Ықтималдықтарды қосу және көбейту ережелері. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Жаңа білімді меңгеру

Мақсат: Ықтималдықтың қосу және көбейту ережелерін түсіндіру.

Анықтама.

A және B оқиғалардың қосындысы немесе бірігуі деп A оқиғаның көрінуінен немесе B оқиғаның көрінуінен немесе екі оқиғаның көрінуінен тұратын оқиғаны айтады. белгілейді.

Ықтималдықтарды қосу теоремасы.

Екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің көріну ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең.

.

Бірнеше үйлесімсіз оқиғалар үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы:

.

Салдар 1.

Егер A, B, C оқиғалары толық тобын құрайтын болса, онда олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

Қарама - қарсы деп толық топ құрайтын тек қана екі мүмкін оқиғалар аталады.

Белгіленуі: A және .

Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы мынаған тең:

.

Салдар 2.

A және екі қарама-қарсы оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі немесе қиылысуы деп, осы екі оқиғаның бірігіп пайда болуынан тұратын АВ оқиғасын атайды. , немесе

  деп белгіленеді.

Бірнеше оқиғалардың көбейтіндісі осы бойынша анықталады.

Мысалы.

A={жолаушы поездға билет сатып алды}, B={вагондағы өз орнына отырды}, C={поезд берілген вагонмен орнынан қозғалды}. Сонда ={жолаушы кетіп қалды}.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.

Екі оқиғаның бірігіп пайда болуының ықтималдығы – олардың біреуінің, бірінші оқиға пайда болды деп ойда есептеп алынған екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең:

 .

А және В оқиғалары, екеуінің біреуінің ықтималдығы екіншісінің көрінуіне байланысты өзгермесе тәуелсіз деп аталады. Олай болмаған жағдайда олар тәуелді болар еді. Тәуелсіз оқиғаларға сонымен қатар В оқиғасының шартты ықтималдығы оның шартсыз ықтималдығына тең болатынын айтуға болады:

.

Үйлесімді оқиғалардың ықтималдықтарының қосу теоремасы.

Екі оқиға, егер бір тәжірибеде біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуын жоққа шығармаса үйлесімді деп аталады.

Мысалы.

Ойын сүйегін лақтырғанда, A – 4 ұпайдың пайда болуы, В – тақ санды ұпайдың пайда болуы. А және В оқиғалары – үйлесімді.

Теорема. Екі үйлесімді оқиғаның ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы осы ықтималдықтардың қосындысынан олардың ықтималдықтарының үйлесімді көрінуін шегергенге тең:

.

Теорема. жиынында тәуелсіз оқиғалардың ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы 1 мен қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің , айырмасына тең.

 Егер оқиғаларының ықтималдықтары бірдей р –ға тең болса, онда бұл жағдайда

Мысалы:

Үш мерген нысанаға оқ атады. Бірінші мерген көздеген жерге оқ тию ықтималдығы 0,75 тең, екіншісінікі - 0,8, үшінсінікі - 0,9. а) үш мергеннің нысанаға тиюінің; б) ең болмаса бір мергеннің нысанаға тиюінің ықтималдығын тап.

Шешуі:

а)

A, B, C оқиғалары тәуелсіз, онда тәуелсіз оқиғалардың көбейту теоремасы бойынша:

.

б)

(1-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)

(2-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)

(3-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы) яғни, , , .