғыштардың шектеусіз санын ескермей тастап кетіп, көпмүшелермен берілген функциялар жап-жақсы жуықтау беретін формула шығарып алуға болады екен.

2) Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік беретін қуатты жаңа әдістердің пайда болуынан туған ынта XVIIІ ғасырда анализдің қарқынды дамуына сбепші болады. Алайда осы ғасырдың соңында дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жасауда аса өткін проблемалар пайда болды.

Негізгі қиыншылық мынада еді: шек, үздіксіздік, нақты сан сияқты терминдердің дәл анықтамалары болмады, осыған сәйкес пайымдауларды логикалық жағынан олқылықтар, кейде қателіктер де болды. Бұған тән мысал – үздіксіздік қасиеті. Эйлер, Лагранж тіпті Фурье (ол ХІХ ғасырдың басында жұмыс істеген) өзінің анықталу облысында бір ғана аналтикалық өрнекпен берілетін функцияны үздіксіз деп атады.

Осы жағдайлардан «жаңа» математика грек математиктерінің классикалық үлгісінде тәрбиеленген ғалымдар үшін үйреншікті қатаңдық стандартына сай келе алмады. Математиктерге аса қажетті и нтуиция математикалық ғылымның бөлінбейтін сипттамасы болып табылатын логикадан едәуір озып кетті. Ньютон, Лейбниц, Эйлер сияқты алыптардың данышпандық интуициясы оларды қателесуден сақтап қалды. Бірақ, қалайда берік логикалық негіз қажет болды.

XVIIІ ғасырға қатысты ерекше екі пікір болды. Белгілі математик М.Ролль жаңа есептеу данышпандық қателердің жиынтығы деп жазды. Ал француздың ұлы ойшысы Вольтер бұл есептеу дегеніміз есептеп шығаруға және бар жоғын дәлелдеуге болмайтын затты дәл өлшеу өнері екенін ескерткен-ді.

Анализдің берік іргетасын қалауға шешуші қадамды өткен ғасырдың

20-жылдарында француз ғалымы О.Коши жасаған еді, ол функция мен тізбек шектерінің дәл анықтамаларын ұсынды және соларды негіз ете отырып, анализдің көптеген іргелі теоремаларын дәлелдеді. Бұдан біршама бұрын чех математигі Б.Больцано шек пен үздіксіздіктің анықтамасын, басқа да, бірқатар тамаша нәтижелерге, соның ішінде аралықта үздіксіз, бірақ оның ешбір нүктесінде туындысы болмайтын функцияның мысалы бар екеніне қол жеткізген еді, бірақ оның жұмыстары көп кейін белгілі болды.

Функция шегінің Коши берген анықтамасы былай тұжырымдалады: «Егер кез келген саны үшін нүктесінің аймағы табылып, осы аймақтағы әрбір үшін

теңсіздігі орындалса, онда А санын функциясының нүктесіндегі шегі деп атайды». Оны былай жазады: және оны «х а –ға ұмтылғандағы функциясының шегі А-ға тең » деп оқиды.

Сонымен, егер болса, онда функциясы нүктесінде анықталуы міндетті емес. Жалпы егер мәні анықталған болса да, А саны мен мәндері бір-біріне байланысты емес. Кейбір жағдайларды , яғни теңдігі орындалуы мүмкін. Ал кейбір жағдайларда теңсіздігі орындалуы да мүмкін.

Осы анықтамаға сүйеніп, функцияның нүктедегі үздіксіздігіне анықтама беру қиын емес: егер болса, онда f функциясын нүктесінде үздіксіз болады.

Тізбек шегінің анықтамасы былай тұжырымдалады: «Егер кез келген саны үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін

(2)

теңсіздігі орындалса, онда функциясының нүктесіндегі туындысы болады деп есептейміз».

Коши шектер туралы мынадай теоремаларды дәлелденген, оларды біз туындыларды есептеген кезде пайдаланғамыз (оларды шекке көшу ережелері деп атаған едік).

Егер және шектері бар болса, онда шегі де бар болады және мына теңдік орындалады:

Бұл теорема қосылғыштар саны шектеулі болған жағдай үшін де орындалады.

Егер және шектері бар болса, онда шегі де бар болады және мына теңдік орындалады:

Егер және шектері бар болса, онда шегі де бар болады және теңдігі орындалады.

«Кошише» (көбінесе «эпсилон-дельта тілінде» деп атайды).

жиынында анықталған функциясы мен нақты саны берілсін.

Егер белгілі бір нақты саны мен кез келген оң саны үшін функциясының анықталу жиынында жааттын және

Теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда функциясының -ға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол санына тең дейді де немесе символдарымен белгілейді.

XVII ғасырда математиктердің көбінің ұраны мынадай болған: «Алға қарай қозғала беріңдер, ал нәтижелердің дұрыстығына сенім өзінен-өзі келеді».

1 ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ ТАҚЫРЫБЫН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК ЖОЛДАРЫ

Функцияның шегі мен оның үзіліссіздігі ұғымы мектептің математика курсындағы оқушылар үшін меңгеруі күрделі ұғымдардың бірі.

Кейбір оқу құралдарында, алдымен үзіліссіздіктің анықтамасы енгізіледі. Біздің оқулықта алдымен функцияның шегі ұғымы енгізілген, функцияның үзіліссіздігі шектің негізінде беріледі.

Шек пен үзіліссіздік ұғымдарын енгізілетін дайындық жұмысының бағытын анықтау үшін осы тақырыпты оқу барысында оқушыларға қандай білік, дағдыларды меңгеретінін талдап аламыз.

Функция ұғымына қатысты оқушылар функцияның анықтамасын, оның берілу тәсілдерін, жеке жағдайда анықталу облысындағы әр түрлі аралықтарда бірнеше формуламен берілуін білуі қажет. Олар символдық белгілеулерді және мысал ретінде келтірілетін функциялардың (сызықтық, квадраттық, бүтін көрсеткішті дәрежелі функциялар, т.б.) графиктерін сала білуі тиіс.

Бұл білім мен біліктер алгебра курсындағы функционалдық желіні оқып-үйрену барысында бірте-бірте жинақталады.

Функцияларды үзіліссіздікке зерттеген кезде мүмкіндігінше графиктік иллюстрацияны қолданған жөн.

Оқушылар функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің анықтамасын алғанынша оның төмендегі үш компонентін (белгісін) әрдайым атап айтып отыру керек:

• функция нүктесінде анықталған болуын;
• нүктесінде функцияның шегінің бар болуын;
• нүктесіндегі шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болуын, яғни

 Егер осы шарттардың бірі орындалмаған жағдайда, функция нүктесінде үзіліссіз болмайды немесе басқаша айтқанда, нүктесінде үзілісті деп аталады.

 Туынды ұғымын енгізер кезде мұғалім оқушылармен бірге сызықты функцияның анықтамасын, оның графигінің түрін және ординат осіне параллель емес барлық түзу қайсыбір сызықтық функцияның графигі болып табылады деген тұжырымды еске түсіреді. Оқушыларда түзу мен абцисса осінің оң бағытының арасындағы бұрыштар түзудің көлбеулік бұрышы деп аталатыны туралы айқын түсінік болуы керек.

 Алдымен аргументтің өсімшесі және функцияның өсімшесі ұғымдары енгізіледі, олар деп белгіленеді. белгісі «айырым» сөзі орнына қолданылатынын және оны айнымалының белгісінен бөліп қарастыруға болатыны оқушыларға ескертіледі.

 Енгізілген анықтаманы бекітуге берілген жаттығулардың ішінде аргументтің нүктесіндегі өсімшесіне сәйкес келетін функциясы өсімшесін табу, қатынасын анықтау талап есептердің болуы міндетті. -ті нақты жағдай табу үшін маңызды.

  қатынасын -тің функциясы ретінде қарастырылатын ескертіп кеткен жөн, өйткені туындыны енгізгенде осы функцияның шегін табу қажет болады.

Функция ұғымына келтірілетін есептер

1-мысал. Айталық, қандай да бір М материалдық нүкте түзу сызық бойымен қозғалатын болсын. Онда t уақытының әрбір мәніне М материалдық нүктесінің жүріп өткен жолының ұзындығын сәйкес қоялық. Сонда бұл сәйкестік бірмәнді болғандықтан, белгілі бір функцияны анықтайды, яғни жүрілген жол s-ті t уақытта тәуелді функция ретінде қарастыруға болады:

. (1)

1-сурет.

Осыдан f функционалдық тәуелділікті біле отырып, M материалдық нүктесінің t уақытта қаншалықты жол жүргенін табуға болады 1-сурет.

f(t) функциясы M материалдық нүктесінің қозғалыс заңдылығын береді. Егер M материалдық нүкте бірқалыпты қозғалыста болса, яғни ол бірдей уақыт аралықтарында ұзындықтары бірдей жол жүріп отетіндей болса, онда бұл қозғалыстың жылдамдығы тұрақты болады. Ал егер дене бірқалыпты емес қозғалыста болса, онда оның жылдамдығы тұрақты болмай, өзгеріп отырады. Мысалы, дененің еркін түсу қозғалысының жылдамдығы тұрақты емес. Сондықтан мұндай қозғалыстар ретінде лездік жылдамдық ұғымын қарастырады. Бұл ұғымды қарастырудың алдында дененің белгілі бір уақыт аралығындағы орташа жылдамдығы ұғымын қарастырайық.

Анықтама. Айталық, материалдық нүкте s=f(t) заңымен қозғалсын. Егер , болса, онда

(2)

өрнегін -ден -ге дейінгі уақыт аралығындағы қозғалыстың орташа жылдамдығы деп атаймыз.

Қозғалыстың әр түрлі кезеңдеріндегі жылдамдықтары әр түрлі болуы айқын. Мысалы, автомобильдің жылдамдығы жөніндесөз қозғайтын болсақ, онда оның белгілі бір уақыт аралығында жүріп откен жолындағы орташа жылдамдығын аламыз. Бірақ автомобиль жолдың кейбір жерлерінде қозғалысын баяулатуы, ал кейбір жерлерінде үдету мүмкін. Сонымен, жалпы алғанда, әр түрлі уақыт аралықтарында автомобильдің орташа жылдамдықтары әр түрлі болады. Осы сияқты дененің еркін түсуі формуласымен анықталатынын білеміз. Мұнда s жолы метрмен, t уақыты секундпен өлшенеді және .

Сонда дене алғашқы 1 секунда м жол жүреді. Ал сек және сек аралығында дене м жол жүреді. Сондықтан дененің еркін түсу қозғалысы бірқалыпты қозғалыс болмайды.

Техника мен жаратылыстанудың көптеген мәселелерін шешуде бізге дененің орташа жылдамдығы емес, оның лездік жылдамдығын білу қажет болады. Енді осы түсінікті анықтайық. Айталық, дене s=f(t) заңдылығымен қозғалатын болсын. нүктесінде өсімшесін беріп, мен уақыттары аралығындағы дененің орташа жылдамдығын табайық:

.

Онда дененің уақытындағы лездік жылдамдығы деп, оның мен уақыттары аралығындағы орташа жылдамдығының ұмтылғандағы шегін айтамыз:

(3)

немесе болатынын ескерсек,

()

теңдігін аламыз, яғни уақтындағы дененің лездік жылдамдығы s=f(t) функциясының нүктесіндегі өсімшесіне қатынасының ұмтылғандағы шегімен анықталады.

Мысалы, дененің еркін түсу қозғалысының уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығын анықтайық.

.

2-мысал. функциясы нүктесінің маңында анықталған болсын. Егер нүктесінде осы функция графигіне жанама жүргізу мүмкін болса,

онда осы жанама теңдеуін жазу керек. Ол үшін, алдымен қисыққа жүргізілген

жанама түсінігін анықтап алайық.

2-сурет.

функциясының графигінен және нүктелерін алайық. Онда түзуі осы қисыққа жүргізілген қиюшы деп аталады

(2- сурет).

Анықтама. Қисық бойымен М нүктесіне ұмтылғандағы қиюшысының алатын шектік түзуін функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанама деп атайды.

Осы анықтамада М нүкетесі нүктесіне ұмытлады дегеннің орнына деп алса, жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда болатыны түсінікті және керісінше, шартынан шарты шығады.

Енді түзуінің теңдеуін жазайық. Егер арқылы түзуінің кез келген нүктесінің координаталарын белгілесек, онда екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі бойынша

немесе (4)

теңдеуін аламыз. Егер , деп белгілесек, онда функция өсімшесіне тең болады. Сонда қиюшысының (4) теңдеуі мына түрде жазылады:

. ()

Онда анықтама бойынша (4) (немесе () ) теңдеуінен ұмтылғанда жанаманың теңдеуін аламыз:

. (5)

мұнда

. (6)

Сонымен қарастырылған екі мысалда

шегінің маңызды рөл атқаратынын көрдік. Осы шекті функцияның нүктесіндегі туындысы деп атайды.

Анықтама. Айталық, функциясы нүктесінің маңында анықталсын. Онда, егер қатынасының ұмтылғанда шегі бар болса, онда бұл шекті функциясының нүктесіндегі туындысы деп атайды. Оны былай белгілейді: ; ; ; .

Сонымен,

(7)

(-«эф штрих» деп оқылады).

Егер , белгілеуін енгісек, онда (7) анықтаманы былай жазуға болады:

. ()

Ал функция өсімшесі екенін ескерсек, онда функция туындысының анықтамасын былай жазамыз:

. ()

Егер функциясы аралығының (мұнда , болуыда мүмкін) әрбір нүктесінде туындысы бар болса, онда бұл функцияны аралығында дифференциалды деп атаймыз. Жалпы, функцияның берілген нүктедегі туындысын анықтау процесін функцияны дифференциалдау деп атайды. Сонымен, егер болса, онда () теңдікпен аралығында функция анықталғандығы түсінікті. Бұл функциясын берілген функциясының аралығындағы туындысы деп атайды.

Енді жоғарыда қарастырылған екі мысалдан туынды ұғымының механикалық және геометриялық мағаналары алынды.

Егер материалдық нүкте заңымен түзу сызық бойымен қозғалатын болса, онда 1-мысал бойынша уақтындағы материалдық нүктенің лездік жылдамдығы

теңдігімен анықталады. Олай болса,

(8)

яғни жолынан алынған туынды қозғалыс жылдамдығына тең.

Ал 2-мысалдан функциясының нүктесінде жүргізілген жанама (2-сурет) теңдеуі түрінде жазылатындығы және жанаманың k бұрыштық коэффициенті

формуласымен анықталатындығын көрдік. Онда функция туындысының анықтамасы бойынша . Яғни функциясының нүктесіндегі туындысы осы функцияның графигіне нүктесінде жүргізілген жанама түзуінің бұрыштық коэффициентіне тең. Егер жанама осінің оң бағытымен бұрышымен қиылысатын болса, онда болатынын геометрия курысынан жақсы білеміз. Сонда . Сонымен немесе теңдіктерімен туындының геометриялық мағынасы анықталады.

Енді туындыны анықтауға бірнеше мысал қарастырайық.

3-мысал. тұрақты функцияның х нүктесіндегі туындысын табу қажет.

Шешуі.Алдымен бұл функцияның өсімшесін анықтайық:

. Сонда, . Яғни , тұрақты функцияның туындысы 0-ге тең.

4-мысал. функциясының туындысын табу керек.

Шешуі.. Сонда .

5-мысал. функциясының туындысын табу керек.

Шешуі..

Осыдан

.

Сонымен, .

6-мысал. функциясының туындысын табу керек.

Шешуі.

болғандықтан, жағдайында . Сондықтан .

Егер болса, онда . Олай болса, .

Енді бұл функцияның нүктесінде туындысы болмайтынын көрсетелік. нүктесінде функцияның өсімшесі болады. Онда шегі анықталмайды. Өйткені , , яғни қатынасының сол және оң жақты шектері өзара тең емес.

2 ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ МАҒЫНАСЫ

Айталық, функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын. Онда теңдігінен және шектің анықтамасы бойынша

(9)

теңдігін аламыз. Мұнда - шексіз аз шама: . Осыдан (1) теңдіктен -ке көбейту арқылы

(10)

теңдігін аламыз. Сонымен, біз нүктесінде дифференциалданатын функциясының өсімшесін , , түрінде жазуға болатынын көрсетттік.

Енді керісінше, функциясының нүктесіндегі өсімшесін

, (11)

(мұнда , егер ) түрінде жазуға мүмкін болса, онда функциясы нүктесінде дифференциалданатын және оның туындысы болатынын көрсетейік. Шынында да, (11) теңдікті -ке бөліп, , ұмтылғандашекке көшейік:

Сонымен біз мынандай деректі дәлелдедік: функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда функцияның нүктесіндегі өсімшесі (11) түрінде жазылатын керісінше, егер функцияның өсімшесі нүктесінде (11) түрінде жазылса, онда функция осы нүктеде дифференциалданады.

Анықтама. нүктесіндегі функциясы өсімшесінің -ке қатысты сызықтық бөлігін функцияның нүктесіндегі дифференциалы деп атайды. Оны былай белгілейді: , . Сонымен,

.

функциясының дифференсиалын анықтайық. болғандықтан, . Осыдан аргументтең өсімшесі мен дифференциалы өзара тең болатынын көреміз. Сонда функцияның дифференциалы мына түрде жазылады:

.

Енді дифференциалдың гометриялық мағынасын қарастырайық.

функциясының нүктесінде жанамасын жүргізейік. Бұл жанама осінің оң бағытымен бұрышын жасасын. нүктесінде өсімшесін берейік. Онда функцияның өсімшесін аламыз (3-сурет). тік бұрышты үшбұрышынан теңдігін аламыз. Онда дифференциалдың анықтамасы бойынша екендігі шығады. Яғни функциясы нүктесіндегі дифференциалы функция графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың өсімшесіне тең.

7-мысал. функциясының нүктесіндегі дифференциалын табу керек.

Шешуі.Жоғарыдағы 5-мысал бойынша . Сондықтан берілген функцияның дифференциалы түрінде жазылады. Ал, болғандықтан, функцияның нүктесіндегі дифференциалы болады.

Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда функция осы нүктеде үздіксіз болады.

Дәлелдеуі. Айталық, функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын. Онда немесе теңдігі орындалатынын көрсетсек, жеткілікті.

Шынында да,

яғни . Дәлелдеу керегі де осы.

8-мысал. және формулаларын дәлелдейік.

Дәлелдеуі. Бірінші формуланы дәлелдеуден бұрын

және

теңдігі орындалатынын көрсетейік.

Шынында да,

Енді болғандықтан,

теңдігін аламыз. Осыдан, егер болса, онда .

Ал, және - өзара кері функциялар болғандықтан, екінші формуланы дәлелдеу үшін кері функцияларды дифференциалдау ережесін пайдаланамыз.

.

Мұнда, егер болса, онда сондықтан .

Орта мән туралы теоремалар

Ферма және Ролль теоремалары

Ферма теоремасы. функциясы интервалында анықталсын және нүктесінде ең үлкен және ең кіші мән қабылдасын. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда бұл туынды нөлге тең: .

Дәлелдеуі. Айталық, анықтық үшін функциясы нүктесінде ең үлкен мән қабылдасын және осы нүктеде функцияның туындысы бар болсын. Онда әрбір үшін теңсіздігі орындалады. Сондықтан болса, онда , ал болса, онда теңсіздіктері орындалады. Сондықтан

және .

Мұнда функцияның нүктесіндегі туындысы бар болатындығынан қатынасының ұмтылғандағы шегі оның оң жақты және сол жақты шектеріне тең болатынын қолдандық. Олай болса, және теңсіздіктері қатар орындалуы үшін қажеттігі шығады. функциясы нүктесінде ең кіші мән қабылдаса да, теорема осы сияқты дәлелденеді.

болғандықтан, функция графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті нөлге тең, яғни бұл нүктедегі жанама осіне параллель (3-сурет).

Ролль теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз, интервалында дифференциалданатын болса және кесіндісінің ұштарында тең мәндер қабылдаса: , онда интервалының кем дегенде бір нүктесінде функция туындысы нөлге айналады: .

Дәлелдеуі. функциясы кесіндісінде үздіксіз болғандықтан, осы кесіндіде функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды. Онда мындай екі түрлі жағдай орындалуы мүмкін:

1). Ал теңсіздігінен кез келген үшін тұрақты функция болады. Онда әрбір үшін .

2) болсын. Онда бұл сандардың кем дегенде біреуі санынан өзгеше. Айталық, болсын. Олай болса, теңдігі орындалатындай нүктесі табылады. Ал функцияның ең үлкен мәні болғандықтан, Ферма теоремасы бойынша , . Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың геометриялық мағынасы мынандай: Егер Ролль теоремасының шарттары орындалса, онда интервалынның кемдегенде бір нүктесінде функция графигіне жүргізілген жанама

4-сурет

осіне параллель болады (4-сурет).

5-сурет.

21-мысал. функциясы аралығында Ролль теоремасының шарттарын қанағаттандырады: 1) аралығында үздіксіз; 2) интервалында туындысы бар; 3). Онда Ролль теоремасы бойынша аралығында кемдегенде бір нүктеде функция туындысы нөлге айналады. болғандықтан, бұл туынды аралығында екі нүктеде нөлге айналады: және (5-сурет).

 22-мысал. функциясы аралығында үздіксіз және шартын қанағаттандырады. Бірақ кесіндісінің ешбір нүктесінде функция туындысы нөлге айналамайды. Өйткені интервалының барлық нүктелерінде бұл функцияның туындысы бола бермейді. Дәлірек айтсақ, функцияның нүктесінде туындысы жоқ (6-сурет).

1.2.2. Лагранж теоремасы

Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз, интервалында дифференциалданатын болса, онда интервалыннан кем дегенде бір нүктесі табылып,

(15)

теңдігі орындалады.

12-Сурет

(15) формула немесе оның өзгеше түрі Лагранж формуласы деп аталады.

Дәлелдеуі. Бұл теореманы дәлелдеу үшін көмекші

функциясын қарастырайық. функциясы аралығында Ролль теоремасының шатрттарын қанағаттандырады: 1) функциясы аралығында үздіксіз; 2); 3): туындысы бар. Онда Ролль теоремасы бойынша нүктесі табылып, теңдігі орындалады, яғни немесе теңдіктері орындалады. Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың геометриялық мағынасы мынандай: функциясының графигіне қиушысын жүргізейік (9-сурет). , болғандықтан, бұл

сурет

қиушының теңдеуі (екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі бойынша) былай жазылады: немесе . Яғни қиушысының бұрыштық коэффициенті . Ал -графикке нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Онда (15) теңдіктен осы жанама қиушысы параллель болатынын аламыз. Сонымен, егер функциясының кесіндісінде Лаганж теоремасының шарттарын ұанағаттандырса, онда доғасының кем дегенде бір нүктесі табылып, осы нүктеде қисыққа жүргізілген жанама доғасын керіп тұрған қиюшысына параллель болады.

Егер функциясы аралығында тұрақты болса, онда әрбір үшін оның туындысы нөлге тең болатынын жақсы білеміз. Бұған кері тұжырымды да дәлелдеуге болады.

Салдары, 1. Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз және интервалындағы туындысы нөлге тең болса, онда функциясы кесіндісінде тұрақты болады.

Дәлелдеуі. нүктелері үшін теңдігі болсын. Онда Лагранж теоремасы бойынша нүктесі табылып,

теңдігі орындалады. Ал , екенін ескерсек, немесе теңдігін аламыз. Яғни .

Салдары,2. Егер және функциялары кесіндісінде үздіксіз және интервалындағы туындылары тең болса: , , онда кесіндісінде және функцияларының өзгешелігі тұрақты санға тең болуы мүмкін: , , .

Дәлелдеуі. Әрбір үшін немесе , яғни ,теңдігі орындалады.онда салдар, 1 бойынша немесе , с –тұрақты сан. Дәлелдеу керегі де осы.

Лопиталь ережесі. Туындыны функция шегін табуға қолдану.

Әдетте функциялардың шегін табу барысында шек таңбасы астындағы өрнекке аргументтің ұмылатын мәнін қоятын болсақ, онда көп жағдайда түріндегі анықталмағандықтар алынады. Мұндай шектер табу процесін анықталмағандықтарды ашу деп атайды. Анықталмағандықтарды ашудың қарастырылған тәсілдерге қоса туындыны қолданып шешетін тәсілдері де бар. Оны Лопиталь (Г.Лопиталь, 1661-17041, француз математигі) ережелері деп атайды. Енді осы ережелерді келтірейік.

І. түріндегі анықталмағандық. Айталық, және функциялары:

1) интервалында дифференциалданатынболсын.

2)

3)

4) шектеулі не шектеусіз ( немесе -ке тең) шегі бар болсын, онда теңдігі орындалады.

ІІ. түріндегі анықталмағандық. Айталық, және функциялары:

1) интервалында дифференциалданатынболсын.

2)

3)

4) шектеулі не шектеусіз ( немесе -ке тең) шегі бар болсын, онда теңдігі орындалады.

Бұл тұжырымдардың дәлелдемесі күрделі болғандықтан, оларды дәлелдеусіз келтіреміз. Қажетті дәлелдеулерді жоғары математика курсынан табуға болады. Оның орнына І тұжырымның жеңілдетілген түрін дәлелдейік.

Теорема. кесіндісінде анықталған және функциялары үшін:

• және туындылары бар және болсын. Онда

Дәлелдеуі. Жоғарыда көрсетілгендей

теңдіктері орындалады. Мұнда . Онда теореманың 1-шартын ескере отырып,

теңдігін аламыз. Дәлелдеу керегі де осы.

І және ІІ тұжырымдарда қатынасының орнына қарастырса да, бұл тұжырым орындалады. Әрине, бұл жағдайда І және ІІ тұжырымдардың оқылуын тиісті түрде өзгертуі қажет.

28-мысал.

Сонымен қатар, Лопиталь ережесін бір емес бірнеше рет қолдануға да болады.

 3 Элементар функциялардың шегін табу

 Анықтама. Функция деп кез келген х элементіне, бірінші элементі осы х болатындай, біреуден артық емес (x,y) пары сәйкес келетін (x,y) парларының f жиынын атайды. Y=f(x). Парлардың бірінші элементтер (x) жиыны анықталу облысы деп, ал екінші элементтер жиыны (y) мәндер облысы деп аталады. Х аргумент деп аталады.

 Анықтама. Егер кез келген х мәніне сәйкес f(-x)= f(x) теңдігі орындалса, онда оны жұп функция деп атайды. Егер f(-x)= - f(x) болса, огда оны тақ функция деп атайды.

 Мысалы, f(x)=. R (кез келген х) үшін

 f(-x)=== f(x) орындалады. F функциясы жұп болады.

 f(x)=. R (кез келген х) үшін

 f(-x)= == -f(x) орындалады. F функциясы тақ болады.

 Енді Y=f(x) функция үшін әр түрлі жағдайларды қарастырамыз.

 1. f (x) орнегін алу үшін х аргументі мен тұрақты сандарға саны шектеулі алгебралық амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу) қолданылатын болса, онда өрнекті алгебралық өрнек деп атайды.

 Мысалы у= формуласымен берілген функция алгебралық функция болады.

 Алгебралық f(x) өрнегін құру үшін түбір табу амалы қолданылмаса, оны рационал өрнек деп атайды

 Мысалы, у= рационал функция болады.

•  Тұрақты функция. Бұл функция f(x)=C формуламен береді. Бұл функциянын анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны), ал өзгеру облысы тек бір ғана тұрақты С санынан тұрады. Графиктері:
•  Дәрежелік функция. Бүтін қөрсеткіш функция деп f(x)=хⁿ функциясының атайды. Графиктері:
•  Көрсеткіш функция. Көрсеткіш функция деп у=a^x функциясын атайды. Анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны). Ал мәндер облысы нақты оң сандар жиыны болады. Графиктері:
•  Логарифмдік функция. Негізгі а (a) болатын логарифмдік функция деп көрсеткіш функцияға кері функцияны атайды және оны былай белгілейді y=log_ax Графиктері
•  Тригонометриялық функциялары. Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx. Графиктері
•  Кері тригонометриялық функциялары. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx. Графиктері

 Анықтама. Нақты санның модулі мына формуламен енгізіледі

 1-Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған f функциясын айтады. f функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін деп белгілейді, яғни .

 2-Анықтама. тізбегі берілсін. Егер кез келген оң саны арқылы барлық үшін теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылса, онда тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол а санына тең деп атап, оны былай белгілейді: немесе (1)

 Осы жағдайда тізбегін «а санына жинақталатын тізбек», «а санына ұмтылатын тізбек» деп те атайды.

 Енді тізбектің қасиеттерін қарастырамыз.

 1-Теорема. Жинақталатын тізбектің тек бір ғана шегі бола алады, яғни болса, онда .

 2-Теорема. Егер болса, онда әрбір оң бүтін m үшін .

 3-Теорема. болса, онда .

 4-Теорема. Шегі нөл емес нақты сан болатын тізбектің мүшелері белгілі бір нөмірден бастап шегінің таңбасын сақтайды.

 5-Теорема. және тізбектерінің шектері бар болсын. Егер белгілі бір к нөмірінен бастап барлық n-дер үшін теңсіздігі орындалса, онда сол теңсіздік шектер үшін де сақталады, яғни

 6-Теорема. тізбектері үшін келесі шарттар орындалса; 1) әрбір оң бүтін n үшін, ; 2) ; Онда тізбегінің де шегі бар және а-ға тең.

  Шенелген және шенелмеген тізбектер.

  сандарынан құрылған сандар жиынын тізбегінің мәндерінің жиыны дейді.

 Анықтама. Белгілі бір С нақты саны және барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалатын тізбегін жоғарыдан шенелген тізбек деп атайды.

 Анықтама. Белгілі бір С нақты саны және барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалатын тізбегін төменнен шенелген тізбек деп атайды.

 Анықтама. Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбек деп атайды.

 Анықтама. тізбегі берілсін. Егер әрбір n (n=1,2,...) үшін болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал болса, онда оны өспелі тізбек деп атайды.

 Анықтама. тізбегі берілсін. Егер әрбір n (n=1,2,...) үшін болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал болса, онда оны кемімелі тізбек деп атайды.

 Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды тізбек деп атайды.

 Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары.

 е– саны. Бұл пункте анализдегі айрықша сандардың бірі е-санын анықтаймыз. Әрбір оң бүтін n үшін болады.

  -жоғарыдан шенелген тізбек. Сондықтан, монотонды тізбектің шегі бапр болуы туралы теорема бойынша тізбегнің нақты мәнді шегі бар болады. Ол санды Л.Эйлер белгілегендей әрдайым е әрпімен белгілейді. Сонымен

 Е және Ғ жиындары берілсін. Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының элементін сәйкес қоятын ереже функция деп аталады. Функция көбінесе символдарымен белгіленеді.Е-функцияның анықталу жиыны, Ғ – мәндерінің жиыны деп аталады.

• ұмтылғандағы функцияның шегі.

 Анықтама. Егер белгілі бір А нақты саны мен кез келген оң саны үшін барлық x>N сандары үшін теңсіздігі орындалатын N саны табылса, онда f(x) функциясының ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол А санына тең дейді де символымен белгілейді.

 Анықтама. Егер белгілі бір B нақты саны мен кез келген оң саны үшін барлық x<M сандары үшін теңсіздігі орындалатын M саны табылса, онда f(x) функциясының ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол B санына тең дейді де символымен белгілейді.

 Функцияның шегінің тіліндегі анықтамасы.

 Х жиынында анықталған f функциясы мен нақты саны берілсін.

 Анықтама. Егер белгілі бір в нақты саны мен кез келген оң саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын және теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда f(x) функциясының х ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол в санына тең дейді де символымен белгілейді.

 Анықтама. жарты интервалында анықталған f(x) функция берілсін ( сәйкес ). Егер белгілі бір В нақты саны мен кез келген оң саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын және ( сәйкес ) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда f(x) функциясының х -ға сол жағынан (оң жағынан ) ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол В санына тең дейді де () символымен белгілейді.

 Теорема. f(x) функциясының нүктесіндегі шегі бар болады сонда тек сонда ғана, егер осы нүктедегі оның сол жақ және оң жақ шектері бар болса және олар тең болса. Ол жағдайда олардың жалпы мәні нүктесіндегі f(x) функциясының екіжақты шегі болады.

 Анықтама. Егер кез келген мейлінше аз оң саны үшін N номері табылып, барлық nN үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда тұрақты а саны а_n сандық тізбектің n шексіздікке ұмтылғандағы шегі деп аталады.

 Анықтама. Егер а санына жинақталатын кез келген тізбегі үшін f функциясы мәндерінің сәйкес А санына жинақтылатын болса, онда А санын f функциясының шегі деп атайды х а-ға ұмтылғанда

 А=

 Анықтама. Егер тізбегінің шегі 0-ге тең болса, онда ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады ()

 Анықтама. Егер тізбегінің шегі -ге тең болса, онда ол ақырсыз үлкен тізбек деп аталады ()

 Қасиеті. Егер ақырсыз үлкен болса, онда ақырсыз кіші тізбек болады.

 Функция шектері тұралы касиеттері.

•  Егер және шектері бар болса, онда тендік орындалады.
•  Егер және шектері бар болса, онда тендік орындалады.
•  Егер және шектері бар болса, онда тендік орындалады.
•  Егер бар болса, онда кез келген с саны үшін тендік орындалады.

 Шексіз аз функция. Шенелген функциялар.

 Анықтама. y=f(x) функциясы ұмтылғандағы шексіз аз функция деп аталады, егер ұмтылғандағы оның шегі нөлге тең болса. Құрдым аз функция

 . Құрдым аз функцияның шегі A=0 болғандықтан, болады, онда шектің анықтамасы негізінде, алдыңғы берілген анықтамаға эквивалентті, құрдым аз функцияға төмендегідей анықтама беруге болады.

 Анықтама. Кез келген саны үшін барлық x>N сандары үшін теңсіздігі орындалатын N саны табылса, онда f(x) функциясы ұмтылғанда құрдым аз функция деп аталады да деп жазылады.

 Теорема 1. Егер және функциялары құрдым аз функциялар болса, онда олардың қолданулары -да құрдым аз функция болады.

 Теорема 2. Егер y=f(x) функциясының ұмтылғанда шегі бар болса, онда ол кез келген интервалында шенелген болады.

 Теорема 3. Егер y=f(x) функциясының () нөлге тең емес шегі болса, онда функциясы шенелген болады.

 Теорема 4. Құрдым аз функцияның шенелген функцияға көбейтіндісі құрдым аз функция болады.

 Салдар. Құрдым аз функцияның санға көбейтіндісі құрдым аз функция болады.

 Теорема 5. -да құрдым аз f(x) функциясын, шегі нөлге тең емес функциясына () бөлгенде шығатын функция құрдым аз функция болады.

 Шексіз аз функция және оның құрдым аз функциямен байланысы.

 Анықтама. Кез келген L саны үшін х-тің x>N барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай бір N санын табуға болса, онда y=f(x) функциясы шексіз үлкен функция деп аталады.

 Теорема. Егер -да f(x) функциясы шексіз үлкен функция болса, онда функциясы -да құрдым аз функция болады.

 Теорема. Егер f(x) функциясы нөлге айналмайтын -да құрдым аз функция болсын, онда функциясы -да шексіз үлкен функция болады.

 Шектер туралы теоремалар.

 Теорема 1. Егер -да f(x) функциясының А-ға тең шегі болса, онда оны А саны мен -да құрдым аз функция қосындысы түрінде жазуға болады.

 Теорема 2. Егер f(x) функциясын А саны мен кез келген бір -да құрдым аз функцияның қосындысы түрінде жазуға болса, онда А саны f(x) функциясының -дағы шегі болады.

 Теорема 3. Егер және болса, онда және функцияларының да да шегі бар, әрі болады.

 Теорема 4. Егер және болса, онда функциясының да шегі бар, әрі болады.

 Салдар. Тұрақты санды шектің таңбасының алдына шығаруға болады, яғни . Мұндағы к-тұрақты көбейткіш.

 Теорема 5. Егер және және болса, онда функциясының да шегі бар, әрі болады.

 Теорема 6. х-тің өте үлкен мәндері үшін теңсіздігін қанағаттандыратын және үш функциясы берілсін. Егер –да және функцияларының бірдей шегі болса, онда олардың арасындағы функциясынан да шегі болады және ол сол функциялардың шегіне тең болады.

 Салдар. функциясының . Яғни

 Анықтама. y=f(x) функциясы нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер: 1) функция нүктесінде және сол нүктені қамтитын оның бір аймағында анықталған болса; 2) функцияның -дағы шегі болса; 3) функцияның -дағы шегі сол нүктедегі функцияның мәніне тең болса, яғни болса.

 Егер нүктесінде функция үздіксіз болса, онда нүктесі берілген функцияның үздіксіздік нүктесі деп аталады.

 Анықтама. Егер нүктесі функцияның анықталу облысында не оның шекарасында жатса және оның үздіксіздік нүктесі болмаса, онда ол f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Ол жағдайда нүктесінде функция үзілісті деп аталады. Үзіліс нүктелерін екі түрге бөлуге болады:

  Егер екі біржақты шектері бар болса, онда f(x) функциясының үзіліс нүктесі І-текті деп аталады. І-текті болмайтын үзіліс нүктелері, ІІ-текті үзіліс нүктелері деп аталады.

 Теорема. Егер нүктесінде f және g функциялары үздіксіз болса, онда fc (с-тұрақты),f+g, fg, функциялары, ал егер болса, онда функциясы да нүктесінде үздіксіз болады.

 Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

 1. функйиясының графигіндегінің абсцисс осімен қиылысу нүктені табыңдар.

 2. шегін есептеңдер.

 3. шегін есептеңдер.

 4. шегін есептеңдер.

 5. шегін тап.

6. шегін тап.

 Лопитал ережелері.

 Лопитал ережелері деп туынды көмегімен анықталмағандықты ашу тәсілдері аталады.

 1-Теорема. Егер f және g функцияларының нүктесінде туындысы бар болып, , шарттары орындалса, онда

 1. Егер болса, онда түріндегі анықталмағандық болатын шегінің зерттеуі сәйкес түріндегі анықталмағандық болатын шектерін зерттеуге келтіріледі.

 2. Егер болса, онда түріндегі анықталмағандық болатын шегінің зерттеуі түріндегі анықталмағандық болатын шегін зерттеуге келтіріледі.

•   түріндегі анықталмағандықтар түрлендіруі арқылы түріндегі анықталмағандыққа келтіріледі.

 Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:

 1. .-ті табыңдар.

 2. функциясының туындысын табыңдар.

 3. функциясының туындысын табыңдар.

 4. функциясының кемитін интервалын табыңдар.

 5. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте

 6. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте

 7. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте

 8. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте

 Қорытынды

 Функцияның шегін үйретуде оқушыларға жоғары деңгейде тиімді меңгерту үшін келесідей ұсыныстар білдіремін:

•  Функцияның шегі және үзіліссіздігі тек өзіндік обьект ретінде ғана емес, сондай–ақ диффернциалдық есептеудің тірек білім, білік, дағды ретінде қарастырылса;
•   Туынды ұғымын енгізуден бұрын функцияның шегі және үзіліссіздігі ұғымдарымен жеткілікті кең көлемде пропедевтикалық жұмыстар жүргізілсе;
•   Негізгі элементар функциялардың кестелік туындылары және қасиеттері шек және үзіліссіздік ұғымдары арқылы түсіндіріліп, қасиеттері графикпен кескінделіп, дәлелденсе;
•  Шек және туынды ұғымдарының әрбір қасиеті анық негізделген және олардың барлығы бір жүйеге келтіріліп, оқушыларға саналы түрде түсіндірілсе.
•  Егер оқушылар шек және функцияның үзіліссіздігі ұғымдарын саналы түрде меңгерсе, онда олардың туынды және туындыны функцияны зерттеуге қолдану тақырыптарын толық деңгейде игереді.

 Жұмыста келтірілген теориялық және дидактикалық материалдар, сабақтың жоспар-конспектілері, ұсынылған әдістемелік жолдары 10-11 жаратылыстану-математика бағытындағы сыныптарда алгебра және анализ бастамалары курсында «Функцияның шегі» тақырыбын тиімді оқытуға математик студенттер мен мектеп математика мұғалімдеріне көмегін тигізеді деген ойдамыз.

 Сонымен бірге, біздің жүргізген зерттеуіміз математиканы оқыту теориясы мен әдістемесінің әрқашан жетілдіруді талап ететін негізгі және күрделі мәселелерінің бірі, сол себепті дипломдық жұмыста келтірілген ізденіс бұл бағыттағы тек алғашқы қадамдарымыз деп есептеп, алдағы уақытта әлі де көптеген үздіксіз зерттеу жұмысын жүргізуге мақсат қоямыз.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., «Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы», -1963.

2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.

3. Демидович Б. П.Задачи и упражнения по математическому анализу, 1978, Наука

4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, М. «Высшая школа», 1984.

5. Қадықайырұлы Қ. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер, 1972, Мектеп

6. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., «Наука» - 1977.

7. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,«Просвещение» - 1971

8. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., «Мектеп», 1987.

9. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. М., «Наука» - 1980, ч.1 и 2.

10. Данко Л. Е., Попов Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2., М.,

11. Запорожец А. Т. Задачи по математическому анализу.

12. С. М. Никольский Курс математического анализа. Том 1. М. «Высшая школа»,

1978.

13. Уваренков И. М. Маллер М.З. Курс математического анализа 1966, 2том Просвещение

14. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ, т.1 и 2. М., - 1970.

15. В.Ф.Бутузов. Математический анализ в вопросах и задачах. М., «Высшая школа» - 1988.