Функцияның аралықтағы монотондылығы. Функцияның шектелуі. 1-сабақ (Алгебра, 10 сынып, I тоқсан)

Пән: Алгебра
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: Функциялар және олардың қасиеттері
Сабақ тақырыбы: Функцияның аралықтағы монотондылығы. Функцияның шектелуі. 1-сабақ
Осы сабақта қол жеткізілетін оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме): Оқушылар: 10.5.1.1 функцияның аралықтағы монотондылығы ұғымын біледі;
10.5.1.2 функцияның аралықтағы монотондылығын күрделі емес жағдайларда дәлелдейді;
10.5.1.3 шектелген функцияның анықтамасын біледі және сондай функцияларға мысалдар келтіреді.
Сабақ мақсаттары: Оқушылар:
функциялардың қасиеттерін (шектелуі, монотондылығы, периодтылығы, жұп-тақтығы, үздіксіздігі) анықтайды;
берілген функцияға кері функцияны таба біледі;
күрделі функция түсінігін біледі.

І.Ұйымдастыру кезеңі
Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға көңіл бөлу. Топтарға бөлу.
Сабақтың мақсатын оқушылармен бірге анықтау
IІ. Білімді өзектендіру.
Функцияның анықтамасын беріңдер.
Суретте кескінделген функцияның графигін формуланың көмегімен беріңдер.
ІІІ. Жаңа материал.
1-суретте кескінделген қандай да бір у = f (х)функциясының анықталу облысы [–5; 4] аралығында.
Х-тің мәні –5-тен 1-ге дейін өскенде У-тің мәні де өседі, ал Х-тің мәні 1 мен -4-тің аралығында өскенде, У-тің мәні кемиді. Олай болса, у = f (х) функциясы [–5; 1] аралығында өспелі, [1; 4] аралығында кемімелі деп атайды.
Анықтама.
y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келген х1  х2 сандары үшін f(х1)  f(х2) теңсіздігі орындалса, онда функция өспелі деп аталады.
басқаша(егер аргуметтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні, аргуметтің кіші мәніне функцияның кіші мәні сәйкес келсе, онда функция өспелі деп аталады.

y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келген х2 > х1 сандары үшін f(х2) < f(х1 )теңсіздігі орындалса, онда функция кемімелі деп аталады.
басқаша(егер аргуметтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні, аргуметтің кіші мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе, онда функция кемімелі деп аталады.

y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келген х1  х2 сандары үшін f(х1) ≤ f(х2)теңсіздігі орындалса, онда кемімейтін функция деп аталады.
y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келгенх2 > х1сандары үшінf(х2) ≥ f(х1) теңсіздігі орындалса, онда өспейтін функция деп аталады.

Өспелі, кемімелі, өспейтін, кемімейтін функцияларды монотонды (бірсарынды) функциялар деп атайды.
Кейбір функциялардың монотондылығын дәлелдеп көрейік.
f(х) = √x–өспелі функция. Дәлелдеуі:
√x өрнегінің х > 0 мағынасы бар. Сондықтан D(f) = [0; + ). х2 > х1 > 0 болсын. f(х2) – f(х1) айырмасын қарастырайық және оны түрлендірейік:
f(х2) – f(х1) = √(x_2 ) –√(x_1 ) = (√(x_2 ) –√(x_1 ) ) ( √(x_2 ) +√(x_1 ) ) / ( √(x_2 ) +√(x_1 ) ) =(x_2+x_1)/(√(x_2 )+√(x_1 )) .
(x_2+x_1)/(√(x_2 )+√(x_1 )) бөлшегінің алымы да,бөлімі де оң сандар. Себебі х2 > х1 > 0,√(x_2 ) > 0 және √(x_1 )> 0. Демек, f(х2) – f(х1) > 0, яғни f(х2) > f(х1). Сондықтан f(х) функциясы өспелі.
IV. Жұппен жүмыс.(карточкалар зерттеу элементтерімен):
f(х) = k x + b сызықтық функциясының k > 0 және k < 0 болған жағдайдағы монотондылығын анықтау
f(х) = хn дәрежелік функциясының n жұп болған жағдайдағы монотондылығын анықтау.
f(х) = хnдәрежелік функциясының n тақ болған жағдайдағы монотондылығын анықтау
Кері пропорционалдық f(х) = k/x функциясының k > 0 және k < 0 болған жағдайдағы монотондылығын анықтау.
Оқушылар жұппен жұмыс жасайды кейін қорытындылайды:
f(х) = k x + b формуласымен берілген сызықтық функция k > 0 болғанда өспелі, ал k < 0 болғанда кемімелі.
Егер k > О,болса у = kx +m бүкіл сан түзуінде өспелі.
Егер k < 0,болса у = kx +m бүкіл сан түзуінде кемімелі.

Мысал-1. y = 2 – 5x функциясын қарастырайық.
Шешуі.
1.Анықталу облысы: D(y)= (- ∞ ; + ∞).
2.Анықталу облысы D(y) – дан кез келген аргументтің мәндерін, x1 < x2 болатындай x1 және x2 таңдап аламыз
3.Функцияның мәндерін есептейміз:
f (x1 )= 2 – 5 x1 және f (x2 )= 2 – 5 x2 .
4. Сандық теңсіздіктер қасиеті бойынша: – x1> – x2 болғанда
2 – 5 x1> 2 – 5 x2 .
5. Яғни, x1 < x2 болса,онда f (x1 ) > f (x2 ), демек берілген функция анықталу облысында D(y) –да кемиді.
n натурал көрсеткішті f(х) = хn функциясы n жұп болғанда [0; + ) аралығында өспелі және (– ; 0] аралығында кемімелі.
n тақ болғанда f(х) = хn функциясы барлық анықталу облысында өспелі, яғни (– ; + ).
функциясын монотондылыққа зерттеу.
у = х2 функциясын[0, + ) сәулесінде қарастырайық. болса f(x1) < f(x2) . Яғни , х1 < х2 болса,онда f(x1) < f(x2).

у = х2 функциясын ( - ;0] сәулесінде қарастырайық.

- х1 > - х2
- х1 және - х2 теріс емес сандар, (-х1)2 > (-х2)2, болса ,
f(x1) > f(x2) . Яғни , х1 < х2 болса,онда f(x1) >f(x2). Сондықтан
у = х2 функциясы ( - ;0] сәулесінде кемиді.
кері пропорционалдық, яғни f(х) =k/x функциясы (– ; 0) және (0; + ) аралықтарының әрқайсысында k > 0 болғанда кемімелі, ал k < 0 болғанда өспелі.
3. функциясын мұғалімнің көмегімен оқушыларға өсу, кему аралығына зерттету .

Монотонды функциялардың кейбір қасиеттерін қарастырайық.
монотонды функция өзінің әрбір мәнін аргументтің бір мәнінде ғана қабылдайды.
Егер у = f (х) функциясы өспелі (кемімелі) болса,онда у = – f(х) функциясы кемімелі(өспелі) болады.
Екі өспелі функциялардың қосындысы өспелі, екі кемімелі функциялардың қосындысы кемімелі функция болады.
Егер f және g функцияларының екеуі де өспелі немесе екеуі де кемімелі болса, онда (х) = f(g(х)) – өспелі функция болады.
Егер у = f(х) функциясы Х жиынында монотонды және таңбасын сақтайтын болса, онда g(х) = 1/(f(х) ) функциясы Х жиынында монотондылықтың қарама қарсы қасиетіне ие болады.
V. Есептер шығару. Сыныппен жұмыс.
1. Берілген функцияның өсу, кему және тұрақтылық аралықтарын анықтаңдар. Берілген функция үздіксіз бе?
2. Функцияның аралығында монотондылығы туралы не айтасыңдар?

Мысал 2.
у = 9 түзуі f(х) =√(x+1) +√(x+6) + √(x+13) функциясының графигімен неше нүктеде қиылысады?
Шешуі :
у = √(x+1), у =√(x+6) және у = √(x+13)функциялары өспелі(4-қасиеті).өспелі функциялардың қосындысы– өспелі функция (3 қасиеті). Ал өспелі функция өзінің мәнін аргументтің бір мәнінде ғана қабылдайды (1 қасиеті). Демек, егер у = 9 түзуі f(х) = √(x+1) +√(x+6) + 13 функциясымен ортақ нүктесі болса, онда тек біреу ғана болады.
орына қою арқылы , х = 3 болғанда f(х) = 9. Демек, у = 9 түзуі f(х) = √(x+1) +√(x+6) + √(x+13) функциясын М(3; 9) нүктесінде қияды.
Мысал 3.
Теңдеуді шешіңдер:
х3 – + = 0.
Шешуі:
х = 1 –теңдеудің шешімі екенін оңай көруге болады. Бұл теңдеудің басқа түбірлерінің жоқ екендігін көрсетейік.Шынында да,
у = х3 – 2/x+ √xфункцияларының анықталу облысы оң сандар жиыны.Бұл аралықта функция өспелі, себебі у = х3,
у = –2/x және у = √x функцияларының әрқайсысы (0; + ) аралығында өспелі.Демек, берілген теңдеудің х = 1 түбірінен басқа түбірлері жоқ.
Жұппен жұмыс:
Монотондылыққа зерттеңдер

Жұппен жұмыс барысында бір-біріне монотонды функцияның қасиеттерін қалай қолданған ойларымен бөліседі.
32.1-32.3 ( 68,71 суреттер,72,75 суреттер 76,78)
32.1. 68-71суреттерде графиктері көрсетілген функциялар өспелі ме?.....