Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Геометрия, 8 сынып, қосымша материал, 3 сабақ .

«Кесіндіні берілген қатынаста бөлу»

тақырыбын оқытуға әдістемелік нұсқаулық

Оқу мақсаты

8.1.3.16 кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаталарын табу

Сабақ мақсаты

Оқушылар:

кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаталарын анықтайды

Бағалау критерийлері

Оқушылар

біледі:

• кесіндіні берілген қатынаста бөлу дегеннің не екенін;
• кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу формуласын;
• бөлетін нүкте кесіндінің арасында жатқанда оның координатасын табуды;
• бөлетін нүкте кесіндінің сыртқы жағында болғанда оның координаталарын табуды.

қолдана алады:

• кесіндіні берілген қатынаста бөлу ережесін есептерді шығаруда.

Сабақ барысы

Сабақтың басы

Сабақты белсендендіру.

Сабақты белсендендіру.

Тірек ұғымдар жайлы сұрақ-жауап:

• Кесінді дегеніміз не?
• Оның ұзындығы дегеніміз ше?
• Екі нүкте координаталарымен берілсе, оның ортасының координатасын қалай табамыз?
• Ал егер бізге екі нүкте беріліп, олардың арасында немесе олардын сыртында тағы бір нүкте берілсе, ол нүктенің координаталарын қалай табады?

Егер қандай да бір С нүктесі АВ кесіндісін қандайда бір m:n қатынаста бөледі десек, онда біз ол С нүктесінің координаталарын табу үшін екі жағдайда қарастырамыз. Яғни, С нүктесі АВ кесіндісінің арасында болуы мүмкін, немесе С – АВ кесіндісінің сыртында болуы мүмкін. Бұдан былай біз оларды «Сыртқы бөліктегі», «Ішкі бөліктегі» деп атайық. Сонда ары қарай жұмыс жасауға ыңғайлы.

Міне осы сұраққа бүгінгі сабақта жауап іздейміз. Яғни, қандай да бір кесіндіні берілген қатынаста бөліп, сол бөліктің ұзындығын немесе сол кесіндіні бөлікке бөлген нүктенің координаталарын (орналасқан жерін) табу – бүгінгі сабақтың негізгі мақсаты.

Сабақтың ортасы

Ұжымдық жұмыс. Жаңа сабақ

Осы сұрақтардан соң негізгі тақырыпқа көшіп, оқушыларды оқу мақсаттары, сабақ мақсаттары және бағалау критерилерімен таныстыру.

Бізге мәлім дүние кесіндінің ортанүктесін табу (Слайд №3), ол кесіндіні қаққа бөлетінін білеміз. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу, яғни кесіндіні белгілі бір бөліктерге бөлу ережесі де «Кесіндіні тең бөлу» ережесінің негізінде шығады. Бұл өте қуатты геометриялық құрал болып саналады, яғни біз кесіндіні бөліп жатқан нүктенің нақты қай жерде орналсасқанын анықтай аламыз, тек бізге қатынас берілсе болғаны.

Ең алдымен 1 теорема. (Ішкі бөлікте)

Нүкте кесіндінің екі ұшының арасында жататын жағдайды түсіндіру. Оқушыларға №7-9 слайдтардың негізінде түсіндіру және «Қосымша 1» таратпасымен теоремалардың тәржімалануы мен дәйектемелерін бірге беру. Сонымен, осы тақырыпты бекіту үшін №1-4 есептерді шығару.

Қосымша 1

Теорема 1 (iшкі бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінде жатса (А және В нүктелерінің арасында) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталары мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен жасыл үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (1)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (2)

Сонда (1) және (2) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз:

m=n ерекше жағдай, онда: нүкте кесіндіні қаққа бөледі.

Жұптық жұмыс. Тақырып бойынша есептер

Олай болса, қазір, осы білімді тереңдету және ұғына түсу үшін жұппен жұмыс жасаймыз. Әр жұпқа «Қосымша 1» таратпасын үлестіру. Таратпада берілген №1-4 есептерді жұппен оқушылар өз жұптарымен орындайды. Мұғалім жұмыстың орындалуын қадағалап, әр оқушының өз жұбымен серіктесе жұмыс жасауына қолдау жасайды. Біріге отырып жасаған жұмыстың өнімді әрі жылдамырақ болатынын, яғни жұптық жұмыстың құндылықтарын сөзге арқау етуіне болады.

№1

Берілген: А(-3; 1), В(3; -6).

Р – АВ кесіндісін 1:2 қатынаста бөледі.

Табу керек: Р(х; у) - ?

№2

Берілген: А(-3; 6), P(-2; 4).

Р – АВ кесіндісін 1:3 қатынаста бөледі.

Табу керек: B - ?

№3

Берілген: А(-2; -1), B(4; 11).

Р – АВ арасында және АВ кесіндісін m:n қатынаста бөледі. Егер Р – АВ кесіндісінің Оу осімен қиылысу нүктесі екені белгілі болса, онда m:n қатынасының мәні неге тең?

№4

Берілген: А(-5; 11), B(4; -7).

Р – АВ арасында және оның координатасы P(-3; 7).

AP:PB=m:n қатынасының мәні неге тең?

«Жұптық жұмыстың» жауаптары:

№1.

№2.

№3.

№4. Р нүктесі АВ кеесіндісін 2:7-ге тең қатынаста бөледі.

 Ұжымдық жұмыс.

 Теорема 2. (сыртқы бөлкте)

 Оқушыларға алдыңғы айтылған теорема секілді тақтада түсіндіріп, дәлелдеп шығуларын талап ету. Яғни 1-ші теоремадан өзгешелігін оқушылар көру керек. Тақырыпқа сай №5 еспті барлық оқушыларға шығаруларын ұсыну.

Қосымша 2

Теорема 2 (сыртық бөлік).

Егер Р(х; у) нүктесі [АВ] кесіндісінің созындысында жатса (А мен В нүктелерінің арасында жатпаса) және мына AP:PB=m:n теңдігін қанағаттандырса, онда біз Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста сырттай бөледі дейміз және Р-бөлу нүктесінің координаталарын мына формуламен анықтаймыз:

Дәлелденуі:

Формуланы екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыра отырып дәлелдеуге болады.

Айталық олардың гипотенузаларының қосындысы біздің қарастырып отырған АВ кесіндіміз болсын делік. Яғни, Р нүктесі [АВ] кесіндісін m:n қатынаста бөледі делік.

Сәйкес бұрыштары тең болғандықтан қызыл үшбұрыш пен сары үшбұрыш ұқсас. Демек біз «ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынастары тең» екенін қолданып, мынадай қатынас жаза аламыз.

Ескерту:

Р нүктесінің А нүктесінен қашықтықта жатқанын ескеріңіз.

= (3)

Дәл осылай у үшін шешер болсақ:

y. (4)

Сонда (3) және (4) өрнектерінен келесі теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткіземіз:

№5

Берілген: А(0; 5), B(10; 13).

Р(х;у) нүктесі АВ кесіндісін сырт жағынан 3:1қатынасындай бөлікке бөлсе, онда x+y=?

Жауабы:

Жекелеме жұмыс

Әр оқушыға жеке тапсырма беріледі. Бұл тапсырмаларды орындау кезінде оқушылардың дұрыс жазуына назар аудару керек.

Жекелеме жұмысты мына критерийлер бойынша бағалаймыз.

Қосымша 3

Бағалау критерийлері:

• кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу формуласын біледі;
• бөлетін нүкте кесіндінің арасында жатқанда оның координатасын табуды біледі;
• кесіндіні берілген қатынаста бөлу ережесін есепті шығаруда қолдана алады.

Берілген: А(2; 1), B(7; 6).

Р – АВ кес арасында жатыр және оның координатасы P(5; 4).

Қатынасты табыңыз. [3]

«Жекелеме жұмыстың» жауабы: 3:2

Сабақтың соңы

Сабақ соңында оқушылар рефлексия жүргізеді:

• Нені білдім, нені үйрендім?
• Нені толық түсінбедім?
• Немен жұмысты жалғастыру қажет?
• Бұған дейінгі білімімде түсінбеген тұстар бар ма, ол осы тақырыпты түсінуге қалай әсер етті?

Сонымен, бүгінгі сабақта «кесіндіні берілген қатынаста бөлу» тақырыбын өттік. Кесіндіні бөлікке бөлген нүктенің коорддинаталарын табуды білдік және оны есептер шығаруда қолдануға машықтандық. Келесі сабақ осы тақырыпбе біте қайнасқан тақырып, сондықтан осы өтілген материалды мұқият оқып, «Қосымша 2» таратпасының төменгі жағынжағы «Үй тапсырмасын» орындап келіңіздер.

Үй тапсырмасы (Қосымша 2: соңғы есеп)