Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Геометрия, 8 сынып, дидактикалық материал, 3 сабақ .

Қосымша 1

Теорема 1 (iшкі бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінде жатса (А және В нүктелерінің арасында) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталары мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен жасыл үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (1)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (2)

Сонда (1) және (2) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз:

m=n ерекше жағдай, онда: нүкте кесіндіні қаққа бөледі.

№1

Берілген: А(-3; 1), В(3; -6).

Р – АВ кесіндісін 1:2 қатынаста бөледі.

Табу керек: Р(х; у) - ?

№2

Берілген: А(-3; 6), P(-2; 4).

Р – АВ кесіндісін 1:3 қатынаста бөледі.

Табу керек: B - ?

№3

Берілген: А(-2; -1), B(4; 11).

Р – АВ арасында және АВ кесіндісін m:n қатынаста бөледі. Егер Р – АВ кесіндісінің Оу осімен қиылысу нүктесі екені белгілі болса, онда m:n қатынасының мәні неге тең?

№4

Берілген: А(-5; 11), B(4; -7).

Р – АВ арасында және оның координатасы P(-3; 7).

AP:PB=m:n қатынасының мәні неге тең?

Қосымша 2

Теорема 2 (сыртық бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінің созындысында жатса (А мен В нүктелерінің арасында жатпаса) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста сырттай бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталарын мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен сары үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, мынадай қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (3)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (4)

Сонда (3) және (4) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз:

№5

Берілген: А(0; 5), B(10; 13).

Р(х;у) нүктесі АВ кесіндісін сырт жағынан 3:1қатынасындай бөлікке бөлсе, онда x+y=?

Үй тапсырмасы

АВС үшбұрышында ВС, СА және АВ қабырғаларының орта нүктелерінің координаталары сәйкесінше, (1; 0), (3; 5) және (-2; 4).

А, В, С төбелерінің координаталарын табыңыздар.

Қосымша 3

Оқушының аты-жөні: ______________________ Сынып: _________Күні: ______

Жекелеме жұмыс

Бағалау критерийлері:

• кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу формуласын біледі;
• бөлетін нүкте кесіндінің арасында жатқанда оның координатасын табуды біледі;
• кесіндіні берілген қатынаста бөлу ережесін есепті шығаруда қолдана алады.

Берілген: А(2; 1), B(7; 6).

Р – АВ кес арасында жатыр және оның координатасы P(5; 4).

Қатынасты табыңыз. [3]