Кронекер - Капелли теоремасы

Матрицаның рангі.

Алгебра және геометрия

Матрицаның рангі

Матрицаның рангы деп нөлге тең емес минордың ең жоғарғы ретін айтады.

Матрицаның рангі өзгермейді, егер

екі жолды (бағанды) орнымен ауыстырса

бір жолдың (бағанның) элементтерін тұрақты нольге тең емес санға көбейтсе.

бір жолдың (бағанның) элементтерін тұрақты санға көбейтіп басқа жолдың сәйкес элементтеріне қосса.

Мұндай түрлендірулер эквивалент түрлендірулер деп айтылады. Эквивалент түрлендіргеннен кейін берілген матрицаға эквивалент матрица пайда болады.

Кронекер – Капелли теоремасы

Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді, яғни шешімдері болу үшін, негізгі матрица мен кеңейтілген матрица рангтері өзара тең болуы катетті және жеткілікті, яғни .

Cызықты теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері

Айталық, n белгісізі бар n сызықты теңдеулер жүйесі берілсін, яғни

(1)

мұндағы – теңдеулер жүйесінің коэффиценттері , - бос мүшелері деп аталады .

Жүйенің шешімін табу үшін Крамер, матрицалық және Гаусс тәсілдерін қолданамыз.

Крамер тәсілі

Егер (1) теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасына сәйкес анықтауыш

нөлден ерекше ( ) болса, онда теңдеулер үйлесімді және шешімі жалғыз болады. Ол шешім Крамер формуласы бойынша анықталады, яғни

(2)

мұндағы анықтауышының і-ші баған мүшелерін бос мүшелерімен ауыстыру арқылы алынған жаңа анықтауыштар.

Мысал. теңдеулер жүйесін Крамер

формуласы арқылы шешіңіз.

Шешімі:

Матрицалық тәсіл

Берілген n- белгісізді n сызықты теңдеулер жүйесін матрица түрінде жазайық: AХ=В

Бұл тәсіл бойынша, негізгі матрицасына кері матрицасын тауып, оны баған-матрицаға сол жағынан көбейтеміз, яғни шешімі келесі түрде жазылады:

(3)

Мысал. Матрицалық тәсілді қолданып жүйені есептеңіз.

Шешімі: Мұнда

Бұл тәсіл бойынша А матрицасына сәйкес кері матрица табамыз

Табылған кері матрицаны В баған матрицаға көбейтеміз. Онда

Гаусс тәсілі

Айталық (1) n белгісізді n-теңдеулер жүйесі берілсін. Бұл тәсілдің негізгі мақсаты айнымалыларды біртіндеп жою. Ол үшін кеңейтілген матрицаны алып, оның негізгі бөлігін, оң жағын ескере отырып, үшбұрышты матрица түріне келтіреміз.

Бұл жағдайда кеңейтілген матрица келесі түрді қабылдайды

Осы эквивалент матрицаға сәйкес теңдеулер жүйесін былай жазамыз:

Осы жүйеден тауып, біртіндеп жоғарылай ,

, -ді табамыз.

Мысал. Матрицалық тәсілді қолданып жүйені есептеңіз.

Шешімі:

.

Осыдан