Көрсеткіштік теңсіздік. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.


Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

Кандидат физико-математических наук, доцент

С. С. САМАРОВА

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Учебно-методическое пособие для школьников по математике

© С. С. Самарова, 2010

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru1

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

Пример 1. Решить неравенство

1

3 x 2

1 −4 x

125

.

5

25

Решение.

1

3 x

2

1

−4 x

(−2 )( −4 x)

125

3

5

−3 x 2

5

−3 x 2

+3

8 x

−3 x

2

+ 3

8x

5

25

5

5

5

3x

2

+ 8x

− 3 0

Чтобы решить последнее неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

3x

2

+ 8x − 3

= 0

x1,2

=

−8

64+36

=

−8 10

x1 = −3, x2

=

2

=

1

.

6

6

6

3

Следовательно,

3x

2

+ 8x − 3 0 x ( − , − 3

1

.

, +

3

Ответ:

x( − , − 3

1 ,

3

+

.

Пример 2. Решить неравенство

1

1

x −2

1

x−1

2

x

+ 8

3

9

27

9

Решение.

x −2

x−1

x−1

1

1

+

8

1

2

3

3

x

3(

−2

) (

−3 x−2

+ 8 3

)

2

(−2)

3

3

+ 8 3

x

3

−3 x + 4

1−x

x

9

27

4

3

3

3 x

+ 8

x

3 x34 + 8 3 32 x 34 x34 x − 24 32 x − 34 0.

3

3

Таким образом, задача свелась к решению неравенства

4 x

2 x

4

0

.

3

−24 3

− 3

Чтобы решить неравенство (2), совершим замену переменного

32 x = y , y0

и найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

(2)

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru2

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

y

2

− 24 y − 81 = 0 y

=

24

576 + 324

=

24 30

y

= −3, y

= 27

1,2

2

2

1

2

y

2

− 24 y − 81 = ( y + 3)( y − 27)

Следовательно,

34 x − 24 32 x − 340( 32 x + 3)(32 x − 27) 0( 32 x − 27) 032 x33

2x 3x

3

.

2

Ответ:

x

3

.

2

Пример 3.

Решить неравенство

(0,

4 )

x

−(2,5)

x+1

1,5

Решение.

Поскольку

4

2

5 −1

−1

0,4 =

=

=

= (

2,5)

,

10

5

2

то неравенство (3) можно переписать в следующем виде:

(0,4)

x

−

(2,5)

x +1

1,5(2,5)

− x

− (2,5)

x +1

1,5

1

− (2,5) (2,5)

x

(2,5)

1,5

x

1− (2,5) (2,5)

2 x

(1,5)

(2,5)

x

(2,5) (2,5)

2 x

+ (1,5) (2,5)

x

− 1 0

Таким образом, задача свелась к решению неравенства

(2,5 ) ( 2,5 ) 2 x + (1,5 ) ( 2,5 ) x − 1 0.

Чтобы решить неравенство (4), совершим замену переменного

(2,5)x = y

и найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

(3)

(4)

(2,5) y

2

+ (1,5) y − 1 = 0 y

=

−1,5

2,25 +10

=

−1,5 3,5

y

= −1, y

= 0,4

1,2

5

5

1

2

( 2,5) y

2

+ (1,5) y − 1 = 2,5( y + 1)( y − 0,4).

Следовательно,

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru3

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

(2,5) (2,5)

2 x

+ (1,5) (2,5)

x

− 1

0

2,5

(

(2,5)

x

)(

(2,5)

x

)

+ 1

− 0,4

0

(2,5)

x

− 0,4 0 (2,5)

x

5

x

2

5

x

5

−1

x −1.

0,4

5

2

Ответ: x −1.

Пример 4.

Решить неравенство

7

− x

−

1+x

4

3 7

Решение.

7

− x

1+x

4

1

−21 7

x

4

1

− 3 7

7

x

Чтобы решить неравенство

21 7

2 x

совершим замену переменного

7

x

    • 21 7 2 x 4
  • 4 7 x − 1 0
      • y,

7

x

21 7

2 x

+ 4 7

x

− 1 0

,

и найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

21y

2

+ 4 y − 1 = 0 y

=

−4

16+84

=

−4 10

y

= −

1

, y

=

1

1.2

42

42

1

3

2

7

21y 2 + 4 y − 1 = 21 y + 1 y − 1 .

3 7

Следовательно,

21 7 2 x + 4 7

x +

1

7 x −

1

0

7

x −

1

0

x − 1021 7

3

7

7

7 x 17 x 7 −1 x −1. 7

Ответ: x−1.

Пример 5. Решить неравенство

34 x 2 −3 x+0,51 − 40 x2

3

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru4

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

Решение.

4 x 2

− 3 x + 0,5

3

1 3

− 40 x

2

4 x 2 − 3 x +0,5

3

40 x2

4 x

3

2

− 3 x + 0,5

40x

2

36 x

2

+ 3 x

− 0,5

0

72 x

2

+ 6 x − 1 0.

Чтобы решить последнее неравенство, найдем корни соответствующего квадратного

уравнения

72x

2

+ 6

Следовательно,

Ответ: x

Пример 6.

Решение.

x − 1 = 0x

=

−6

36 + 288

=

−6 18

x

= −

1

, x

=

1

1,2

144

144

1

6

2

12

72x 2 + 6x − 1 = 72 x + 1 x − 1 .

6 12

72x

2

+ 6x − 1 0

x

− ,−

1

1

, +

6

12

− ,−

1

1

,

+

.

6

12

Решить неравенство

2

x −1

− 3

3

− 2

x+2

x

x −1

2x −1 − 3x 3x −1 − 2x + 2 2x −1 + 2x + 2 3x −1 + 3x

1

2x + 4 2x

1

3x + 3x

2

3

9

x

4

x

9

3

3x

3 3

3

x

2

3

x 3.

2

3

2

4

2

x

2

2

Ответ:

x 3.

Пример 7. Решить неравенство

(

)

5−

x2

10

x 2 +10 x +2

0,01

2

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru5

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

Решение. Поскольку

x

2

x2

2

(−2)

5 −

2

(

)

5− 2

10 x +10 x + 2 10

210 x +10 x +2 x 2 − 10 x 2 + 10 x + 2

0,01

x 2 + 10 x + 12 − x20,

то задача свелась к решению неравенства с модулем:

x

2

+ 10 x + 12

− x

2

0

.

Чтобы решить неравенство (5), рассмотрим два случая.

Случай 1.

x

2

+ 10 x 0 x ( − , − 10

0,

В этом случае

x

2

+ 10 x = x

2

+10x

+)

.

(5)

и неравенство (5) принимает вид:

x

2

+ 10x + 12 − x

2

0

10x + 12 0

x −

6

x ( − , − 100,

+ )

x

(− , −10

0, + )

5

x ( − , − 100, + )

x 0, + ).

Случай 2.

x

2

+ 10 x 0

x ( −10, 0)

В этом случае

x

2

+ 10 x

= − x

2

−10x

и неравенство (5) принимает вид:

− x 2

− 10 x + 12 − x 2 0

−2 x 2 − 10 x + 12 0

x ( −10, 0 )

x

(−10, 0)

x ( −6, 1)

x ( −6, 0 ) .

x ( −10, 0)

Объединяя результаты, полученные в каждом из случаев,

Ответ: x( −6, + ).

x

2

+ 5 x − 6

0

x ( −10, 0)

получаем ответ задачи.

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru6

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решить неравенства:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

32

2

− 4 x

2

3x

8

32

2

− 4 x

2

3x

8

1

5 x

2

1

−3x

4

2

8

27 3

−6 x 2

9

4 x

x

2

4 −4 x

7

1

2

1

7

49

16

−3x

2

64

x

3

4

3

  • 5 −2 x 2 55 x

125

1

3 x

2

1

x

8.

3

9

3

27

8 x 6 4

3−x

+ 21+x

9.

2

10.

1

1

x − 2

1

x−1

3

+ 2

x

4

8

2

11.

x+1

9

2 − x

1−x

2

+ 3

2 27

12.

x +1

5

− 2

5

1− x

3 5

2−3x

13.

(0,1)

x+1

0,8+2 10

x

14.

1− x

+

1+ x

3

7

2 −3 x

− 4 7

7

x 2

−5 x

15.

11

 1 121

  • x − 9−2 x

1

x2

2

5

x 2

+ 8 x −10

16.

25

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru7

17.

2

−8 x

2

x

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

1

x − 2 x−12

4

x

2

1

2

x

+6 x −8

18.

9

2

81

2 x−

x

2

1

2

19.

7

2 x −10 +x

49

20.

−

x

2

1

x

+5 x

3 9

2

3

2

9

x−

x

2

1

2

21.

2

3 x −12 +2 x

4

22.

x

5

3−x

20

− 5

23.

9

x

− 9

8

1−x

24.

1+

3

x

2−x

26

− 3

1

9 x

−

2

−8 x+3

−7 x

25.

7

2

7

1

5 x

2

x

+ x −1

2

26.

5

5

1

10 x

2

2 x

−x−1

27.

2

2

2

28.

110 11x −1 − 2 2 x −1 2 x −11x

29.

5

x

+ 2 7

x −1

7

x

− 2

x−1

30.

45 9 x − 32 4 x −1 2 4 x +1 − 4 9x+1

31.

32.

2 x +1 + 5x − 2 5x −1 − 2x−1

4 5

+ 3

5

+ 2 3

x

x +1

x +1

x−2

  • 15 2 x + 7 x −1 2 x +6 − 7x
  • 2 3x + 6 7 x −1 7 x + 5 3x−3

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru8

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru

Сайт: www.resolventa.ru ,E-mail: resolventa@list.ru9



Толық нұсқасын 30 секундтан кейін жүктей аласыз!!!


Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз:
Facebook | VK | WhatsApp | Telegram | Twitter

Қарап көріңіз 👇
  Көрсеткіштік теңсіздік. Алгебра, 11 сынып, презентация. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздік. Алгебра, 11 сынып, сабақ жоспары. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздіктер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздіктер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздіктер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздіктер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
  Көрсеткіштік теңсіздіктер. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. ᐈ
kz | ҰМЖ, ОМЖ, ҚМЖ - Ұзақ, орта, қысқа мерзімді жоспар | Алгебра



Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру
Пікір жазу