Біртекті және симметриялы көпмүшелер. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Теорема Виета и симметрические многочлены

Зад 1. a¹_a – целое число. Докажите, что числа a3+1/a3 и a10+1/a10 – тоже целые.

Зад 2. Докажите, что если x₁ и x₂ корни квадратного уравнения x² px q 0 с целыми коэффициентами p и q , то при любом натуральном n число x₁ⁿ x₂ⁿ является целым.

Зад 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней квадратного уравнения x² 6x 10 0.

коэффициенты, равноудаленные от концов совпадают.

Зад 10. Докажите, что всякий возвратный многочлен четной степени 2k представляется в виде

• (z) z ^k h z ¹

, где h – некоторый многочлен степени k .

z

Зад 11. Дан график кубической параболы и две прямые, параллельные оси абсцисс, пересекающие график в трех точках каждая. Пусть абсциссы этих точек x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ . Докажите, что x₂ x₁ x₆ x₅ x₄ x₃ .

Для самостоятельного решения

Ви1. Докажите, что число (7 48)¹³(7 48)¹³ целое и делится на 14.

Ви2. Разложите на множители: x³y ³z ³3xyz.

Ви3. Выразите явно x ⁿy ⁿ через xy и x y .

Ви4*. Существует ли многочлен P R [x, y] такой, что он принимает все положительные значения и не принимает нулевого.

Барнаул 2015, 5 февраля. 10 класс, А.Шаповалов www.ashap.info/Uroki/Altaj/index.html