Екінші ретті тұрақты коэффициентті сызықты біртектес дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Қосымша№4

§ 1. Гармоникалық тербелістер.

 Табиғатта өте жиі кездесетін қозғалыстардың бір түріне тербелістер жатады. Су бетінің толқындауы, сағат тілінің әрі-бері шайқалуы, домбыра шегінің дірілдеуі, жер бетінің, үйдің тітіркенуі, радио жүйелерде айнымалы токтардың дамуы – бәрі де тербелмелі құбылыстарға мысалдар. Тербелістің түрі сан қилы болғанымен, барлығында жүретін құбылыстар ортақ заңдарға бағынады. Сондықтан да, тербелістерге тән ұғымдарды, анықтамаларды енгізу үшін қарапайым механикалық тербелістің бірін қарастыру тиімді. Қарапайым тербелуші жүйе ретінде, жіңішке жіпке ілінген кішкентай түйіршік денені алайық. Бұл жүйеге тән екі күй бар: бірінде ол тыныштық күйде қозғалмай тұра береді, ауырлық күші, керілу күштері өзара тең  (), екінші жағдайда, тепе-теңдіктен шығарылған дене шайқалып, тербеле бастайды, себебі, тепе-теңдікке қарай қайтарушы күш әсер етеді (). Үйкеліс күші болмаса, қозғалыс қайталанып отырады, бұл тербеліске тән заңдылық. Уақыт өткен сайын дененің қозғалысы дәл қайталанып отырса, мұндай тербелісті периодтық деп атайды. Бір тербеліске кететін уақытты – период  /Т/ деп, ал тепе-теңдік күйден, шекті ауытқу,қашықтығын – амплитуда деп атайды. Тербелуші жүйеге үйкеліс күштері әсер етпесе, ол – еркін тербеледі, оның амплитудасы, периоды өзгермейді. Егерде жүйе t -  уақыттың ішінде n рет шайқалса, іс ішінде   - тербеліс жасайды, мұны тербеліс жиілігі дейді. Керісінше t -  уақыты бойынша периодтытабу оңай:

  .   Соңғы формула период пен жиілік арасындағы тәуелділікті сипаттайды,            .             (1.1)

 Еркін тербелістің қозғалысы, косинус/ не синус/ заңдарымен өрнектелетін қозғалыстарды – гармоникалық тербеліс деп атайды.

 1-сурет

 Гармоникалық тербеліс алудың оңай жолы – материалдық нүктені шеңбер бойымен айналдыру, сонда оның проекциясы (көлеңкесі m – нүктесі)   

 1-суретте көрсетілгендей, солдан оңға қарай қозғалып, тербеледі. М – нүктесі шеңберді тұрақты жылдамдықпен  бір айналып шықса, А – векторына бұрыштың жылдамдығы    - болады. Мұнда А – векторының өтетін бұрышы     , сонымен М – нүктесінің проекциясы - /m – нүктесінің координатасы / былай табылады:                               

m – нүктесінің ОХ осі бойындағы қозғалысы гармониялық функциямен өрнектеледі – бұл гармониялық тербелісінің заңы. m – нүктесінің әр кездегі орнын / күйін / сипаттайтын шама.

     - тербелістің фазасы деп аталады. Ал, - тербелістің бастапқы күйін анықтайды – оны бастапқы фаза дейді. Шынында да, бас кезінде t=0  десек :    сонда     , бұл тербелістің басталу нүктесі, әрі қарай уақвттвң өтуіне байланысты фаза өзгеріп,

 Х – координатасының орны да ауысып отырады.   периодтық функция болғандықтан – проекцияның өзгеруі де периодтық.   - векторы үшін бұрыштық жылдамдық, ал тербелісті қарастырғанда оны циклдік жиілік деп атайды. Х координатасының ең үлкен мәні  А – векторының модуліне тең. Бұл М – нүктесінің ОХ – бойындағы ең үлкен ауытқуы – тербелістің амплитудасы.

 Көптеген гармониялық тербелістер алу үшін      - векторларын ХОҮ жазығында        - бұрыштық жылдамдықтармен сағат тіліне қарсы айналдыру керек. Тербелісті осылай өрнектеу векторлық – диаграмма тәсіліне жатады.Грармониялық тербелістерді осы түрде өрнектеу көптеген есептер жүргізу үшін қолайлы, оны кейін жиі қолданамыз. Тербелістің түрлері көп: ол механикалық, электрлік, электромагниттік тербелістер болуы мүмкін, сондықтан да уақытқа байланысты өзгеруін – айнымалы шамалары ортақ -  S(t) - функциясы өрнектейді. Осы тұрғыдан гармониялық тербелістерді жалпы былай жазамыз, туындылар алсақ, түрлендірсек:

                                       (1.2)

        немесе            

Соңғы формуланы гармониялық тербелістің дифференциалдық теңдеуі деп аталады. Оның жалпы шешімі: болатындығы түсінікті:

                       (1.3)

 Тербелістерге тән қозғалыстарды зерттегенде Эйлер формуласын қолдану қолайлы: . Жоғарыдағы теңдеулер үшінЭйлер формуласы    .  Күрделі есептер үшін Эйлер теңдеуін қолданып, қорытынды формулада тек косинусқа тән бөлігін алады.