Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.


© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

Тема: Иccледование функции и построение графика

ЗАДАНИЕ. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

y =

x

x 2

+ x

РЕШЕНИЕ:

  • Область определения функции:

x2 + x > 0,

x(x + 1) > 0,

x1 = 0, x2 = -1.

у+–+

-10

Получаем, что D( y) = (-¥; -1) È (0; +¥)

Рассмотрим пределы:

lim

x

=

- 1

=

-1

=-¥,

x®-1-0

x2 + x

1-

10

x

0

1

1

lim

=

= lim

=

= 0 .

¥

+ x

x ®+0x 2

0

x®+0 1

+1/ x

Получаем, что x = -1 - односторонняя вертикальная асимптота.

  • Точки пересечения с осями координат:

Ox : y =

x

= 0 , ⇒x = 0 Ï D( y) ,

x2 + x

Oy : x = 0 Ï D( y) .

  • Функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно начала координат.
  • Экстремумы и монотонность.

Найдем первую производную функции:

x

'

1 x 2 + x - x

(2 x +1)

2 x 2

+ 2 x - x (2 x +1)

1

2 x 2 + x

x 2 + x

( x 2 + x ) 2

.

2( x 2 + x )3

=

2 x 2 + 2 x - 2 x 2 - x

=

x

=

1

2( x 2 + x ) 3

2( x 2 + x ) 3

2 x 2 + x ( x +1)

1

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

Критические точки: x1 = 0, x2 = -1.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.

у´–+

у-10

Функция убывает на интервале (-¥; -1) , возрастает на интервале (0; +¥) . Экстремумов нет.

  • Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

'

1( x 2 + x ) 3 - x × 3( x 2 + x ) 2

(2 x +1)

1

y ''=

=

=

2( x

2

+ x )

3

2

( x

2

+ x )

6

=

1

2(

x 2 + x

) 2 - x

× 3(2 x + 1)

=

1

2 x 2 + 2 x - 6 x 2 - 3 x

=

1

- 4x 2 - x

= .

4

( x 2 + x ) 5

4

( x 2 + x ) 5

4 ( x 2 + x )5

= -

1

x (4 x + 1)

= -

1

x (4 x +1)

4 (

x 2 + x

)5

4 (

x

x +1)5

Приравниваем к нулю и находим критические точки:

x1

= 0 , x2

= -1 и x3 = -1/ 4 .

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.

y’´

–

–

у

-1

-1/4

0

Функция выпукла вверх на интервалах (-¥; -1) , (0; +¥) , точек перегиба нет.

  • Найдем наклонные асимптоты вида y = kx + b

k = lim

y

= lim

1

= 0 ,

x ®¥ xx®¥

x2 + x

2

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

b1 = lim( y - kx) = lim

x

=

¥

= lim

1

= 1.

x

1

+1/ x

x ®¥

x ®¥

2

+ x

¥

x®¥

b2 = lim ( y - kx) = lim

x

= lim

- x

=

¥

= lim

-1

= -1.

x

+ x

x

- x

1 -1/ x

x ®-¥

x ®-¥

2

x ®¥

2

¥

x®¥

Таким образом,

y = 1 и y = -1 - горизонтальные асимптоты.

  • Построим график функции.

(красным – функция, зеленым – асимптота y = 1, желтым – асимптота y = -1).

3



Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!


Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз:
Facebook | VK | WhatsApp | Telegram | Twitter

Қарап көріңіз 👇
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. ᐈ
kz | ҰМЖ, ОМЖ, ҚМЖ - Ұзақ, орта, қысқа мерзімді жоспар | Алгебра



Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру
Пікір жазу