Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Сабақ тақырыбы: Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Оқу мақсаты: 11.3.3.1 - физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану

Мысал.

«Дене 10 минутта температурасы 20^о су ішінде 100^о-тан 60^о-қа дейін салқындады. Егер Ньютон заңы бойынша салқындау жылдамдығы дене температурасы мен қоршаған орта температурасының айырмасына тура пропорционал болса, қанша уақытта дене 30^о-қа дейін салқындайды?»

Берілгені: Шешуі:

x(t) – дене температурасы – суу жылдамдығы;

t – салқындау уақыты Ньютон заңы бойынша

x(0) = 100⁰;

x(10) = 60⁰; ;

x_{қоршаған орта} = 20⁰; , где ;

x(t₀)= 30⁰; .

Табу керек: t₀. Берілгені бойынша:

Демек .

Олай болса, .

Жауабы: 30 мин.

Физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану этаптары

1. дифференциалдық теңдеу құру

2. дифференциалдық теңдеуді шешу

3.алынған шешімді зерттеу.

Физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану алгоритмі:

• Берілген құбылысқа байланысты шамаларды анықтау;
• Ізделінетін тәуелсіз айнымалыны және функцияны таңдау;
• Айнымалыларды байланыстыратын заңдарды қарастыру;
• Есетің берілгеніне байланысты бастапқы шартты және қосымша мәліметтерді анықтау;
• Есепте берілген барлық шамаларды тәуелсіз айнымалы, функция, функцияның туындысы арқылы өрнектеу;
• Есеп шартына және сәйкес физикалық заңдылыққа байланысты теңдеу құру;
• Теңдеудің жалпы шешімін табу;
• Есеп шартына сәйкес дербес шешім табу және қойылған сұрақтарға жауап беру.

Топтық жұмыс тапсырмалары :

«Салқындауға» берілген есептер

• Дене 10 минутта 100^оС -тан 60^оС -қа дейін салқындады. Қоршаған орта температурасы 20^оС күйінде сақталды. Дене қанша уақытта 25^оС дейін салқындайды?

«Жарық өткізгіштікке» берілген есептер

• Су қабатында жұтылатын жарық мөлшері суға түсетін жарық санына пропорционал. Қалыңдығы 3 м суда алғашқы түскен жарықтың жартысы жұтылады. 60 м тереңдікке алғашқы түскен жарықтың қанша бөлігі жетеді?

«Радиоактивті ыдырауға» берілген есептер

• Радиоактивті заттың алғашқы санының екі есе азаю уақытын жартылай ыдырау периоды деп атайды. Жартылай ыдырау периоды 1 жыл болатын 10 г заттың 1 г-ы қалу үшін қанша уақыт өтеді?

Қалыптастырушы бағалау тапсырмасы:

Оқушыларға нұсқау:

• берілген тапсырманы анализ жасаңыз;
• есептің берілгені бойынша математикалық моделін жасаңыз;
• дифференциалдық теңдеу құрыңыз;
• теңдеуді айнымалыларды ажырата отырып шешіңіз;
• есеп сұрағына жауап беріңіз.

Тапсырма : Егер радиоактивті заттың жартылай ыдырау периоды 1600 жыл болса, 100 жылдан кейін оның қандай бөлігі қалады?